通過成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

程?？?章建躍

(1.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 050024；2.人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

必修課程安排了樣本數(shù)據(jù)的直觀表示方法、樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征(集中趨勢參數(shù)、離散程度參數(shù))的刻畫方法，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征估計總體的相應(yīng)特征.這些方法屬于單變量統(tǒng)計問題，其核心思想是用樣本估計總體.接下來以樣本估計總體為核心思想，結(jié)合典型實例，利用成對樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性研究兩個變量之間的統(tǒng)計相關(guān)性，采用的方法是先直觀描述后定量刻畫，重點研究變量間的線性相關(guān)關(guān)系.例如，先借助成對數(shù)據(jù)散點圖，直觀觀察相關(guān)關(guān)系的類型、方向和強(qiáng)弱；再構(gòu)造相關(guān)系數(shù)定量刻畫線性相關(guān)關(guān)系的密切程度；最后建立一元線性回歸模型，進(jìn)行預(yù)測.為了回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問題，我們先將它抽象為兩個分類變量的獨立性問題，利用2×2列聯(lián)表表示數(shù)據(jù)，采用假設(shè)檢驗的方法進(jìn)行推斷.這些問題涵蓋了估計和假設(shè)檢驗兩種基本推斷方法，并蘊含著豐富的統(tǒng)計思想和方法.例如，刻畫數(shù)據(jù)特征的方法、最小二乘思想、小概率原理、頻率估計概率、假設(shè)檢驗基本原理等.本單元可以引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中，了解統(tǒng)計分析的一般方法，提高數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，運用這些方法解決簡單的實際問題.會利用統(tǒng)計軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)了如下幾點：

第一，理解兩個隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過成對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析；

第二，理解利用一元線性回歸模型可以研究變量之間的隨機(jī)關(guān)系，進(jìn)行預(yù)測；

第三，理解利用2×2列聯(lián)表可以檢驗兩個隨機(jī)變量的獨立性.

另外，課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)要通過具體案例，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)據(jù)分析的全過程，并使用相應(yīng)的統(tǒng)計軟件，這是與統(tǒng)計課程的特點緊密相關(guān)的，需要廣大一線教師給予特別關(guān)注.

2 課程標(biāo)準(zhǔn)提出的內(nèi)容與要求

1.成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性

(1)結(jié)合實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.

(2)結(jié)合實例，會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.

2.一元線性回歸模型

(1)結(jié)合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件.

(2)針對實際問題，會用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測.

3.2×2列聯(lián)表

(1)通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.

(2)通過實例，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應(yīng)用.

從上述內(nèi)容和要求的框架可以發(fā)現(xiàn)：

第一，本單元的內(nèi)容結(jié)構(gòu)是：

兩個數(shù)值變量用散點圖直觀是否具有統(tǒng)計相關(guān)性(定性)——用相關(guān)系數(shù)刻畫線性相關(guān)關(guān)系的密切程度(定量)——建立一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測.

兩個分類變量用2×2列聯(lián)表直觀判斷變量關(guān)聯(lián)性(定性)——構(gòu)建統(tǒng)計量χ2進(jìn)行獨立性檢驗(定量)——對變量間的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行統(tǒng)計推斷.

因此，先利用統(tǒng)計圖表作定性分析，再建立統(tǒng)計量進(jìn)行定量分析，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行統(tǒng)計推斷，這是對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析的“基本之道”.

第二，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)通過實例展開成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，說明本單元的教材、教學(xué)不能搞“紙上談兵”，要讓學(xué)生沉浸在統(tǒng)計分析的活動中，在親身實踐中掌握變量之間相關(guān)性、關(guān)聯(lián)性的統(tǒng)計分析方法，體驗其中的統(tǒng)計思想.

第三，成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性與一元回歸模型緊密聯(lián)系，都是研究兩個數(shù)值型變量間的相關(guān)關(guān)系.只有通過樣本系數(shù)判斷出兩個變量之間具有較強(qiáng)的線性關(guān)系時，建立一元回歸模型才有意義.

第四，課程標(biāo)準(zhǔn)對相關(guān)統(tǒng)計軟件的使用提出專門要求，體現(xiàn)了統(tǒng)計課程的特點.實際上，統(tǒng)計軟件的學(xué)習(xí)是統(tǒng)計課程的一部分.

3 本單元的認(rèn)知基礎(chǔ)分析

本單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)主要來自以下幾方面：

通過必修課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)初步建立樣本估計總體的思想，從而為學(xué)生理解用樣本相關(guān)系數(shù)推斷變量間的相關(guān)性、估計回歸系數(shù)奠定了認(rèn)知基礎(chǔ).利用兩個事件的獨立性定義兩個變量的獨立性，根據(jù)頻率穩(wěn)定到概率的事實，利用頻率推斷兩個事件是否獨立，可以降低理解的難度.

統(tǒng)計中刻畫數(shù)據(jù)特征(均值、方差)的一般方法，為構(gòu)造樣本相關(guān)系數(shù)、用偏差平方和最小估計回歸系數(shù)、構(gòu)造獨立性檢驗的統(tǒng)計量等提供了可資借鑒的思想方法.

假設(shè)檢驗的基本原理是本單元的學(xué)習(xí)難點，可以引導(dǎo)學(xué)生類比反證法來理解.

4 核心內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

下面從內(nèi)容本質(zhì)的分析入手討論這些內(nèi)容的育人價值以及教學(xué)中需要注意的問題.

4.1 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性

4.1.1 相關(guān)關(guān)系——變量間的不確定關(guān)系

兩個變量之間的數(shù)量關(guān)系有兩種不同的類型：一種是我們非常熟悉的函數(shù)關(guān)系，另一種是相關(guān)關(guān)系.變量間的相關(guān)關(guān)系可作如下直觀描述：當(dāng)一個變量取一定的數(shù)值時，與之對應(yīng)的另一個變量的值雖然不完全確定，但它按某種規(guī)律在一定的范圍內(nèi)變化.變量間的這種關(guān)系稱為不確定性的相關(guān)關(guān)系.嚴(yán)格的數(shù)學(xué)刻畫是：

設(shè)樣本空間Ω={ω}，將Ω上的兩個隨機(jī)變量(X(ω),Y(ω))稱為隨機(jī)向量.在概率論中，可以根據(jù)(X(ω),Y(ω))的分布判斷X和Y是否獨立，如果不獨立，就具有某種相關(guān)性.在實際中，我們常常利用成對樣本觀測數(shù)據(jù)(xi(ωi)，yi(ωi))，i=1，2，…，n推斷變量間的相關(guān)性.

之所以將X和Y之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系，是因為變量X可能是影響變量Y的主要因素，但不是唯一因素，還有其他種種因素，而這些因素我們又不能完全把握.

研究函數(shù)關(guān)系，可以用數(shù)學(xué)分析的方法.例如，已知y和x之間具有線性關(guān)系，即y=a+bx，此時只要知道變量的兩組取值就可以確定函數(shù)表達(dá)式.研究相關(guān)關(guān)系則必須對變量進(jìn)行多次觀測，借助統(tǒng)計的相關(guān)思想和方法進(jìn)行解決.當(dāng)然，在解決的過程中，往往要利用函數(shù)的思想和方法，也就是用確定性的工具解決不確定性問題.

4.1.2 散點圖—描述相關(guān)關(guān)系的直觀工具

由于相關(guān)關(guān)系的不確定性，尋找變量X和Y之間的相關(guān)關(guān)系時，首先要對變量進(jìn)行觀測.設(shè)n次觀測值為(xi，yi)，i=1，2，…，n．在直角坐標(biāo)系中，橫軸代表變量X，縱軸代表變量Y，將觀測數(shù)據(jù)用坐標(biāo)點的形式描繪出來，得到的圖形稱為散點圖.散點圖是研究相關(guān)關(guān)系的直觀工具，可以定性判斷相關(guān)的類型、方向和相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱.

如果散點大致分布在一條直線附近，又不完全在一條直線上，說明變量間具有線性相關(guān)關(guān)系；如果這些點大致分布在一條曲線附近，說明變量間具有非線性相關(guān)關(guān)系；如果這些點的分布幾乎沒有什么規(guī)則，說明兩個變量間沒有相關(guān)關(guān)系.對于線性相關(guān)，如果散點從左下角到右上角沿直線分布，那么兩個變量正相關(guān)；如果散點從左上角到右下角沿直線分布，兩個變量負(fù)相關(guān).散點在整體上和某一直線越接近，兩個變量間的線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng).

4.1.3 相關(guān)分析與回歸分析的關(guān)系

對變量間的相關(guān)關(guān)系，在定性分析的基礎(chǔ)上，需要進(jìn)行定量分析.定量分析有相關(guān)分析和回歸分析兩種方法.相關(guān)分析是用一個指標(biāo)(稱為相關(guān)系數(shù))來反映變量間相關(guān)關(guān)系的密切程度.回歸分析就是根據(jù)相關(guān)關(guān)系的具體形態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學(xué)模型，來近似表達(dá)變量間的平均變化關(guān)系.相關(guān)分析和回歸分析具有共同的研究對象，在具體應(yīng)用時，需要互相補充.作相關(guān)分析需要依靠回歸分析表明變量相關(guān)的具體形式，而進(jìn)行回歸分析需要通過相關(guān)分析表明變量間的相關(guān)程度，只有變量間存在高度相關(guān)時，由回歸分析得到的變量間的具體形式才有意義.

相關(guān)分析研究變量間的相關(guān)方向和相關(guān)程度，它不提供相互關(guān)系的具體形式，也無法從一個變量的變化來推測另一個變量的變化情況.相關(guān)分析不必確定哪個變量是自變量，哪個是因變量，所涉及的兩個變量可以都是隨機(jī)變量.回歸分析根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，確定一個數(shù)學(xué)方程式(回歸方程)，根據(jù)這個方程式可以由已知量推測未知量，為估算和預(yù)測提供一個重要方法.回歸分析必須事先確定具有相關(guān)關(guān)系的變量中哪個為自變量，哪個為因變量．一般地說，自變量是普通變量(人為可以控制其取值)，因變量是隨機(jī)變量．

4.1.4 如何構(gòu)造樣本相關(guān)系數(shù)

在定性刻畫的基礎(chǔ)上，需要構(gòu)造一個數(shù)值指標(biāo)(統(tǒng)計量)來刻畫成對數(shù)據(jù)相關(guān)性的強(qiáng)弱，進(jìn)而推斷兩個變量間相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，這是一個有一定難度的任務(wù)，可以借鑒必修中構(gòu)造一組數(shù)據(jù)的方差的方法.具體構(gòu)造過程中，可以從直觀出發(fā)，先構(gòu)造一個量，在研究其性質(zhì)的過程中進(jìn)行不斷修正，直到得到一個合適的統(tǒng)計量.

例如：假設(shè)圖1是依據(jù)對變量x和y進(jìn)行觀測得到的觀測值(xi，yi)，i=1，2，…，n所繪制的散點圖.

圖1

并畫散點圖(如圖2所示).可以發(fā)現(xiàn)，散點大部分分布在第一象限和第三象限，平移后的成對數(shù)據(jù)多數(shù)為同號，所以散點的橫、縱坐標(biāo)之積多數(shù)為正.同理，如果變量x和y之間是線性負(fù)相關(guān)，那么平移后的成對數(shù)據(jù)散點圖將大部分分布在第二象限和第四象限，平移后的成對數(shù)據(jù)多數(shù)為異號，所以散點的橫、縱坐標(biāo)之積多數(shù)為負(fù).這樣，平移后的成對數(shù)據(jù)橫縱坐標(biāo)之積的和的正負(fù)可以反映兩個變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān).

圖2

為了消除樣本量n的影響，構(gòu)造

顯然，Lxy符號為正時正相關(guān)，Lxy符號為負(fù)時負(fù)相關(guān).

但是Lxy受數(shù)據(jù)量綱的影響，為了消除量綱的影響，可以對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化.用

為簡單起見，把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為

得到

r是否能度量成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱呢？為此，我們進(jìn)一步研究一下r的幾何意義及相關(guān)性質(zhì).

幾何解釋：

第二分量構(gòu)成n維向量

則有

r=x′·y′=|x′||y′|cosθ=cosθ.

所以，r等于向量x′，y′夾角的余弦.

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：

(1)|r|≤1；

由此可以看到，相關(guān)系數(shù)刻畫了成對數(shù)據(jù)線性相關(guān)的密切程度.一般地，|r|越接近1，表明線性關(guān)系越密切(或越強(qiáng)).在回歸模型診斷中，通過平方和分解，構(gòu)造決定系數(shù)R2的過程中，可對r的意義有進(jìn)一步認(rèn)識.

在統(tǒng)計中，我們用樣本相關(guān)系數(shù)估計兩個變量的相關(guān)系數(shù).由于樣本具有隨機(jī)性，由兩個變量的不同樣本數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)一般也不同.當(dāng)樣本量n較小時，樣本相關(guān)系數(shù)波動較大；但當(dāng)樣本量n較大時，樣本相關(guān)系數(shù)波動幅度較小，呈現(xiàn)出穩(wěn)定性規(guī)律，此時用于推斷兩個變量間線性關(guān)系強(qiáng)弱具有較高的可信度.

需要注意的是：(1)相關(guān)系數(shù)只衡量變量間線性關(guān)系的密切程度，即使變量間具有確定的非線性函數(shù)關(guān)系，|r|也可能非常接近0.(2)當(dāng)n很小時，即使|r|非常接近1，也不表明變量間的線性關(guān)系強(qiáng).例如，無論x和y之間是何種關(guān)系，只要兩組數(shù)據(jù)對應(yīng)的點的連線與坐標(biāo)軸不平行，成對數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)|r|恒為1.

相關(guān)系數(shù)是變量間線性關(guān)系密切程度的度量，刻畫了兩組成對數(shù)據(jù)的相似性，在現(xiàn)實中有許多應(yīng)用.例如，在教育測量中，測驗的統(tǒng)計指標(biāo)有難度、區(qū)分度、信度和效度.利用這些指標(biāo)，可以對測驗分?jǐn)?shù)的可靠性、有效性、測驗?zāi)康倪_(dá)到的程度，以及根據(jù)測驗結(jié)果所獲得的信息做出科學(xué)性的決策等給出定量的回答.

區(qū)分度是衡量試題對學(xué)生實際學(xué)習(xí)水平區(qū)別程度的指標(biāo)，可用學(xué)生在某試題上的得分與測驗總分之間的相關(guān)系數(shù)r作為該題的區(qū)分度.

信度是刻畫試卷可靠性程度的指標(biāo).測驗作為測量學(xué)生學(xué)習(xí)水平的工具，也存在一個測驗的成績是否穩(wěn)定、是否可靠的問題.試卷的信度就是指該試卷對同一組被試實施兩次或多次測試，所得結(jié)果的一致性程度.一致性程度越高，試卷的信度就越高.實際中可使用兩份等價的試卷，對同一組被試相繼實施兩次測驗，求兩次測驗成績的相關(guān)系數(shù)，將這個值作為兩份試卷其中任何一份的信度系數(shù).

效度是測量的準(zhǔn)確性和有效性指標(biāo)，也就是測量的結(jié)果與所要達(dá)到的目標(biāo)之間相符合的程度，或者說測驗本身所能達(dá)到測驗?zāi)康牡某潭?由于測量目的不同，效度有不同的類型.具體分類為：內(nèi)容效度、校標(biāo)效度、結(jié)構(gòu)效度.其中校標(biāo)效度所表示的是該測驗成績與作為標(biāo)準(zhǔn)的另一個測驗(校標(biāo))的成績之間的相關(guān)程度.效度系數(shù)是兩次測驗成績之間的相關(guān)系數(shù).例如，高考模擬測驗以高考試卷作為校標(biāo)，如果某模擬測驗成績與未來高考成績的相關(guān)系數(shù)接近于1，說明該模擬試卷的效度高.

4.1.5 變量相關(guān)性的教學(xué)思考

相關(guān)關(guān)系的概念是描述性的，不必追求形式上的嚴(yán)格.建議采用案例教學(xué)法，對比函數(shù)關(guān)系，重點突出相關(guān)關(guān)系的兩個本質(zhì)特征：關(guān)聯(lián)性和不確定性.關(guān)聯(lián)性是指當(dāng)一個變量變化時，伴隨另一個變量有一定的變化趨勢；不確定性是指當(dāng)一個變量取定值時，與之相關(guān)的變量的取值仍具有隨機(jī)性.因為有關(guān)聯(lián)性，才有研究的必要性，因為其不確定性，從少量的變量觀測值，很難估計誤差的大小，因此必須對變量作大量的觀測，但每個觀測值都有一定誤差，為了消除誤差的影響，揭示變量間的本質(zhì)聯(lián)系，就必須要用統(tǒng)計分析方法.

判斷兩個變量間是否具有相關(guān)關(guān)系，一是憑經(jīng)驗及學(xué)科專業(yè)知識，二是借助散點圖.如可以引導(dǎo)學(xué)生對表1中的4個例子逐一分析其關(guān)聯(lián)性和不確定性，然后結(jié)合散點圖，進(jìn)一步判斷相關(guān)關(guān)系的類型和方向.

表1

例5(非線性相關(guān)和不相關(guān)的例子) 對0到18歲之間的未成年人來說，年齡和身高之間具有非線性的相關(guān)關(guān)系.對成年人來說，年齡和身高之間沒有相關(guān)關(guān)系.

例6吸煙和患肺部疾病之間不具有因果關(guān)系，但具有相關(guān)關(guān)系.引入兩值變量X和Y：

大量調(diào)查發(fā)現(xiàn)吸煙對患肺部疾病有一定的影響.但不吸煙者也可能患肺部疾病，吸煙者也可能不患肺部疾病，因此X和Y之間具有相關(guān)關(guān)系.

適當(dāng)列舉非線性相關(guān)和不相關(guān)的例子，有助于對相關(guān)關(guān)系的全面了解，但我們研究的重點是線性相關(guān)關(guān)系，而且正相關(guān)或負(fù)相關(guān)只對線性相關(guān)有意義.

在構(gòu)造樣本相關(guān)系數(shù)的教學(xué)中，首先要讓學(xué)生明確這里的任務(wù)是構(gòu)造一個統(tǒng)計量，用以刻畫成對數(shù)據(jù)間線性相關(guān)的強(qiáng)弱；要讓學(xué)生理解數(shù)據(jù)的平移不影響成對數(shù)據(jù)線性相關(guān)的強(qiáng)弱，但可以突出數(shù)據(jù)的特征；標(biāo)準(zhǔn)化可以消除數(shù)據(jù)量綱的影響.另外，通過幾何解釋及性質(zhì)的討論，可以使學(xué)生進(jìn)一步明確樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計意義.

4.2 一元線性回歸模型

當(dāng)兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系時，根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)繪制的散點圖中的點大致分布在一條直線附近，可以利用觀測數(shù)據(jù)確定一個數(shù)學(xué)方程式(回歸方程)，由這個方程式可以從已知量推測未知量，為估算和預(yù)測提供一個重要方法.

4.2.1 數(shù)學(xué)模型

假設(shè)因變量Y主要受自變量x的影響，它們之間的數(shù)量關(guān)系為Y=a+bx+e，其中x是非隨機(jī)變量，a,b是未知的常數(shù)，e是隨機(jī)誤差項，它反映了未列入方程的其它各種因素對Y的影響.因此Y是隨機(jī)變量，它可以用由x的值完全確定的部分a+bx和隨機(jī)誤差e來解釋.假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為σ2.

將樣本觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1，2，…，n代入Y=a+bx+e中，得數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)模型：

求解模型：求未知參數(shù)a,b的估計值，估計誤差方差σ2(高中不要求).

4.2.2 最小二乘思想

當(dāng)兩個變量之間存在相關(guān)關(guān)系時，由于其不確定性，如果只有很少幾組變量觀測值，很難估計誤差的大小.法國數(shù)學(xué)家勒讓德(Le Gendre，1752—1833)在根據(jù)測量數(shù)據(jù)預(yù)測彗星軌道的問題時，發(fā)現(xiàn)了有效利用全部測量數(shù)據(jù)的方法，即通過計算得出一組數(shù)值，在使數(shù)據(jù)組的偏差達(dá)到最小的意義下，這些數(shù)值是最優(yōu)的.勒讓德的方法得出的數(shù)值充分利用了所有數(shù)據(jù)信息，這個方法現(xiàn)在叫做最小二乘法.

1809年，德國數(shù)學(xué)家高斯(Gauss，1777—1855年)在一篇論文中分析了如何充分利用一系列測量數(shù)據(jù)來預(yù)測天體軌道的問題，其中也敘述了最小二乘法.事實上，勒讓德第一個發(fā)表了最小二乘法思想，并影響了統(tǒng)計學(xué)；高斯也使用了最小二乘法，并且考慮了最小二乘法的誤差分析問題，他還發(fā)現(xiàn)了最小二乘法理論中的重要結(jié)果，這個結(jié)果從統(tǒng)計學(xué)的角度回答了最小二乘法在縮小誤差上的優(yōu)勢，使得在勒讓德那里只是處理測量數(shù)據(jù)的代數(shù)方法逐漸滲透到統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析的領(lǐng)域，最小二乘法對統(tǒng)計學(xué)就像微積分對于數(shù)學(xué)中的影響一樣深遠(yuǎn).高斯的巨大聲望使一些歷史學(xué)家把最小二乘法歸功于他.

下面通過一個簡單問題，闡述最小二乘思想.

4.2.3 回歸系數(shù)的最小二乘估計

如何確定回歸直線方程，使得這條直線在整體上與數(shù)據(jù)點最接近？

許多統(tǒng)計思想和方法都比較直觀，采用探究式教學(xué)，學(xué)生可能提出各種不同的方法.為了防止漫無邊際的想法，教學(xué)中應(yīng)對確定回歸直線的方法提出一些基本要求.例如：盡可能利用全部數(shù)據(jù)，體現(xiàn)整體偏差最小，便于數(shù)學(xué)計算，結(jié)果確定等等.

以這些要求為基礎(chǔ)，通過對一些可能的合理方法進(jìn)行逐步修正，最后把學(xué)生的思路引導(dǎo)到使用最小二乘法估計參數(shù)，得出回歸直線方程.下面是一些可能想到的方法.

方法1：逐漸移動直線，測量各點到直線的距離，使距離和最小.該方法體現(xiàn)了整體偏差最小的思想，缺點是難以實現(xiàn)，而且測量的方法很難得到確定的結(jié)果.

方法2：選擇兩點畫直線，使直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同.這種方法沒有利用全部數(shù)據(jù)信息，其結(jié)果會因人而異.

方法3：用多條直線的斜率和截距的平均值作為回歸直線的斜率和截距.這種方法既沒有利用全部數(shù)據(jù)信息，也沒有體現(xiàn)整體誤差最小的思想，結(jié)果也不確定.

這種方法稱為最小二乘法，最小二乘法的優(yōu)點是：有效利用了全部測量數(shù)據(jù)，使誤差平方和達(dá)到最小，防止了某一極端誤差對決定參數(shù)估計值取得支配性地位.用數(shù)理統(tǒng)計知識可以證明這樣的估計也是最佳的.

上式右邊展開后是關(guān)于b的二次三項式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以得到，當(dāng)

時，Q(a,b)達(dá)到最小.

4.2.4 一元線性回歸模型的診斷

理論上，任意n組成對數(shù)據(jù)，都可以按最小二乘法得到一個回歸方程.它能否較好地描述x和Y之間的關(guān)系呢？這個問題需要通過模型診斷進(jìn)行回答.

我們?nèi)匀徊捎孟榷ㄐ院蠖康姆椒ㄟM(jìn)行模型診斷.

可得

考慮回歸平方和占總偏差平方和的比例，構(gòu)造統(tǒng)計量

我們把R2稱為決定系數(shù)或回歸貢獻(xiàn)率, 它是線性相關(guān)系數(shù)的平方，其取值范圍是0≤R2≤1.特別的，當(dāng)R2=1時，殘差平方和等于0，所有數(shù)據(jù)點都在回歸直線上，此時x和Y之間具有確定的線性關(guān)系.R2的大小反映x與Y之間線性關(guān)系的密切程度，R2越接近1，x與Y之間線性關(guān)系越密切.

4.2.5 利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行回歸分析

一元回歸分析要繪制散點圖、殘差圖及進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)值計算，Excel、R-軟件、GeoGebra都有回歸分析的功能.而GeoGebra作為一個開源軟件，功能強(qiáng)大、操作簡便.下面通過實際問題說明如何用GeoGebra進(jìn)行回歸分析.

例經(jīng)驗表明，對于同一樹種，一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大，樹就越高．由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高．在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時，某林場收集了某種樹12組成對數(shù)據(jù)，試根據(jù)數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗回歸方程.

打開GeoGebra，在菜單中選擇表格區(qū)，在表格區(qū)A，B列輸入數(shù)據(jù)，選中A，B列，然后選擇“雙變量回歸分析”.分別點選“散點圖”或者“殘差圖”顯示圖形，在回歸模型點選“線性”顯示回歸方程.點選Σx可顯示各種統(tǒng)計量的值.經(jīng)過上述操作，得出結(jié)果如圖3所示.

圖3

4.3 2×2列聯(lián)表與獨立性檢驗

估計和假設(shè)檢驗是兩種基本的統(tǒng)計推斷方法.假設(shè)檢驗的基本原理類似于反證法.先對研究的總體提出某種假設(shè)H，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個統(tǒng)計量T，直觀上可根據(jù)統(tǒng)計量取值范圍做出拒絕或接受假設(shè)H的判斷.定量的方法是依據(jù)小概率原理(實際推斷原理)，給定一個小概率α，在H成立的條件下，求得統(tǒng)計量T的分布，確定拒絕域D滿足P(T∈D)=α，一旦{T∈D}發(fā)生，則拒絕假設(shè)H.

獨立性檢驗是非參數(shù)假設(shè)檢驗χ2-分布擬合檢驗的一個特例，所研究的問題是如何根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)判斷兩個2×2分類(屬性)變量是否獨立，可以用圖4概括檢驗的步驟：

圖4

學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)有：古典概率模型，條件概率，頻率穩(wěn)定到概率，兩個事件相互獨立的概念.解決問題的依據(jù)是小概率原理以及假設(shè)檢驗的基本原理.理解其中蘊含的思想方法是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的重要途徑.

4.3.1 問題的數(shù)學(xué)抽象

在現(xiàn)實中有一類問題也屬于變量的相關(guān)性問題.例如，不同年級的學(xué)生的近視情況是否有明顯的差異？某學(xué)校男生和女生在體育鍛煉的經(jīng)常性是否有差異？吸煙與患肺部疾病是否有關(guān)？等等.對這類問題，需要給出一個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)描述.

例如，對于男生和女生體育鍛煉的經(jīng)常性是否有差異的問題，我們可以作如下數(shù)學(xué)描述：

用Ω表示該校全體學(xué)生構(gòu)成的集合(總體)，從總體中任意選擇一名學(xué)生，定義變量X和Y如下：

X和Y是兩個只取2個值的分類變量.

如果P(Y=1|X=0)≠P(Y=1|X=1)，說明體育鍛煉的經(jīng)常性有性別差異；

如果P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)，說明體育鍛煉的經(jīng)常性沒有性別差異.

容易證明P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)等價于P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1)，即事件{X=0}與{Y=1}相互獨立.根據(jù)兩個事件獨立的性質(zhì)得：{X=0}與{Y=0}，{X=1}與{Y=0}，{X=1}與{Y=1}都相互獨立.因此，對于2×2隨機(jī)變量，如果{X=1}與{Y=1}獨立，則稱變量X和Y相互獨立.

這樣，我們研究的問題就抽象為判斷兩個變量X和Y是否獨立的問題.

對于普查獲得的全部數(shù)據(jù)，容易判斷變量X和Y是否獨立.如果是隨機(jī)抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)，該如何進(jìn)行推斷呢？

4.3.2 假設(shè)檢驗基本思想方法

先分析一個簡單的問題，了解假設(shè)檢驗的基本思想與一般步驟.

問題拋擲一枚六面體骰子，重復(fù)120次試驗，各點數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)如表2所示：

表2

能否認(rèn)為這個骰子質(zhì)地均勻？

如果骰子質(zhì)地均勻，出現(xiàn)每個點數(shù)都是等可能的，理論上每個點數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)都是20，但由于隨機(jī)性，觀測頻數(shù)應(yīng)在20附近波動，根據(jù)頻率穩(wěn)定到概率的事實，當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)足夠大時，波動幅度不會太大.如果波動幅度太大，就難以用隨機(jī)性來解釋了，此時懷疑骰子的質(zhì)地不均勻.

一般地，設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xk，做n次重復(fù)試驗，出現(xiàn)的頻數(shù)分布為m1，m2，…，mk，m1+m2+…+mk=n.檢驗假設(shè)H0：P(X=xi)=pi，i=1，2，…，k.

在H0成立的條件下，事件{X=xi}發(fā)生的期望頻數(shù)為npi(i=1，2，…，k)，構(gòu)造統(tǒng)計量

χ2是反映頻率與概率(或觀測頻數(shù)與期望頻數(shù))之間整體相對偏差大小的統(tǒng)計量.直觀上，當(dāng)χ2的值過大時，懷疑H0不真.χ2多大才算過大呢？需要給出一個定量的標(biāo)準(zhǔn).統(tǒng)計學(xué)家證明了當(dāng)H0成立時，χ2近似服從自由度為k-1的χ2分布，給定一個小概率α，確定臨界值χα，使得P(χ2≥χα)=α.依據(jù)小概率原理，當(dāng){χ2≥χα}發(fā)生時，懷疑H0不真，做出拒絕H0的判斷，當(dāng){χ2<χα}發(fā)生時，接受H0.

在檢驗骰子質(zhì)地是否均勻的問題中，χ2統(tǒng)計量近似服從自由度為5的χ2分布(如圖5).給定α=0.05，利用GeoGebra軟件，得到

圖5

P{χ2≥11.07}=0.05,

χ2=5.06<11.07，

不拒絕H0，沒有理由認(rèn)為骰子質(zhì)地不均勻.

如果120次重復(fù)試驗，觀測到各點數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)如表3：

表3

從上面的分析看到，假設(shè)檢驗的一般步驟為：

建立假設(shè)→構(gòu)造統(tǒng)計量→確定檢驗規(guī)則→作出判斷并解釋.

4.3.3 如何進(jìn)行獨立性檢驗

(1)建立假設(shè)

H0：2×2分類變量X和Y獨立.

通過隨機(jī)抽樣得到X和Y的樣本數(shù)據(jù)，用列聯(lián)表(表4)表示如下：

表4

(2)構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

同理可以求得事件{X=0，Y=1}，{X=1，Y=0}，{X=1，Y=1}的期望頻數(shù).

假設(shè)H0成立，四個事件的觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)如表5所示.

表5

對于2×2列聯(lián)表數(shù)據(jù)，χ2的具體表達(dá)式為

在零假設(shè)H0成立的條件下，觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)整體應(yīng)比較接近，χ2的值不應(yīng)太大.

(3)確定檢驗規(guī)則

零假設(shè)H0成立的條件下，隨機(jī)變量χ2近似服從自由度為1的χ2分布.

對于給定的小概率α，求得臨界值χα，使得P(χ2≥χα)=α.依據(jù)小概率原理，當(dāng)事件 {χ2≥χα}發(fā)生時，拒絕H0，認(rèn)為X和Y不獨立；否則不拒絕H0，認(rèn)為X和Y獨立.

s×t獨立性檢驗，χ2近似服從自由度為 (t-1)(s-1) 的χ2分布.

(4)推斷結(jié)論的解釋

拒絕零假設(shè)H0可能犯錯誤，但犯錯誤的概率不超過α；不拒絕零假設(shè)，也并不意味著X和Y一定獨立，只是對這組樣本數(shù)據(jù)沒有充分的理由拒絕零假設(shè)；不拒絕H0時也可能犯錯誤，此時犯錯誤的概率β無法控制.一般α小時β就較大，α大時β就小.當(dāng)作出不拒絕的判斷時，可取較大的α值.

5 幾點教學(xué)建議

回歸分析是應(yīng)用非常廣泛的一種統(tǒng)計分析方法.所涉及到的建立統(tǒng)計模型思想、最小二乘思想、方差分析思想(構(gòu)造統(tǒng)計量，評價回歸擬合效果)，在統(tǒng)計中占有重要地位.獨立性檢驗則是利用概率知識，綜合考慮樣本容量、顯著性水平(犯錯誤的概率)的一種定量統(tǒng)計分析方法.本單元內(nèi)容按“實際背景——抽象統(tǒng)計模型——構(gòu)造統(tǒng)計量進(jìn)行數(shù)據(jù)分析——得出結(jié)果并解釋”的路徑，采用從直觀描述到數(shù)學(xué)刻畫、先定性后定量的統(tǒng)計分析方法，引導(dǎo)學(xué)生在解決實際問題的過程中，體會統(tǒng)計思想、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).下面提出本單元教學(xué)的幾點建議.

5.1 加強(qiáng)用樣本估計總體的思想

用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的主要載體.

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了用統(tǒng)計圖表表示數(shù)據(jù)、用平均數(shù)和方差等數(shù)字特征刻畫數(shù)據(jù)的特征，雖然也涉及了樣本估計總體，但重點在于對數(shù)據(jù)本身的統(tǒng)計特征的描述和刻畫，對數(shù)據(jù)的隨機(jī)性考慮不多.高中的統(tǒng)計內(nèi)容開始強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，要求通過隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)對總體作出估計.估計的目標(biāo)是得到總體的有關(guān)結(jié)論，此時對樣本數(shù)據(jù)本身進(jìn)行刻畫不再是目標(biāo)，而是達(dá)到目標(biāo)的一種手段或載體.因此，在高中的統(tǒng)計教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)用樣本估計總體的思想.

必修課程的統(tǒng)計主要是關(guān)于單變量總體的估計，例如通過樣本數(shù)據(jù)的均值、方差、百分位數(shù)估計總體相應(yīng)的數(shù)字特征.在選擇性必修統(tǒng)計中，我們?nèi)匀挥脴颖竟烙嬁傮w的基本思想展開研究，只是數(shù)據(jù)由一維變?yōu)槎S，總體由單變量變?yōu)殡p變量.在本章，通過樣本相關(guān)系數(shù)估計兩個變量的關(guān)系，通過一元線性回歸模型刻畫兩個變量的線性關(guān)系，通過χ2統(tǒng)計量檢驗兩個分類變量的獨立性，都是關(guān)于兩個變量這個總體的估計，教學(xué)中應(yīng)充分重視.

5.2 準(zhǔn)確把握統(tǒng)計的學(xué)科邏輯

我們知道，函數(shù)、代數(shù)、幾何、概率等內(nèi)容是從定義出發(fā)，主要使用演繹推理的方法證明結(jié)論.演繹推理是從一般到特殊的推理，只要前提正確、推理形式正確，得到的結(jié)論必然正確，因此得出的結(jié)論具有確定性.而統(tǒng)計是從樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的結(jié)論推斷總體的結(jié)論，這是一個從部分到總體、特殊到一般的推理，在推理方法上屬于不完全歸納.不完全歸納的特點是前提正確并不意味著得到的結(jié)論正確，也就是說統(tǒng)計的推斷有可能犯錯誤，結(jié)論具有不確定性.由于出發(fā)點和推理方法的不同，統(tǒng)計與函數(shù)、代數(shù)等內(nèi)容在對結(jié)論的判斷標(biāo)準(zhǔn)上也不一樣，前者是好與壞，后者是對與錯.教學(xué)中要準(zhǔn)確把握統(tǒng)計學(xué)科的這些特點，只有從整體上準(zhǔn)確把握統(tǒng)計學(xué)科邏輯的特點，才能準(zhǔn)確理解統(tǒng)計的內(nèi)容和方法，才能更好地發(fā)揮統(tǒng)計的育人功能.

5.3 注重統(tǒng)計概念和方法的產(chǎn)生和形成過程

統(tǒng)計中每一個概念和方法的引入都有其必要性，之所以成為目前的形式也都有其合理性.教學(xué)中體現(xiàn)好這個過程，不但有利于明確學(xué)習(xí)的目標(biāo)和任務(wù)，讓學(xué)生感受到知識的產(chǎn)生是自然的、合理的，還有利于在概念和方法的形成過程中讓學(xué)生體會統(tǒng)計的思想方法，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗.

我們知道，數(shù)據(jù)分析是一個透過數(shù)據(jù)探索客觀事物本質(zhì)和規(guī)律的過程，可以概括為：(1)面向?qū)嶋H背景，凝練統(tǒng)計問題；(2)明確問題目標(biāo)，收集整理數(shù)據(jù)；(3)合理構(gòu)建模型，優(yōu)化推斷結(jié)論；(4)回歸實際問題，形成決策知識.本單元的教學(xué)要特別注意落實這個過程，注重從統(tǒng)計的直觀到數(shù)學(xué)化表達(dá)的轉(zhuǎn)化，并讓學(xué)生參與其中.例如，對于估計一元線性回歸模型參數(shù)所用的最小二乘法，教學(xué)中可以啟發(fā)學(xué)生先從直覺出發(fā)，尋找整體上與散點最接近的直線，然后逐步過渡到對“整體最近”的數(shù)學(xué)刻畫，再從實際意義、數(shù)學(xué)運算等角度考慮，在若干表達(dá)式中選擇“平方和最小”作為標(biāo)準(zhǔn).在此過程中，學(xué)生既可以體會從統(tǒng)計直觀到數(shù)學(xué)表達(dá)的轉(zhuǎn)化過程，從中理解統(tǒng)計方法；又可以體會針對同一個問題可以有不同標(biāo)準(zhǔn)，由不同標(biāo)準(zhǔn)得出的不同結(jié)論都有一定的合理性，由此體會統(tǒng)計的特點和統(tǒng)計思想，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

5.4 強(qiáng)調(diào)使用統(tǒng)計軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析

課程標(biāo)準(zhǔn)在本單元“內(nèi)容要求”中明確提出“會利用統(tǒng)計軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析”的要求.事實上，如果不用統(tǒng)計軟件，那么就無法完成本單元的教學(xué)任務(wù).因此，為了有效展開本單元的教學(xué)活動，應(yīng)該要求學(xué)生掌握幾種常用的統(tǒng)計軟件，明確要求學(xué)生在學(xué)習(xí)本單元內(nèi)容時使用統(tǒng)計軟件探索數(shù)據(jù)的規(guī)律.例如，利用統(tǒng)計軟件對一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行排序等整理，計算出各種特征數(shù)，畫各種統(tǒng)計圖等；又如，在用一元線性回歸模型刻畫兩個變量之間關(guān)系時，利用統(tǒng)計軟件畫散點圖、計算樣本相關(guān)系數(shù)、求經(jīng)驗回歸方程、畫殘差圖等.