追根溯源，矯正錯誤
——糾錯反思在高中數(shù)學(xué)中的運用

山東省濟寧市嘉祥縣第一中學(xué) 劉念立

糾錯反思是一種對錯題、錯誤思路進行反思的手段，其強調(diào)“在錯誤中積累經(jīng)驗”，重視培養(yǎng)學(xué)生的自我學(xué)習(xí)能力。高中數(shù)學(xué)教學(xué)知識點復(fù)雜，整體教學(xué)難度較高，如果一味地推進教學(xué)活動，則整體教學(xué)質(zhì)量很難得到保障。借助糾錯反思落實教學(xué)活動，能幫助學(xué)生對自己的錯誤思路、錯誤方法進行重新整理，進而得出新的學(xué)習(xí)技巧，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

一、在新課教學(xué)中糾錯反思，積累經(jīng)驗

一提到“糾錯反思”，一些教師首先想到的是圍繞學(xué)生出現(xiàn)的錯題、錯誤開展教學(xué)活動，其強調(diào)對錯誤的糾正，忽視了對學(xué)生思想上、方法上的改正指導(dǎo)。對高中生來說，其出現(xiàn)錯誤無外乎兩種因素：第一，沒有牢固掌握數(shù)學(xué)知識；第二，沒有掃除思維中的數(shù)學(xué)盲點。在面對新知識的過程中，學(xué)生借助老方法進行解題、學(xué)習(xí)，導(dǎo)致在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)更為明顯的短板問題。教師在開展糾錯反思工作的過程中，可在新課教學(xué)環(huán)節(jié)落實糾錯反思，幫助學(xué)生積累正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，糾正學(xué)生的學(xué)習(xí)方法。

二、在互動學(xué)習(xí)中糾錯反思，交流方法

部分學(xué)生被高難度、復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論知識所阻礙，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中興致不高。為改變學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，教師通過互動開展指導(dǎo)教學(xué)。但在互動的過程中，數(shù)學(xué)思維較強的學(xué)生津津樂道，學(xué)習(xí)能力較差的學(xué)生沉默不語，數(shù)學(xué)互動并不能發(fā)揮出預(yù)期的效果。將糾錯反思應(yīng)用到互動活動當(dāng)中，在鼓勵學(xué)生互相糾錯的同時，能幫助學(xué)生互相學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題方法，提高解題效率。

以人教版必修一教材“空間幾何體的面積和體積”的教學(xué)為例，設(shè)計如下問題供學(xué)生進行解答：球面上有P，A，B，C四個點，如果線段PA，PB，PC互相垂直且長度相等，整體的長度都為a，求這個球的體積。在解題時，教師將學(xué)生分為相同人數(shù)的討論小組，要求學(xué)生在解題的過程中開展糾錯反思活動。一些學(xué)生通過作圖、代換數(shù)據(jù)等方法嘗試解題，嘗試通過作圖給出問題中的數(shù)量關(guān)系。但三條直線平行屬于空間問題，作圖難度較大、解題思路更加復(fù)雜。對這類學(xué)生來說，其主要存在思維上的不足，導(dǎo)致解題效率低下，解題進入瓶頸。部分?jǐn)?shù)學(xué)思維較強的學(xué)生則通過“構(gòu)造法”進行解答：線段PA、線段PB、線段PC互相垂直且長度相等，可以構(gòu)造一個正方體，將球視為正方體的外接球，那么，正方體的對角線就是球的直徑，由此可以求出球的體積，并配合數(shù)學(xué)圖示進行作答。

三、在改錯修正中糾錯反思，加深印象

糾錯反思是為學(xué)生改錯、積累經(jīng)驗等活動提供參考的重要手段，通過對錯誤原因、錯誤方法的重新反思，學(xué)生能確定新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思路，從而有針對性地改正自身存在的學(xué)習(xí)問題，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量。在數(shù)學(xué)教育的有關(guān)要求下，糾錯反思必須強調(diào)有用、有效、有目的的基本原則，注重糾錯反思在教學(xué)指導(dǎo)工作中的應(yīng)用，才能提高糾錯反思活動的整體教學(xué)質(zhì)量。教師可在教學(xué)工作中借助糾錯反思開展改錯教學(xué)活動，在對學(xué)生錯誤思路、錯誤方法進行糾正的同時確定數(shù)學(xué)教學(xué)新方向，提高教學(xué)效率。

以人教版必修二教材“直線與平面平行的判定”的教學(xué)為例，教師可要求學(xué)生整理經(jīng)常出現(xiàn)的錯題，在班級中進行分享。隨后，教師帶領(lǐng)學(xué)生分析錯題的原因，幫助學(xué)生掌握正確的解題方法。以下列問題為例：空間中，兩條直線與某一平面平行，則這兩條直線必然也互相平行。因為這是一道判斷題，所以學(xué)生思考平面與直線的位置關(guān)系之后，會直接給出答案，認為該結(jié)論是正確的。但其忽視了直線與直線平行的關(guān)系：直線的方向不同、與平面雖然保持平行，但兩條直線未必相互平行。教師抓住關(guān)鍵知識點，解決學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中存在的概念混淆問題。而對于更為復(fù)雜的幾何證明題，則要對學(xué)生“想當(dāng)然”的思想落實針對性教學(xué)指導(dǎo)工作，要求學(xué)生通過做圖、假設(shè)等方法解決錯題，積累解題經(jīng)驗。

四、在難點突破中糾錯反思，找到思路

一些學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中鉆牛角尖，面對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，其希望借助重復(fù)計算、推導(dǎo)來得出正確的答案。這種落后的學(xué)習(xí)模式使得學(xué)生形成了慣性思維，在數(shù)學(xué)解題活動中，其已經(jīng)習(xí)慣了重復(fù)犯錯、重復(fù)改錯的學(xué)習(xí)方法，導(dǎo)致個人的學(xué)習(xí)效率很難得到有效提升。在糾錯反思的推動下，教師可幫助學(xué)生借助糾錯活動解決學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中存在的難點問題，幫助學(xué)生高效學(xué)習(xí)，積極互動，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

以人教版高中數(shù)學(xué)教材“平面與平面平行的判定”的教學(xué)為例，教師給出如下問題要求學(xué)生解答：具有公共邊的兩個全等矩形ABCD、矩形ABEF不在同一個平面內(nèi)，P，Q分別為對角線AE，BD上的點，當(dāng)AP＝DQ時，問PQ能否平行于平面CBE？在解答數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生的思路被“平面與平面的平行關(guān)系”這一問題所限制，從而盲目開展解題活動，導(dǎo)致整體的解題精準(zhǔn)性受到影響。借助糾錯反思活動，教師可設(shè)計新的問題引導(dǎo)學(xué)生解題，通過多個問題的設(shè)問確定解題方向：問題中給出了哪些圖形，要證明圖形的什么關(guān)系，圖形的空間特點是什么？教師讓學(xué)生先整理題干中的信息，隨后進行解題：可在圖形中構(gòu)建一條直線PM，使其平行于AB交BE于點M，作QN平行于AB交BC于點N，如圖1所示。該類問題的解題條件有限，因此，容易使學(xué)生將其視為“低難度”的數(shù)學(xué)問題來解答，導(dǎo)致在答題過程中出現(xiàn)錯誤。教師可結(jié)合糾錯反思幫助學(xué)生整理思路，提高教學(xué)質(zhì)量。

圖1

五、在復(fù)習(xí)總結(jié)中糾錯反思，掌握規(guī)律

在復(fù)習(xí)指導(dǎo)的過程中，學(xué)生能更為清楚地發(fā)現(xiàn)自身存在的不足，從而及時反思自己的錯誤。但需要注意的是，并非所有學(xué)生都養(yǎng)成了良好的反思習(xí)慣，對部分高中生來說，其惰性思想與被動意識依舊較為明顯，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，被管制、被約束的被動行為較為突出。對這類學(xué)生，需要借助糾錯反思的引導(dǎo)才能完成育人工作。

教師可利用復(fù)習(xí)總結(jié)開展糾錯反思活動，在反思的同時提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。以下列問題為例：某公司在甲、乙兩公司做不超過300分鐘的廣告，總費用不超過9萬元，甲、乙兩公司的收費標(biāo)準(zhǔn)分別為500元／分鐘和200元／分鐘，在不同的公司做廣告，能為公司分別帶來0．3萬元和0．2萬元的收益，問如何分配時間能取得最大收益，最大收益的數(shù)額是多少？這是線性規(guī)劃中的經(jīng)典問題，一些學(xué)生嘗試借助二元一次方程組進行解答，但忽視了“最大收益”的硬性要求，導(dǎo)致解題失敗。在糾錯反思的過程中，教師要在復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)明確指出學(xué)生存在的學(xué)習(xí)錯誤，借助二元一次不等式組作出可行域，通過平移直線確定目標(biāo)函數(shù)的最大值，以此得出解題結(jié)果。對該類問題，由于無法掌握數(shù)量關(guān)系，學(xué)生得出的數(shù)學(xué)結(jié)果未必遵循“最大收益”等要求。若教師借助糾錯反思，則能幫助學(xué)生找到被忽視的線性約束條件，在提高學(xué)生分析能力的同時，糾正學(xué)生的錯誤解題思路，使其主動地應(yīng)用數(shù)學(xué)方法正確作答，提高解題效率。

總的來說，糾錯反思理念的應(yīng)用確實能在一定程度上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，加快學(xué)生改正錯誤、積累知識的速度。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師可嘗試圍繞教學(xué)內(nèi)容將糾錯反思應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)、錯題反思、難點突破、復(fù)習(xí)總結(jié)等活動當(dāng)中，以此加快學(xué)生吸收數(shù)學(xué)知識的速度。對數(shù)學(xué)課程來說，糾錯反思是一種較為科學(xué)的教學(xué)手段，教師不能僅關(guān)注其“積累經(jīng)驗”的作用，更要學(xué)會利用糾錯反思檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，并借此提升教學(xué)質(zhì)量。