立足教材,重視本質
——以問題中的基本圖形與知識的分析為例

廣東省廣州市駿景中學(510650) 程 丹

1 基本圖形

問題1已知,BC是圓O的直徑,點A是圓上的點,滿足AB=AC,點D是圓周上任意一點,試猜想BD、CD、AD三者之間的數(shù)量關系.

點評有兩種情況.

(1)點D與點A在直徑BC異側(如圖1),則連接AD,把ΔABD逆時針旋轉90°至ΔACD′,從而得到BD+CD=AD(如圖2);

圖1

圖2

(2)點D與點A在直徑BC同側(如圖3),則連接AD,把ΔABD逆時針旋轉90°至ΔACD′,從而得到BD?CD=AD(如圖4).

圖3

圖4

教材來源2011版本人教版初中數(shù)學九年級上冊第二十四章“圓”P87例題4.

教材例題如圖5,在⊙O中,直徑AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的平分線交⊙O于點D,求BC、AD、BD的長;

圖5

變式已知條件不變,求CD的長.這樣的問題就回歸到基本圖形1的第(1)種的情況.

問題2若BC不是直徑,點D是劣弧BC上任意一點,∠BDC=60°,其他條件不變,請問結論會改變嗎?答案是——會改變!

教材來源2011年人教版初中數(shù)學教材九年級上冊P90習題14.

教材習題如圖6,A、P、B、C是⊙O上的四點,∠APC=∠CPB=60°,判斷ΔABC的形狀,并證明你的結論.

圖6

變式1試猜想線段PA、PB、PC三者數(shù)量關系,并證明.如圖7,根據(jù)旋轉,易得PA+PB=PC.

圖7

變式2若點P是劣弧AB的中點,則線段AC、BC、PC三者之間的關系.如圖8,根據(jù)旋轉,易得AC+BC=

圖8

首先,這兩個基本圖形的問題是來源于教材,教師要善于不斷地挖掘教材,研究好教材的例題和習題.不要認為教材內容過于簡單,不足以應付中考,我們教師一定要做好教材的再開發(fā)者.其次,這基本圖形的立足知識點是旋轉.教師要引導學生抓住基本概念的核心、基本問題的本質.旋轉是九年級數(shù)學上學期的內容,是幾何圖形變換的最重要和?？嫉囊环N.教師引導學生從旋轉的性質核心出發(fā),旋轉的三要素:旋轉點、旋轉角度、旋轉方向.這兩個問題的關鍵突破點就是以等腰三角形的頂點為旋轉點,以等腰三角形的頂角為旋轉角,找準要旋轉的三角形,從而把所求的線段關系轉化到一個三角形中的線段關系.教師要讓學生學會不斷回到概念中,從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題,加強概念和基本知識聯(lián)系性的教學,從概念的聯(lián)系中尋找解決問題的新思路,找出通性通法.基礎是發(fā)展的根本,根深才能長成參天大樹,本固才能立于不敗之地.

2 中考再現(xiàn)

例1(2020年.廣州中考第24題)如圖9,⊙O為等邊ΔABC的外接圓,半徑為2,點D在劣弧上運動(不與點A,B重合),連接DA,DB,DC.

圖9

(1)求證:DC是∠ADB的平分線;

(2)四邊形ADBC的面積S是線段DC的長x的函數(shù)嗎?如果是,求出函數(shù)解析式;如果不是,請說明理由;

(3)略

點評本題第(2)問就是問題2的基本圖形,關鍵得到AD+BD=DC.

例2(2018年.廣州中考第25題)如圖10,在四邊形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.

圖10

(1)求∠A+∠C的度數(shù);

(2)連接BD,探究AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關系,并說明理由;

(3)略.

點評本題第(2)問就是問題2的基本圖形的變式2,抓住條件AB=BC,利用旋轉就可以突破和解決(如圖11),從而得到AD2+CD2=BD2.

圖11

例3(2016年.廣州中考第25題)如圖12,點C為ΔABD的外接圓上的一動點(點C不在上,且不與點B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°

圖12

(1)求證:BD是該外接圓的直徑;

(2)連結CD,求證:=BC+CD;

(3)若ΔABC關于直線AB的對稱圖形為ΔABM,連接DM,試探究DM2,AM2,BM2三者之間滿足的等量關系,并證明你的結論.

點評本題第(2)問就是問題1的基本圖形.抓住這個本質,就可以對它迎刃而解.

第(3)問,關鍵抓住AB=AD,以及∠BAD=90°.利用旋轉,把線段BM、AM、DM的關系,轉化為同一個三角形中線段BM、MF、BF的關系,從而得到BM2+2AM2=DM2(如圖13).

圖13

3 思考與反思

3.1 重視教材、提升品質

從近幾年廣州個別中考題的縱向對比,筆者發(fā)現(xiàn),這些題目問法新穎,考查了學生對新知識的探究能力和后續(xù)學習的能力與素養(yǎng),考查了數(shù)學基礎知識與思想方法的核心和本質.數(shù)學教學的目的是為了有效地促進學生學好數(shù)學、提高思維能力,培養(yǎng)理性精神.教師是教學的主導作用,教師要善于立足教材、挖掘教材、研究教材,立意中學數(shù)學知識的來龍去脈,對知識結構把握準確,對中學數(shù)學知識的思想方法運用自如,并且教師要學會縱向橫向看中考新動態(tài),結合教材和新課標研究中考新方向,這樣才能讓學生脫離解題的困惑和苦悶.教師引導學生用好教材的例題與習題,掌握好基本概念和規(guī)律,從而養(yǎng)成一個良好的數(shù)學學習習慣,提升學生的學習品質.

3.2 重視概念、提升思維

數(shù)學知識的本質是由數(shù)學概念和原理反映的數(shù)學思想方法來體現(xiàn),知識結構之間的實質性的聯(lián)系可以通過平時的數(shù)學思維訓練體驗,通過一定數(shù)學思想方法的訓練達到培養(yǎng)學生數(shù)學思維品質,從而達到數(shù)學核心素養(yǎng)的滲透.初中階段的學生,不能很好地理解抽象的概念,也不能很好地把握法則、定理背后規(guī)律性的東西.教師應該充分挖掘教材,啟發(fā)和引導學生,讓學生感悟這些概念和規(guī)律是從日常生活中數(shù)量關系、圖形關系抽象出來的,鼓勵學生學習的主動性,發(fā)展學生的個性,讓學生掌握一些基本圖形的理解和研究,有利于培養(yǎng)學生的幾何直觀和空間想象力,提升學生的思維能力.

3.3 重視本質、提升素養(yǎng)

數(shù)學教學是以基礎知識、基本技能為載體,使學生牢固掌握基礎知識、基本技能、形成基本能力和基本態(tài)度的過程教.數(shù)學本質是思維能力的培養(yǎng)、數(shù)學素養(yǎng)的提升,緊扣問題內在聯(lián)系,教師在平時教學中,多立足教材、多挖掘教材例題與習題,抓住基礎知識的聯(lián)系與內涵,提升學生在新情景中運用基本知識解決新問題的能力,不斷滲透數(shù)學幾何直觀核心素養(yǎng)的培養(yǎng).