基于深度學習的問題引領式教學的實踐與反思
——以裂項相消法教學為例

李觀琴， 蘇淑陽

(富陽中學，浙江 杭州 311400)

1 研究的問題和意義

何謂深度學習?它是一種整體的學習狀態(tài)，是學習者全身心投入的過程，絕不僅僅是學習者大腦內(nèi)部信息加工的過程，它是一個充滿著情感、意志、精神、興趣的過程，是一個社會過程和文化過程[1].我國教育部基礎教育課程教材發(fā)展中心著手研究的“深度學習”教學改進項目認為：深度學習指在教師的引領下，學生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程[2].深度學習不僅是一種學習方式，更是一種學習理念.本文所指的深度學習是指基于問題引領、促進自主探究、深度參與、知識遷移和創(chuàng)造的過程，是提升數(shù)學高階思維能力的學習方式.

何謂問題引領式教學？《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》中指出：基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學活動應該把握數(shù)學的本質，創(chuàng)設合適的教學情境，提出合適的數(shù)學問題，引發(fā)學生思考和交流，形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)[3].問題引領式教學是指教師設計合適的數(shù)學問題引導學生用數(shù)學的思想方法解決問題，在問題解決的過程中，理解數(shù)學內(nèi)容的本質，促進深度學習.由問題引領探究，不僅能夠幫助學生更好地掌握知識技能，更有利于學生學會數(shù)學地思考和實踐，是學生形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的有效載體.

當下，高中數(shù)學教學普遍存在這樣一些問題：重視知識結果，忽視知識形成的過程；新課匆匆過，復習課一遍又一遍；學生作業(yè)量大，沒有時間去反思整理、深入研究；知識碎片化，沒有系統(tǒng)性和結構化等.以上問題導致了學生學到的更多的是知識表象，理解不夠深入，思維品質得不到提高，運用知識解決實際問題的能力薄弱，學習動力與激情不足，有知識、沒素養(yǎng)的問題比較嚴重．

針對以上問題，數(shù)學教學要實現(xiàn)以“知識為本”向“素養(yǎng)為本”的跨越，必須通過構建支持“深度學習”的課堂環(huán)境，促進學生學習方式的轉變，重視知識本身以及知識點間的層次性和關聯(lián)性[4].深度學習需要課堂轉型，而“問題引領式教學”能有效促進深度學習.本文基于深度理解、深度設計、深度體驗、深度思考的理念，強調(diào)自主探索、合作交流的重要性，展開以裂項相消法教學為例的案例研究.

2 裂項思想的本源與意義

高中數(shù)學的數(shù)列求和有一大部分試題與裂項求和有關，每年的高考真題不乏裂項思想的考查.

在高三一輪復習的關鍵時期，筆者針對裂項相消法的教學設計了有效問題鏈，引導學生自主探究、合作交流，理解裂項求和、裂項放縮的本質，和學生們一起體驗有趣的思維爬坡.

3 問題引領，合作探究

問題1已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求Sn.

探究1裂項后分母之差均為2，為何第1)小題前后各保留1項，而第2)小題各保留2項？

生1(迫不及待)：我發(fā)現(xiàn)分母的兩項之差若剛好是公差，則相鄰兩項就可以消，這樣只保留前后各一項.如果分母的兩項之差是公差的兩倍，那么隔一項才能消，這樣就導致了前后各保留兩項.

生1的回答淺顯易懂，把握了主要特征.有了生1的解釋說明，大部分學生能理解第3)小題的分母兩項的差是公差的3倍，裂項之后，要隔兩項才能消，因此前后各保留3項.

設計意圖通過第1)小題和第2)小題的對比分析，體會二次分式型數(shù)列裂項相消法的特征，再利用第3)小題加深理解，使學生在原有知識體系中對常見的這類裂項相消法有新的認識和理解.

問題2補全數(shù)列通項，使之可以裂項求和:

在問題1的基礎上，學生對二次分式型數(shù)列有了一定的了解，分析出只要分母是同一個等差數(shù)列的兩項就可以進行裂項，因此當筆者給出問題2的第1)小題時，學生們饒有興趣，都想表達自己的想法.

生2：我認為這里有很多答案，可以是-4，2，5，8等.如果是2或者-4，那么裂項相消之后前后各保留一項.如果是5，那么裂項相消之后前后各保留兩項.

設計意圖問題1是對具體數(shù)列進行裂項，問題2是自編數(shù)列使之可以裂項，通過正反兩個方面，深入理解二次分式型數(shù)列裂項求和的結構特征.

探究2你能構造哪些大于an且可以求和的數(shù)列？

學生們以小組的形式進行探究、交流，每個小組都給出了方案，筆者將他們的研究結果羅列在黑板上.接著對研究結果進行驗證、篩選，由相應的小組代表解釋說明：是否可以求和？相應的試題應該怎么編？

當n=1時，a1=1；當n≥2時，

第2組：第1組是利用分母減去n進行放大，我們發(fā)現(xiàn)分母減去1就可以使整體放大，而且相對于減去n更精準，然后利用平方差公式，分母正好是同一個等差數(shù)列的兩項，可以裂項求和.

當n=1時，a1=1；當n≥2時,

如果保留第1項不放大，從第2項開始放大，那么得到的不等式為

如果保留前2項不放大，從第3項開始放大，那么得到的不等式為

這樣就可以求和了.

第3組的方法也可以進一步拓展

設計意圖本題屬于開放性問題，通過自編試題自行解答，給予學生思考與創(chuàng)造的空間，也能激發(fā)學生解決問題的信心.通過4個小組代表對本組研究結果的解釋說明，能夠提高學生對裂項放縮的理解，把握放縮的精確度，也能讓學生去體會和經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程，不僅掌握了知識，更提升了能力.

方法2因為分母n2(n+1)2可以縮小為n(n+1)(n-1)n，即當n≥2時，

方法4與方法3類似，把(2n+1)n2縮小為2n·n2即2n3，把(2n+1)(n+1)2放大為(2n+2)(n+1)2即2(n+1)3，使得分母是同一個數(shù)列的前后兩項，即

設計意圖問題4在本節(jié)課中的目的是練習與鞏固，可以獨立探究也可合作交流，應嘗試用盡可能多的方法解決問題，拓展學生的思路，激發(fā)學生對數(shù)列放縮的興趣及提高解決數(shù)列放縮問題的信心.

4 小結與反思

問題引領式教學要求教師設計有思維空間的問題，創(chuàng)造探究平臺，指明探究方向，對學生在探究中遇到的障礙進行引導，合理安排學生進行合作交流，及時對學生的探究結果進行評價，促進學生思考并創(chuàng)造，構建更高水平的認知結構.筆者以裂項相消法為例，以問題引領的形式激發(fā)學生探究的欲望，促成學生體驗猜想、嘗試、驗證的探究過程，體現(xiàn)知識的發(fā)生發(fā)展過程.通過探究裂項相消法求和及裂項相消法證明數(shù)列不等式的方法與思路，促進了知識的深度加工與系統(tǒng)化，感受了深度參與，促進學生深度思維的發(fā)展和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，是一次有意義的深度學習之旅.