優(yōu)化古典概率教學(xué)，提升學(xué)生探究能力

中國政法大學(xué)科學(xué)技術(shù)教學(xué)部 劉淑環(huán)

美國著名教育家、哲學(xué)家、心理學(xué)家約翰·杜威說過：“科學(xué)教育不僅僅是要讓學(xué)生學(xué)習(xí)大量的知識，更重要的是學(xué)習(xí)科學(xué)研究的過程或方法”，在教育家施瓦布所倡導(dǎo)的探究教學(xué)中，他認(rèn)為學(xué)習(xí)“不在于占有的信息，而在于擁有的探究能力”。

概率又稱“或然率”“可能性”，是概率論課程中的基本概念。古典概率是計算事件概率的一種形式，對古典概率內(nèi)涵的理解和掌握，關(guān)系到學(xué)生概率思維的養(yǎng)成及學(xué)習(xí)概率論其他內(nèi)容的效果。本文結(jié)合教學(xué)實踐，通過具體實例，對優(yōu)化古典概率教學(xué)內(nèi)容、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生概率思維、提升學(xué)生探究能力的途徑等方面進(jìn)行探討，以期為一線教師開展古典概率教學(xué)提供參考。

一、古典概率的定義及其內(nèi)涵

古典概率通常又叫“事前概率”，是指隨機事件中各種可能發(fā)生的結(jié)果及其出現(xiàn)的次數(shù)都可以由演繹或外推法得知，無需經(jīng)過任何統(tǒng)計實驗即可計算各種可能發(fā)生結(jié)果的概率。其定義如下。

若隨機試驗滿足下列條件：

（1）有限性：樣本空間Ω只有有限多個樣本點；

（2）等可能性：每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同；則事件A發(fā)生的概率為：這個概率稱為“古典概率”。

古典概率構(gòu)造了一種對有限點集的子集“測量”的比例方法。按照這種方法，隨機事件的概率可歸結(jié)為計算事件包含樣本點數(shù)與樣本空間包含樣本點數(shù)的比值。這種靜態(tài)的比例計算方法，簡單、方便、直觀，無須做大量重復(fù)的隨機試驗，概率的許多運算規(guī)則也是在這種模型下得到的。

但一個試驗是否為古典概型，在于其是否同時具備“有限性”和“等可能性”。隨機試驗結(jié)果的有限性容易判斷，但等可能性比較抽象，往往被學(xué)生忽視，進(jìn)而學(xué)生時常把“等可能性”游離出古典概率。

二、優(yōu)化古典概率教學(xué)，提升學(xué)生探究能力

（一）引導(dǎo)學(xué)生探究古典概率的數(shù)學(xué)內(nèi)涵

根據(jù)隨機試驗的目的，對樣本空間的樣本點是否“等可能”進(jìn)行判斷。通過具體實例，循序漸近、由淺入深，破解古典概率“等可能”屬性。

例如，連續(xù)擲一枚硬幣三次，觀察每次試驗的所有可能結(jié)果。用枚舉法可得到樣本空間為：

Ω1＝｛（正正正），（反正正），（正反正），（正正反），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）｝

但若將問題改為同時擲三枚硬幣一次，觀察出現(xiàn)正面或反面次數(shù)的所有可能結(jié)果。此時，和上述情況不同，用枚舉法得到的樣本空間為：

Ω2＝｛（三正），（二正一反），（二反一正），（三反）｝

（二）貼近生活，培養(yǎng)學(xué)生概率思維

在教學(xué)中要充分挖掘能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的素材，激發(fā)學(xué)生親自品味探究新事物的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生用概率的思維去面對各種隨機性問題的挑戰(zhàn)。

例如【生日問題】美國數(shù)學(xué)家伯格米尼曾做過一個實驗：在一個盛況空前、人山人海的世界杯足球賽賽場上，他隨機地在某號看臺上，請22個球迷分別寫下自己的生日，結(jié)果竟發(fā)現(xiàn)其中有兩人同一天生日。這是巧合還是暗藏有某種必然的規(guī)律？

這個問題引起了學(xué)生的興趣，經(jīng)過思考，學(xué)生利用古典概率，給出事件A：“22個球迷中至少有兩人同一天生日”，它的概率為：

表達(dá)式很清楚，但求出這個具體結(jié)果會比較困難。正好留有懸念，讓學(xué)生猜測這個值的大小，并啟發(fā)學(xué)生探討：若有r個球迷，結(jié)果會如何？按照類比方法，會容易得到事件A：“r個球迷中至少有兩人同一天生日”，它的概率為：

從常規(guī)的教學(xué)看，（1）式正確。但在將實際問題轉(zhuǎn)化為古典概率時，這個解答存在一定的瑕疵，且往往被學(xué)生忽視。首先，球迷的人數(shù)r應(yīng)小于365，（1）式才有意義，否則基于抽屜原理，一定會有兩個人生日相同；其次，這個問題能否用古典概率計算，如何保證“等可能”，如何提出滿足“等可能”的假設(shè)？借助這個具體實例，教師引導(dǎo)學(xué)生不要忽視古典概率“等可能”內(nèi)涵。需要明確，假設(shè)“每個球迷的生日在365天的任何一天是等可能的”，才可以用古典概率得到（1）式結(jié)果。

就該問題，教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究：若班級有60名學(xué)生，打賭“班級中至少有兩人生日相同”對打賭的人是否有利？班級有多少人時，這個問題對打賭的人有利？在學(xué)生猜測、討論，并急切想知道概率結(jié)果的情況下，教師把不同的r值與對應(yīng)的P（A）結(jié)果，如表1所示呈現(xiàn)給學(xué)生。

看到表1的結(jié)果，學(xué)生都會感到很驚奇?！?2個人中至少有兩人同一天生日”的概率居然已達(dá)0．476，若班級有23人，打賭說“至少有兩人同一天生日”對打賭的人就已經(jīng)有利。當(dāng)班級人數(shù)達(dá)到60人時，幾乎可以百分之百地肯定“其中至少有兩人同一天生日”。

表1 至少有兩人同一天生日的概率

學(xué)生對這樣的結(jié)果感到驚奇，其實更多的是對概率感到神奇。一個60人的班級里，居然可以基本肯定至少會有兩個學(xué)生生日相同。特別地，當(dāng)和實際情況對照檢驗時，發(fā)現(xiàn)所在60人的班級中，真的是至少有兩名學(xué)生生日相同，學(xué)生對概率的學(xué)習(xí)熱情高漲起來，再回味這個實例，也理解了概率的作用：概率結(jié)果本身雖無法告訴你下一次一定會發(fā)生什么事情，也無法替你做決策，但用概率可以預(yù)測未來。

（三）挖掘古典概率思政素材，培育學(xué)生思辨能力

法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯有句名言：“生活中最重要的問題，絕大部分其實只是概率問題。”這些概率問題又有很多可以用古典概型來描述。通過精心設(shè)計的實際問題，引導(dǎo)學(xué)生理解并應(yīng)用古典概率知識求解，其中蘊含的思政元素，既可培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，又可以起到對學(xué)生思想引領(lǐng)和價值觀塑造的作用。

例如【賭博的陷阱】街頭有一個擺攤的人，通過有獎摸球設(shè)賭。路過的人只要交2元錢就可以參加賭局。擺攤?cè)嗣媲坝袀€袋子，裝有8個紅球、8個白球。參加者從中隨機摸出8個球，當(dāng)紅、白兩色球數(shù)出現(xiàn)不同比例時，可得到對應(yīng)獎懲：8∶0獎100元；7∶1獎10元；6∶2獎5元；5∶3獎2元；4∶4罰2元。乍一看，這五種情況中有四種可獲得獎勵，只有一種會受到懲罰。試問這個游戲真的對參加人有利嗎，擺攤?cè)说氖找媲闆r又如何？

從計算結(jié)果看，游戲規(guī)則對參加者很不利。參加者基本不可能得到100元和10元。雖然得到2元（本來就是自己的）的概率達(dá)到0．49，但出現(xiàn)懲罰2元的概率也達(dá)到了0．38。而對擺攤的人，更關(guān)心這樣的游戲能給他帶來多少收益。假設(shè)有100人參與，從統(tǒng)計的角度看，平均會有12次6∶2，49次5∶3，38次4∶4，1次7∶1，0次8∶0。于是，擺攤?cè)烁督o參與人獎金的期望值為92元。而擺攤?cè)藦倪@100個人中實際可得到200元，二者差距一目了然。由此看出，雖然該游戲表面看起來很優(yōu)惠，但實際上具有很大的欺騙性。這正體現(xiàn)了“隨機非隨意，概率破玄機。無序隱有序，統(tǒng)計解謎離”。

（四）注重古典概率“由果索因”探索

在古典概率教學(xué)中，教師不僅要學(xué)生注重“由因索果”的推理，更要學(xué)生注重“由果索因”的探索，要強化問題意識，即什么條件可以保證“等可能”，那么如何避免將“等可能”游離出古典概率？教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過提出合理的假設(shè)，親歷“等可能”的生成過程，在“等可能”的前提下進(jìn)行深度探究，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例如【女士品茶問題】一位常飲奶茶的女士稱，她能從一杯沖好的奶茶中辨別出該奶茶是先放牛奶還是先放茶沖制而成。做了10次測試，結(jié)果是她都正確地辨別出來了。問該女士的說法是否可信？

概率可以告訴學(xué)生某件事情發(fā)生的概率有多大，但如果想檢驗它預(yù)測的對不對，不可能通過一兩次試驗就能看出來，而是需要大量試驗進(jìn)行檢驗。基于試驗結(jié)果對預(yù)測進(jìn)行判斷的思維方式，可延伸出數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中假設(shè)檢驗思想：首先提出一個原假設(shè)H，假如試驗結(jié)果與H發(fā)生矛盾就否絕原假設(shè)H，否則就接受原假設(shè)H。

為檢驗該女士說法是否可信，根據(jù)背景，提出原假設(shè)H：該女士說法不可信。

只有在此假設(shè)下，該女士純粹是靠運氣猜對的，即每次試驗的兩個可能結(jié)果“奶＋茶”或“茶＋奶”是等可能的，才可以用古典概率求解（注：學(xué)生一般都沒有提出這個假設(shè)的意識。同時，若提出假設(shè)：該女士說法可信，則兩個可能結(jié)果“奶＋茶”或“茶＋奶”就不是“等可能”，也就不能用古典概率），具體如下。

10次實驗一共有210個等可能結(jié)果，而事件A：“能正確分辨出放奶和放茶先后順序”，它只包含了其中一個樣本點，故該女士猜對的概率為：

根據(jù)“小概率實際推斷原理”，概率很小的事件在一次試驗中幾乎不會發(fā)生，但現(xiàn)在該事件竟然發(fā)生了，這只能說明原假設(shè)H不當(dāng)，應(yīng)予否絕，故認(rèn)為該女士的說法可信。

三、結(jié)語

在實際問題中，古典概率“等可能”的屬性可基于對稱性、均勻性等判斷；在理論層面上，可以通過假設(shè)檢驗的思想和方法進(jìn)行驗證。在古典概率的教學(xué)中，教師要時刻關(guān)注生活中“司空見慣”現(xiàn)象及其背后蘊含的科學(xué)道理和邏輯關(guān)系并予以提煉，通過精心組織、設(shè)計契合古典概率且有新意的實例，讓“呆板”的古典概率在豐富的實踐中變得栩栩如生、趣味盎然。這樣可以在提高學(xué)生對古典概率知識的理解及應(yīng)用的同時，啟迪學(xué)生的概率思維，強化學(xué)生自主提煉“等可能”假設(shè)的意識與能力，提升學(xué)生的探究能力，最終達(dá)到“寓德于教、寓教于樂、樂有所思、思有所得、得有所悟”的教學(xué)效果。這也是筆者在常年的概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中一以貫之、不懈追求的目標(biāo)。