常態(tài)課中滲透“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略”的實(shí)踐和感悟

周建平

(浙江師范大學(xué)附屬中學(xué),浙江 金華 321004)

當(dāng)下，有關(guān)中小學(xué)教育的國家“頂層設(shè)計(jì)”密集出臺(tái)以及“疫情”的影響在逐漸改變中小學(xué)教育、教學(xué)的傳統(tǒng)范式.隨著“雙減”的逐漸落地，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更需要自覺，更需要內(nèi)驅(qū)力.事實(shí)上中小學(xué)數(shù)學(xué)教育在多年的“應(yīng)試”浸潤中，大部分學(xué)生早就失去了學(xué)習(xí)興趣，或者說已經(jīng)不會(huì)“真正地學(xué)習(xí)”，這一現(xiàn)象尤其是在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)更為突出.筆者曾對(duì)2021級(jí)部分高一新生進(jìn)行了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略問卷調(diào)查，通過對(duì)問卷結(jié)果科學(xué)分析發(fā)現(xiàn)：在生源基礎(chǔ)較好的前提下，多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略知之甚少，平時(shí)學(xué)習(xí)過程中根本沒有主動(dòng)運(yùn)用“策略”的想法和意識(shí)，更談不上靈活運(yùn)用策略.數(shù)學(xué)教師可以在常態(tài)課中主動(dòng)滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略，這既是當(dāng)前形勢(shì)的需要也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的需要.

1 什么是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略

目前“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略”在學(xué)術(shù)界還沒有形成統(tǒng)一的認(rèn)識(shí).在研究相關(guān)文獻(xiàn)和資料的基礎(chǔ)上，從理論與實(shí)踐相互促進(jìn)的角度，筆者給出對(duì)“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略”的淺顯認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略就是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、技巧等的選擇和使用.學(xué)生能適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略，就是能根據(jù)特定的學(xué)習(xí)情境在自己的儲(chǔ)備系統(tǒng)中選出合適的學(xué)習(xí)方法和技巧等，以便使自己的解題和學(xué)習(xí)境界達(dá)到更高的層次.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略具有一般學(xué)習(xí)策略的特點(diǎn)(如：學(xué)習(xí)計(jì)劃的制定、思維導(dǎo)圖的運(yùn)用、記憶方法的選擇等)，它也有自己鮮明的特色(如極值點(diǎn)偏移問題的處理策略：對(duì)稱構(gòu)造函數(shù)+主元法；比值、差值設(shè)參；對(duì)數(shù)平均不等式的運(yùn)用等).

2 課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略

“課堂教學(xué)”是滲透“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略”的主陣地之一.分類討論是學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)思想之一，筆者在教學(xué)中講解相關(guān)題目時(shí),通過一題多解讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)策略的魅力.

例1已知函數(shù)f(x)=ex-ax2,其中a∈R，若f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

方法1(分類討論法)由f′(x)=ex-2ax，其中a∈R，可知f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，即f′(x)=ex-2ax≥0在(0,+∞)上恒成立.又f″(x)=ex-2a.

1)當(dāng)a≤0時(shí)，f″(x)=ex-2a≥0恒成立，即f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，從而f′(x)min>f′(0)=1≥0.

2)當(dāng)a>0時(shí)，由f″(x)=0，得x=ln 2a.

表1 x，f ′(x)，f ″(x)的變化情況

從而f′(x)min=f′(ln 2a)=2a-2aln 2a

=2a(1-ln 2a)≥0,

于是

設(shè)置本例的目的是讓學(xué)生感悟：在思考過程中具有“策略”意識(shí)，可以避免過多的分類討論.這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略在解題實(shí)踐中的現(xiàn)實(shí)運(yùn)用.又如排列組合問題中的“捆綁法、插空法、優(yōu)限法”也是滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的絕好素材.

在日常課堂教學(xué)中，教師要不斷地進(jìn)行學(xué)習(xí)策略的滲透，這樣學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的領(lǐng)悟會(huì)更深，進(jìn)而能從認(rèn)識(shí)、認(rèn)同數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略逐漸過渡到自己能運(yùn)用策略并能總結(jié)策略.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的滲透要講究實(shí)效，要審時(shí)度勢(shì)，以生為本.不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略、不同的教學(xué)對(duì)象、不同的滲透時(shí)機(jī)等都使得日常教學(xué)變得異常復(fù)雜，筆者對(duì)每節(jié)課的策略滲透設(shè)計(jì)都要慎之又慎.大量的教學(xué)實(shí)踐告訴我們：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的滲透要講究實(shí)效.教學(xué)中要有真實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題，尤其是高考必考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，當(dāng)學(xué)生苦于沒有好方法來理解和掌握時(shí)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的滲透下難題變得“唾手可得”，學(xué)生自然會(huì)接受相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略.在此情境下，教師要不失時(shí)機(jī)地給學(xué)生傳授此種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的詳盡步驟和要點(diǎn).在日常學(xué)習(xí)策略滲透教學(xué)中多設(shè)計(jì)一些此類問題，相信學(xué)生更能心悅誠服地接受和運(yùn)用學(xué)習(xí)策略.

3 關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的幾點(diǎn)思考

3.1 好的“教學(xué)預(yù)設(shè)和生成”更有利數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的整體、無痕滲透

好的“教學(xué)預(yù)設(shè)和生成”可以讓學(xué)生很自然地“觸摸”到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略.筆者把“函數(shù)圖像的理解和綜合運(yùn)用”的教學(xué)過程變成滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的不可多得的時(shí)機(jī)，在層層遞進(jìn)的思考下，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略會(huì)有更深的感悟.下面是筆者的部分課堂教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)錄和感悟,與同行分享.

實(shí)錄1分別作出下列函數(shù)的圖像：

1)y=|lgx|;

3)y=x2-2|x|-1;

實(shí)錄2請(qǐng)同學(xué)們思考下列問題，并嘗試證明.

1)函數(shù)圖像平移變換八字方針：

①“左____右____”，要注意加減指的是______；

②“上____下____”，要注意加減指的是______．

2)對(duì)稱變換：

①f(x)與f(-x)的圖像關(guān)于______軸對(duì)稱；

②f(x)與-f(x)的圖像關(guān)于______軸對(duì)稱．

升降施工平臺(tái)為高層建筑外墻施工用的安全防護(hù)、工人操作和解決樓層水平運(yùn)輸?shù)牟僮髌脚_(tái)，平臺(tái)配合升降系統(tǒng)使用可進(jìn)行提升和下降操作[1-2]。在使用狀態(tài)時(shí)，施工平臺(tái)依靠附墻導(dǎo)座與建筑外墻固定連接；在升降狀態(tài)時(shí)，施工平臺(tái)腳手架的導(dǎo)軌與附墻導(dǎo)座進(jìn)行滑道配合升降。

3)翻折變換：

①|(zhì)f(x)|的圖像是將f(x)的圖像中x軸______的圖像對(duì)稱翻折到x軸______，x軸______的圖像不變；

②f(|x|)的圖像是f(x)的圖像中x軸______側(cè)的圖像不變，再對(duì)稱翻折到y(tǒng)軸的______側(cè)得到．

4)關(guān)于兩個(gè)函數(shù)圖像對(duì)稱的3個(gè)重要結(jié)論：

①函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線______對(duì)稱；

②函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)______中心對(duì)稱；

③若函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的任意自變量x滿足f(a+x)=f(a-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線______對(duì)稱．

5)函數(shù)圖像自身的軸對(duì)稱：

①f(-x)=f(x)?函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于______軸對(duì)稱；

②函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于______對(duì)稱?f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x)?f(-x)=______；

③若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，且有f(a+x)=f(b-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=______對(duì)稱．

6)函數(shù)圖像自身的中心對(duì)稱:

①f(-x)=-f(x)?函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于______對(duì)稱；

②函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱?f(a+x)=-f(a-x)?f(x)=-f(2a-x)?f(-x)=______；

③函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)______成中心對(duì)稱?f(a+x)=2b-f(a-x)?f(x)=2b-f(2a-x)．

7)雙對(duì)稱出周期：若一個(gè)函數(shù)f(x)存在兩個(gè)對(duì)稱關(guān)系，則f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，具體情況如下(假設(shè)b>a)：

①若f(x)的圖像關(guān)于x=a,x=b軸對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=______；

②若f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)中心對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=______；

③若f(x)的圖像關(guān)于x=a軸對(duì)稱，且關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=______.

實(shí)錄3學(xué)以致用.

練習(xí)1(多選題)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則

( )

A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù)

C．f(x)=f(x+4) D．f(x+3)是奇函數(shù)

答案C,D.

分析因?yàn)閒(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)及點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱，從而

f(x)+f(2-x)=0，f(x)+f(-2-x)=0，

故

f(2-x)=f(-2-x)，

函數(shù)f(x)是周期T=2-(-2)=4的周期函數(shù)，選項(xiàng)C正確．又因?yàn)閒(-x-1+4)=-f(x-1+4)，即f(-x+3)=-f(x+3)，所以f(x+3)是奇函數(shù)，選項(xiàng)D正確．故選C,D．

通過環(huán)環(huán)相扣的3個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是需要基礎(chǔ)的，無論是概念的學(xué)習(xí)還是解題能力的提升都需要前面的基礎(chǔ)，環(huán)環(huán)相扣,缺一不可.對(duì)“直接法和圖像變換法”等基本知識(shí)熟練掌握后，還要進(jìn)行升華.所謂“升華策略”是指學(xué)生主動(dòng)整合各種資源進(jìn)行精細(xì)的反思和升華，從而能更好地解決新的問題.如果不總結(jié)、不升華，那么前期付出的思考就失去了應(yīng)有的價(jià)值，升華了的策略和方法是學(xué)生可以順利應(yīng)用的秘籍.學(xué)生通過多選題目的思考會(huì)清醒地認(rèn)識(shí)到：知識(shí)方法升華到什么程度，解法就簡潔到什么程度.好的“教學(xué)預(yù)設(shè)和生成”可以使學(xué)生在認(rèn)知、記憶、領(lǐng)悟、運(yùn)用過程中，感知、領(lǐng)悟?qū)W習(xí)策略和方法給學(xué)習(xí)帶來的微妙的升華作用.其實(shí)在教學(xué)過程中，教師不需要給學(xué)生點(diǎn)明什么是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略、運(yùn)用了什么學(xué)習(xí)策略，這些對(duì)學(xué)生并不重要，重要的是學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的情境和解決問題的過程中，有了新的體驗(yàn)、新的感悟，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，能夠“見賢思齊”，能夠?qū)W以致用就可以了.

在日常教學(xué)中，教師要尊重學(xué)生內(nèi)心的真實(shí)體驗(yàn)，尊重學(xué)習(xí)策略形成的規(guī)律.好的教學(xué)一定會(huì)使學(xué)生身心愉悅.滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略絕不能一廂情愿，要多觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)，多和學(xué)生交流、談心，尊重他們的主體體驗(yàn)，教師不要夸夸其談學(xué)習(xí)策略的高妙之處，要分析學(xué)生能不能接受、能不能用得上.學(xué)生能把相關(guān)學(xué)習(xí)策略內(nèi)化到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，最后形成自己的學(xué)習(xí)智慧和技能，并能在后繼的學(xué)習(xí)中靈活運(yùn)用并發(fā)揚(yáng)光大之，這應(yīng)是教學(xué)的最高境界.

筆者在滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略教學(xué)實(shí)踐時(shí)，根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的特質(zhì)，分為以下3個(gè)階段：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略嘗試階段，要讓學(xué)生在實(shí)際解題過程中，牛刀小試，頗具成就感；在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的固化階段，要讓學(xué)生主動(dòng)地運(yùn)用學(xué)習(xí)策略，能夠固化成學(xué)生的一種習(xí)慣，讓學(xué)習(xí)策略成為學(xué)生的主觀自覺行為；在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的升華階段，恰如其當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)策略會(huì)給學(xué)生的思維和身心帶來愉悅，在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生感受：由于學(xué)習(xí)策略的使用和靈活掌握，自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是充滿了內(nèi)省與體悟的智慧活動(dòng)，自己是學(xué)習(xí)的主人.由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略各有不同，教師要根據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn)、學(xué)業(yè)基礎(chǔ)等來整體把握、統(tǒng)籌安排不同策略出現(xiàn)的時(shí)機(jī)和教授難度，不要急于求成.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的形成是循序漸進(jìn)的，教師在每一個(gè)環(huán)節(jié)都要刻意設(shè)計(jì)，助學(xué)生一臂之力，讓學(xué)生順利接受、內(nèi)化、靈活運(yùn)用相關(guān)學(xué)習(xí)策略.

3.2 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的滲透要日?；?/h3>

我國中學(xué)生在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有很多良好的習(xí)慣，如預(yù)習(xí)、課后復(fù)習(xí)、練習(xí)等，在筆者看來這其中就包含著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略.我們?cè)诮虒W(xué)中不能只關(guān)注所謂的“高大上”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略，一定要把日常學(xué)習(xí)常規(guī)和學(xué)習(xí)策略結(jié)合起來，如畫“三角函數(shù)和差倍半公式思維導(dǎo)圖”是一種好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略，但如果沒有日常對(duì)每個(gè)公式的“刻意訓(xùn)練、各個(gè)擊破、舉一反三”，這種思維導(dǎo)圖學(xué)習(xí)策略效果不會(huì)很好.只有學(xué)生養(yǎng)成良好的日常學(xué)習(xí)習(xí)慣，教師的學(xué)習(xí)策略滲透才不會(huì)成為空中樓閣.

在學(xué)生高中三年的學(xué)習(xí)過程中，教師要多觀察、多研判，在學(xué)生“思窮”“技窮”時(shí)，點(diǎn)撥之“學(xué)習(xí)策略”，學(xué)生會(huì)受益無窮.如在高一數(shù)學(xué)初始課，筆者會(huì)利用教材中相關(guān)素材，如2019年人教A版《數(shù)學(xué)(必修1)》中的“主編寄語”，字里行間充滿了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略，筆者借機(jī)對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)策略的滲透.在與高一學(xué)生聊天時(shí)，筆者會(huì)告訴學(xué)生：“高中數(shù)學(xué)變得抽象了，更需要學(xué)生和家長有靜氣.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)沒有什么靈丹妙藥，如數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升，就要通過持之以恒‘有智慧、有反思’的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)踐來解決.高中的學(xué)習(xí)不要好高騖遠(yuǎn)，要明確數(shù)學(xué)能力的提升是循序漸進(jìn)的，不要被‘教輔’‘課外輔導(dǎo)班’等所左右；不要在高一做高三的題目，在高三再補(bǔ)高一對(duì)概念的認(rèn)識(shí)和領(lǐng)悟.”在與高三學(xué)生聊天時(shí)，筆者會(huì)告訴學(xué)生：“對(duì)經(jīng)典例題要慢慢揣摩、領(lǐng)悟，要一題多解、多題一解，領(lǐng)悟題目的數(shù)學(xué)思想方法，不能囫圇吞棗迫不及待地跳入‘題?！?”事實(shí)證明：急于刷題，刷掉的是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的樂趣，刷掉的是學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的靈氣.

3.3 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的滲透要注重分層，尤其要關(guān)注學(xué)生主體的差異性

近年來，高中學(xué)生在知識(shí)儲(chǔ)備、學(xué)習(xí)力(學(xué)習(xí)動(dòng)力、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)毅力和學(xué)習(xí)創(chuàng)新力)、學(xué)習(xí)習(xí)慣等方面表現(xiàn)出較大的個(gè)體差異性.比如筆者所在的學(xué)校，生源特殊，有普通班、浙師大直升班、中新班、青海班等，班級(jí)差異性大，即使同一班級(jí)內(nèi)的學(xué)生，差異性也較大.在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略滲透時(shí)，教師就要多關(guān)注這種差異性.筆者根據(jù)“知識(shí)儲(chǔ)備、學(xué)習(xí)力、學(xué)習(xí)習(xí)慣”這3個(gè)維度對(duì)學(xué)生進(jìn)行合理分層，采取不同的滲透策略，盡可能使每一個(gè)學(xué)生都能得到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的升華，獲得成功的愉悅.分層滲透的目的不是“放棄”而是不“拋棄”.

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的滲透應(yīng)不露痕跡，這樣才能讓學(xué)生達(dá)到“自然化之、自然而用”的最高境界.學(xué)生“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略”的養(yǎng)成和應(yīng)用是一個(gè)長期、持久的過程，相信通過教師堅(jiān)持不懈地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略滲透，學(xué)生定能從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的“必然王國”邁向“自由王國”.