核心素養(yǎng)指向的數(shù)學(xué)教學(xué)過程設(shè)計①

喻 平 徐時芳

(1.南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 210023；2.黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)統(tǒng)計學(xué)院 558000)

王策三先生認(rèn)為：教學(xué)過程的理論所要回答和解決的問題主要有兩個：一是關(guān)于過程的性質(zhì)問題，包括教學(xué)過程與其他自然、社會諸過程的聯(lián)系和區(qū)別問題等；一是關(guān)于過程的結(jié)構(gòu)、環(huán)節(jié)、階段、程序等即模式問題[1].與王先生在學(xué)理層面討論教學(xué)過程不完全相同，我們這里把教學(xué)過程圈定在課堂教學(xué)范圍，即基于某種教育理念設(shè)定教學(xué)目標(biāo)，為實現(xiàn)這個教學(xué)目標(biāo)而設(shè)計的教學(xué)程序和策略.顯然，這涉及對教學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識問題，也涉及與教學(xué)模式相關(guān)的問題.

在提倡發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的大背景下，教學(xué)目標(biāo)發(fā)生了變化，學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)也在嬗變[2]，那么，對數(shù)學(xué)教學(xué)過程應(yīng)當(dāng)如何認(rèn)識和如何設(shè)計，這是需要認(rèn)真思考的問題.在“教學(xué)過程是師生交往的動態(tài)過程、教學(xué)過程是教師指導(dǎo)下學(xué)生的特殊認(rèn)識過程、教學(xué)過程是一個促進(jìn)學(xué)生身心發(fā)展的過程、教學(xué)過程是教書育人緊密結(jié)合的過程”[3]這些對教學(xué)本質(zhì)的宏觀理解前提下，本文結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點，按照發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)討論數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程設(shè)計.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在教學(xué)建議中的基本要點是：教學(xué)目標(biāo)制定要突出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；情境創(chuàng)設(shè)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展；既要重視教，更要重視學(xué)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)；重視信息技術(shù)運用，實現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合[4].這是一種“新教學(xué)”的要求，它不同于知識為本的教學(xué)理念.知識建構(gòu)立意的教學(xué)設(shè)計、問題探究方式的教學(xué)設(shè)計、深度學(xué)習(xí)傾向的教學(xué)設(shè)計是實現(xiàn)“新教學(xué)”目標(biāo)的有效途徑.下面分別論述.

1 知識建構(gòu)立意的教學(xué)過程設(shè)計

知識建構(gòu)立意的教學(xué)，是指教學(xué)過程始終要考慮學(xué)生對知識建構(gòu)因素的教學(xué)形式.這種教學(xué)過程設(shè)計的理論基礎(chǔ)是建構(gòu)主義.

知識立意的教學(xué)過程主要有兩種樣態(tài)，一是在新知識學(xué)習(xí)中體現(xiàn)知識建構(gòu)；二是在問題解決過程中體現(xiàn)知識建構(gòu).

1.1 新知識學(xué)習(xí)中的知識建構(gòu)教學(xué)設(shè)計

在新知識學(xué)習(xí)的教學(xué)中，其知識建構(gòu)立意的教學(xué)設(shè)計，是指要把知識學(xué)習(xí)設(shè)計為一種由學(xué)生通過對知識的自我建構(gòu)或共同體建構(gòu)來獲得知識的過程.

教師把概念直接告訴學(xué)生，給他們解釋概念的內(nèi)涵、外延，直到他們弄懂，這叫做知識的傳授；教師給學(xué)生提供一個包含某個概念的情境，或者給學(xué)生關(guān)于這個概念的一組特例，由學(xué)生從這個情境中抽象或從這些例子中概括出概念，這叫做知識的自我建構(gòu)；教師給學(xué)生的學(xué)習(xí)小組提供一個包含某個概念的情境，或者給學(xué)生關(guān)于這個概念的一組特例，由學(xué)習(xí)小組共同討論，相互補充意見，從而在情境或特例中抽象出概念，這叫做知識的共同建構(gòu).當(dāng)然，可以在情境或特例的基礎(chǔ)上，先由個人獨立思考，各人將自己思考的結(jié)果放到共同體中討論，修正和完善個人觀點，形成共同的意見，這個過程是個人建構(gòu)與共同建構(gòu)的結(jié)合.

簡單地說，新知識學(xué)習(xí)中知識建構(gòu)就是學(xué)生依據(jù)自己的經(jīng)驗和思維，采用由特殊到一般或特殊到特殊的認(rèn)識事物方式，自己認(rèn)識知識、理解知識、建構(gòu)知識的過程.將這個過程寫成一個流程圖(如圖1)，就是新知識學(xué)習(xí)中知識建構(gòu)的教學(xué)程序.

圖1 新知識學(xué)習(xí)中知識建構(gòu)教學(xué)過程

在新知識學(xué)習(xí)的知識建構(gòu)教學(xué)過程中，由于教學(xué)目標(biāo)不是只讓學(xué)生理解和掌握呈現(xiàn)結(jié)果狀態(tài)的知識，而是將知識生成的過程融入教學(xué)環(huán)節(jié)，要求學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待情境，用數(shù)學(xué)思維分析情境中的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生和發(fā)展的抽象思維過程，采用歸納、類比的合理推理方式提出假設(shè)并用演繹推理去證偽或證實假設(shè).因此，這個教學(xué)過程直接指向發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種教學(xué)模型.

1.2 問題解決中的知識建構(gòu)教學(xué)設(shè)計

一堂課可以分為兩個階段，第一階段是學(xué)習(xí)知識，第二階段是解決問題，兩個階段其實都與知識建構(gòu)相關(guān).

問題解決有不同層次之分，簡單的問題解決主要是一種模仿，可以直接用所學(xué)的知識來解決.解決這類問題的行為主要是模仿或知識的簡單遷移，其作用是通過解決簡單問題逐步加深對新知識的理解和鞏固，但這個過程不能叫作知識建構(gòu).如果解答一個問題需要用到多種知識、多個規(guī)則，或者這個問題是結(jié)構(gòu)不良問題(比如開放性問題)，那么解答過程就與建構(gòu)知識有關(guān).

問題解決活動可以使學(xué)習(xí)者更主動、更廣泛、更深入地激活自己的原有經(jīng)驗，理解分析當(dāng)前的問題情境，通過積極的分析、推理活動生成新理解、新假設(shè).而這些觀念的合理性和有效性又在問題解決活動中自然地得以檢驗，其結(jié)果可能是對原有知識經(jīng)驗的豐富、充實，也可能是對原有知識經(jīng)驗的調(diào)整、重構(gòu).因此，在問題解決活動中，新舊經(jīng)驗間的相互作用得以更充分、更有序地進(jìn)行，這使得學(xué)習(xí)活動真正切入到學(xué)習(xí)者的經(jīng)驗世界中，而不只是按照教學(xué)設(shè)計者預(yù)先確定的框架和路線來生成聯(lián)系.問題解決為新、舊經(jīng)驗的同化和順應(yīng)提供了理想的平臺.通過問題解決來學(xué)習(xí)，基于問題解決來建構(gòu)知識，這是各種探索性學(xué)習(xí)活動的重要特征[5].

問題解決中的知識建構(gòu)主要體現(xiàn)在兩個方面.

其一，在解決問題中獲得新方法.在解決一個復(fù)雜問題或結(jié)構(gòu)不良問題的過程中，解題者需要充分利用自己的知識貯存，激活與當(dāng)前問題相關(guān)的信息，將可能用于解決當(dāng)前問題有關(guān)的知識進(jìn)行梳理、篩選、提取、組合，可能形成與以往經(jīng)驗不同的路徑，由此產(chǎn)生出新的解決問題的方法和策略.對于解題者而言，這些新的方法與策略就是一種新知識，是解題者自己建構(gòu)的新知識.

其二，在提出問題中獲得新結(jié)論.對問題解決應(yīng)當(dāng)作寬泛地理解，它不只是指解決一個現(xiàn)成的問題，也包括解決這個問題之后的反思并由反思生成新的問題.解題后的反思包括幾種情形：(1)考慮問題的逆命題.把原來的問題看成是原命題，如果把它的因果關(guān)系顛倒過來，把原來的因變成果，原來的果變成因，那么會得到什么結(jié)論.(2)對問題的推廣.把一個特殊情形的問題推廣到一般情形，得到更有意義的普遍性結(jié)論.(3)將問題作變式.適當(dāng)改變問題的條件或情境，去猜想或推導(dǎo)一個新的結(jié)果.顯然，無論哪一種情況，解題者都可能得到一些新的結(jié)論，于是就形成一種自我建構(gòu)的新知識.應(yīng)當(dāng)強調(diào)的是，通過解題反思并用了上述的手段，解題者并沒有發(fā)現(xiàn)什么有意義的結(jié)果，這是無關(guān)緊要的，因為，他經(jīng)歷了知識建構(gòu)的過程，過程有時比結(jié)果更重要.

問題解決中的知識建構(gòu)教學(xué)過程設(shè)計如圖2.

圖2 問題解決中的知識建構(gòu)教學(xué)過程設(shè)計

由于問題有各種不同的類型，因此，問題解決的知識建構(gòu)過程設(shè)計可能涉及6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)形結(jié)合的問題與直觀想象相關(guān)、尋找新算法的問題與數(shù)學(xué)運算相關(guān)、數(shù)據(jù)問題與數(shù)據(jù)分析相關(guān)、模型問題與數(shù)學(xué)建模相關(guān).但是，這種教學(xué)過程設(shè)計的主要指向還是數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理，因為推廣與變式本身就是數(shù)學(xué)抽象過程，其間又與合情推理和演繹推理如影隨形.

2 問題探究方式的教學(xué)過程設(shè)計

問題探究方式教學(xué)，是指圍繞問題進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的教學(xué)形式.這種教學(xué)設(shè)計的理論基礎(chǔ)是布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論與薩奇曼探究學(xué)習(xí)理論.

數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)包括哪些類型，需要作一個分類.就“探究”而言，包括：(1)解決問題或驗證問題的探究.這類探究指問題已經(jīng)明確，去驗證一個結(jié)論的正確性，或者探究解決問題的方法和路徑.這里所說的問題，是有一定難度或者解決這個問題有多種方法的問題，不包括可以直接使用規(guī)則、程序去解答的問題.(2)提出問題的探究.這類探究所強調(diào)的是通過探究，能夠提出新的概念、問題、結(jié)論、方法.

把解決問題或驗證問題的探究學(xué)習(xí)稱為第Ⅰ類探究學(xué)習(xí)，提出并解決問題的探究學(xué)習(xí)稱為第Ⅱ類探究學(xué)習(xí).兩類不同探究學(xué)習(xí)的差異見表1.

表1 探究學(xué)習(xí)的類型與功能

兩類探究學(xué)習(xí)有不完全相同的思維方式.在第Ⅰ類探究學(xué)習(xí)中，問題的條件是明確的，問題的目標(biāo)也是明確的，探究主要針對尋找解決問題的思路和策略，找到從條件到目標(biāo)的一條或多條通路，與我們通常的解題意義相同，主要是演繹推理過程.第Ⅱ類探究學(xué)習(xí)的問題目標(biāo)可能明確也可能不明確，關(guān)鍵是條件不充分，這就需要學(xué)習(xí)者通過對情境的理解和感悟，通過自己的猜想來確定問題研究的目標(biāo)，因而在探究過程中需要發(fā)散性思維或直覺思維，同時伴隨著一系列證偽的活動.另一方面，問題的條件不充分，需要解題者通過補充或刪減問題的條件，使條件變成充分條件，這個過程既需要解題者具備扎實的知識儲備，又需要解題者有良好的知識遷移能力，直覺思維與邏輯思維并重.

2.1 第Ⅰ類探究學(xué)習(xí)的教學(xué)過程設(shè)計

根據(jù)第Ⅰ類探究學(xué)習(xí)的涵義，將教學(xué)過程表述為圖3.

圖3 第Ⅰ類探究學(xué)習(xí)教學(xué)過程設(shè)計

(1)教師提出一個問題，問題的條件和目標(biāo)都是清楚的，學(xué)生的任務(wù)是探究一條從條件到目標(biāo)的通路，本質(zhì)是驗證由這個條件可以推導(dǎo)出已知的結(jié)論.(2)教師引導(dǎo)學(xué)生探究適當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ鉀Q問題，探究的目標(biāo)是尋找方法.(3)探究結(jié)束后，教師組織學(xué)生匯報探究成果，相互交流，相互評判，最后由教師對這些成果進(jìn)行評價.

一般說來，開始提供的多是目標(biāo)清楚、條件充分的問題，學(xué)生的任務(wù)主要是尋求恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈヲ炞C結(jié)論.然后提供條件清楚，目標(biāo)不明確的問題，讓學(xué)生自由探索，可以先猜想后論證，也可以直接進(jìn)行推理推出結(jié)論.同時注意對學(xué)生的探究結(jié)果作出恰當(dāng)?shù)脑u價.

2.2 第Ⅱ類探究學(xué)習(xí)的教學(xué)過程設(shè)計

根據(jù)第Ⅱ類探究學(xué)習(xí)的涵義，將教學(xué)過程表述為圖4.

圖4 第Ⅱ類探究學(xué)習(xí)教學(xué)過程設(shè)計

教師提供一個條件不充分(指或者條件不足，或者條件冗余，或者條件不準(zhǔn)確)、目標(biāo)清楚的問題，或者提供一個條件不充分、目標(biāo)不清楚的問題(指可能完全沒有目標(biāo)，或者目標(biāo)是模糊的，或者是只有大的目標(biāo)而沒有具體目標(biāo)).

由學(xué)生自己進(jìn)行探究.對于目標(biāo)清楚、條件不充分的問題，學(xué)生需要補充、修正、完善問題的條件，然后選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題；對于目標(biāo)不清楚、條件不充分的問題，學(xué)生首先要通過分析、辨認(rèn)，概括出目標(biāo)，然后根據(jù)目標(biāo)尋找條件，選擇可能與目標(biāo)相匹配的條件，最后選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題.在這個過程中，教師可以根據(jù)學(xué)生探究的情況作適當(dāng)?shù)奶崾?

在第Ⅱ類探究性學(xué)習(xí)教學(xué)過程中，要注意兩個問題.

(1)提供的問題要具有探究性.教師提供的問題要有探究性，首先，探究的思路不是唯一的，可能存在多種途徑.如果探究路徑只有一條，那就是體現(xiàn)的特殊技能與技巧，缺少探究的性質(zhì).所謂“探”本意就是多方位、多角度地尋找，而不是只有一條路可走.其次，探究的結(jié)果可能不是唯一的，當(dāng)探究得到一個結(jié)果后，還可以回過頭來繼續(xù)探究得到另外的結(jié)果.因此，問題設(shè)計質(zhì)量的高低直接影響到探究性學(xué)習(xí)的質(zhì)量.

(2)證實與證偽的有機結(jié)合.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)是一種由知識的不確定性到知識確定性的漸進(jìn)過程.知識的不確定性階段是提出問題的過程，此時，證偽扮演著重要角色；知識的確定性階段，證實是主要手段，知識依托于邏輯去建立它的科學(xué)性，這個環(huán)節(jié)是必不可少的.探究性教學(xué)兼有證實和證偽二重性，是一種以證實為主、證偽為輔的結(jié)構(gòu)系統(tǒng).證實是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的有效手段，具有證偽的不可替代性；但是反過來，證偽能訓(xùn)練學(xué)生反思意識和批判性思維，這又是證實力所不能及的.證實與證偽兩者的融通才能充分發(fā)揮教育的功能.因此，教師要從傳統(tǒng)的教學(xué)觀向現(xiàn)代教學(xué)觀轉(zhuǎn)移，把課堂教學(xué)從證實充斥全部過程的束縛中解脫出來，整合證實與證偽，正確處理兩者的關(guān)系.

根據(jù)探究問題的不同類型，探究學(xué)習(xí)教學(xué)可以覆蓋6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，更主要的取向是邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象.

3 深度學(xué)習(xí)傾向的教學(xué)過程設(shè)計

深度學(xué)習(xí)傾向的教學(xué)，是指教學(xué)過程指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)形式.這種教學(xué)設(shè)計的理論基礎(chǔ)是深度學(xué)習(xí)理論.

深度學(xué)習(xí)有四個關(guān)鍵詞：(1)深度理解.學(xué)習(xí)者對知識本質(zhì)的理解，對事物或知識意義的理解及對自我生命意義的理解；(2)高階思維.學(xué)習(xí)者在知識建構(gòu)、問題解決的過程中，要有多種思維形式介入以及元認(rèn)知的參與；(3)知識遷移.學(xué)習(xí)者能將在一個學(xué)科中習(xí)得的知識或方法遷移到另一學(xué)科情境或現(xiàn)實情境中去解決問題；(4)實踐創(chuàng)新.學(xué)生具有一定的批判性思維意識與創(chuàng)新能力.

下面討論深度學(xué)習(xí)傾向的教學(xué)過程設(shè)計，主要圍繞深度理解、高階思維、知識遷移這三個概念來展開，將實踐創(chuàng)新維度融入到高階思維與知識遷移中去.需要指出，下面討論的三種教學(xué)過程設(shè)計，它們并不一定是各自獨立的，也就是說，它們既可以分別作為三種課型作獨立設(shè)計，也可以在一堂課或一個單元的課程中相互穿插，形成復(fù)合式的教學(xué)模型.

3.1 指向深度理解的教學(xué)過程設(shè)計

簡單地說，深度理解即對事物的理解達(dá)到了一定的深度.斯根普的“關(guān)系性理解”水平，SOLO的“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平”“拓展抽象水平”即為深度理解.從心理學(xué)的角度解釋，就是建立了陳述性知識的圖式，形成了程序性知識的雙向產(chǎn)生式系統(tǒng)，構(gòu)建了過程性知識的關(guān)系表征和觀念表征[6].

指向深度理解的教學(xué)，就是把教學(xué)目標(biāo)定位于促進(jìn)學(xué)生對知識的深度理解，應(yīng)圍繞發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象的教學(xué)目標(biāo)來設(shè)計.

(1)不僅知道“是什么”而且知道“為什么”

學(xué)習(xí)者只知道“是什么”，就是停留于工具性理解層面，如果他還知道“為什么”，就進(jìn)入了關(guān)系性理解層面.直白地說，教學(xué)中教師不能只告訴學(xué)生“算法”還要分析“算理”.為什么有的學(xué)生只能模仿老師去解題，習(xí)慣于記憶一些固定的套路、固有的模式，面對不同于樣例的問題就無從下手，不能舉一反三，其原因就是只知其法、不知其理.事實上，這樣的教學(xué)只是要求學(xué)生對知識的淺層理解而非深層理解.

在以深度理解為目標(biāo)的教學(xué)設(shè)計中，教師應(yīng)當(dāng)把講道理作為一個必要的教學(xué)環(huán)節(jié).蘇霍姆林斯基舉了一個例子，可以說明這個問題.“我面前有關(guān)于‘光合作用’這一課的教材.應(yīng)當(dāng)給學(xué)生講清楚，植物的綠色葉片里發(fā)生了什么變化.可以做到把這一切講得在科學(xué)上有根有據(jù)，在理論上和教學(xué)法上頭頭是道，但這完不成使學(xué)生達(dá)到一定的智力積極性的任務(wù).我對教材琢磨了一番，有因果關(guān)系的關(guān)鍵在哪里？有了，最關(guān)鍵的就是變無機物為有機物.這是一幅奇異而神秘的圖景：植物從土壤和空氣里吸收無機物，在自己的復(fù)雜機體中又把它們變成有機物.”[7]也就是說，要告訴學(xué)生這個東西是什么，這是容易做到的，但并不是教育的主要目標(biāo)，關(guān)鍵是要告訴學(xué)生為什么是這樣的，這樣才可能達(dá)到對知識的深度理解.

(2)幫助學(xué)生形成知識體系

對知識的理解，不能只是停留在對這個知識本身的理解上，還應(yīng)當(dāng)對這個知識所在的知識體系有全方位的認(rèn)識.例如，要理解一個概念，如果只是對它的內(nèi)涵和外延的認(rèn)識比較清楚，還不能說你就完全理解了這個概念.孤立地看待一個概念是沒有太大意義的，因為概念之間總是可能存在某種關(guān)系，它只有存在于體系中方能體現(xiàn)出價值.換句話說，理解概念必須在概念體系中來理解.事實上，SOLO評價體系中的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和拓展抽象水平，強調(diào)的就是知識之間的連通性.

例如，定義平行四邊形要用到四邊形和平行線概念，定義長方形要用到平行四邊形概念，定義正方形要用到長方形或平行四邊形概念，定義梯形要用到四邊形和平行線概念，但要理解梯形概念又必須辨析它與平行四邊形的異同.因此，要理解四邊形、平行四邊形、長方形、正方形、梯形，就必須在頭腦中建立一個以“平行”“相等”和“垂直”概念為基礎(chǔ)的網(wǎng)絡(luò)，形成一個“要理解你必須理解我、要理解我必須理解你”的邏輯理路.

(3)加強知識的應(yīng)用

知識的應(yīng)用階段需要研究的一些問題.其一，關(guān)于知識應(yīng)用的數(shù)量如何把握.數(shù)學(xué)學(xué)科每天都有大量的作業(yè)，教師要思考的問題是，知識的基本應(yīng)用、綜合應(yīng)用、遷移應(yīng)用各階段到底需要多大的練習(xí)量，當(dāng)然這既與學(xué)習(xí)內(nèi)容有關(guān)也與學(xué)生的能力水平相關(guān).其二，關(guān)于知識應(yīng)用的質(zhì)量如何把握.選擇怎樣的練習(xí)能起到事半功倍之效？這涉及研究題目的質(zhì)量，研究題目對于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科關(guān)鍵能力的作用.其三，知識的應(yīng)用如何做到循序漸進(jìn).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分為三級水平，要研究如何設(shè)計知識應(yīng)用的問題，使其能夠由低水平向高水平過渡自然、進(jìn)階井然有序.

(4)理解學(xué)科思想方法

只要有知識，就有潛藏于知識深層的思想方法，兩者相互融合、共同流淌.對知識的深度理解，就是要教師揭開這層面紗，轉(zhuǎn)隱性知識為顯性知識，引導(dǎo)學(xué)生去領(lǐng)略學(xué)科思想方法的美麗容顏.基于數(shù)學(xué)知識的科學(xué)性和文化性雙重成分，在設(shè)計對知識深度理解的教學(xué)過程中，要考慮知識教學(xué)與文化教學(xué)的有機結(jié)合，要充分揭示知識中蘊含的文化元素，讓學(xué)生能夠領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想方法.知識可能被遺忘，思想方法卻是長存的；知識是個性化的，思想方法卻是通性化的；知識是樹木，思想方法是森林.因此，缺乏對思想感悟和方法領(lǐng)會的知識理解，是一種殘缺的知識理解.

3.2 指向高階思維的教學(xué)過程設(shè)計

從思維角度看，高階思維主要包括幾個要素：邏輯思維、探索思維、批判思維、創(chuàng)新思維.指向高階思維的教學(xué)過程設(shè)計，要思考如何將這些基本的高階思維要素融入到課程教學(xué)之中，實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo).

(1)在知識講解中建構(gòu)邏輯推理鏈

邏輯推理鏈的建構(gòu)，可以采用不斷追因的方法，也可結(jié)合不斷索果的方法，目標(biāo)是構(gòu)建一個完整的因果關(guān)系鏈.對于一個新學(xué)習(xí)的知識，可以引導(dǎo)學(xué)生向前追究原因，探求這個知識形成的緣由；也可以向后索果，追問這個知識會產(chǎn)生一些什么結(jié)果.其實，就是厘清知識的來龍去脈，知識從何而來，知識向何而去，認(rèn)識知識的這兩個動態(tài)過程，甚至與理解這個知識是什么有同等重要的意義，因為，“過程”在高階思維訓(xùn)練中具有更獨特的作用，它可為學(xué)生的思維、想象提供一種足夠大的空間.

要強調(diào)的是，高階思維不能脫離低階思維而獨立存在.涓涓小溪匯聚方能成河，我們可以把低階思維視為小溪，高階思維視為河流，這大概是一種恰當(dāng)?shù)碾[喻，無小溪之水何來河流之源.高階思維的材料是知識，知識的積淀依托于低階思維，這是一條事實性因果邏輯鏈，離開低階思維的高階思維只是空中樓閣.例如，衡量高階思維水平高低的一個重要指標(biāo)是解決結(jié)構(gòu)不良問題的能力，如果學(xué)生連結(jié)構(gòu)良好的問題都解決不了，怎么可能解決結(jié)構(gòu)不良問題？這個基本的道理告訴我們，不能脫離根基而一味拔高，追求所謂的高階思維而放棄對學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的培養(yǎng)顯然是海市蜃樓.因此，在知識講解中構(gòu)建邏輯推理鏈時，要以低階思維作為基礎(chǔ)或作為高階思維的起點.

(2)在課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)探索思維情境

探索性思維情境的設(shè)計，首先，要為學(xué)生提供有探索價值的問題.有價值體現(xiàn)在幾個方面：通過探索可以抽象出一些新的概念，通過探索可以歸納出一些新的結(jié)論，通過探索可以找到幾種解決問題的路徑，通過探索可以將問題推廣為更一般的情形，通過探索可以將問題變式從而得到一串新的問題，通過探索可以發(fā)現(xiàn)隱藏在知識背后的思想方法等等.沒有好的問題，探索過程可能變得毫無意義.其次，不能把難題與探索性問題混為一談.所謂難題，是指可能需要用到多種知識、可能用到高超技巧來解決的問題.這類問題的解答有兩個明顯的特征，其一，在解答過程中，邏輯推理會進(jìn)入一種較高層面，推理步驟會增多，邏輯鏈會加長；其二，解決難題也是一個探究過程，探究解決問題的方案和解決問題的方法.從這兩個特征看，解決難題的確有高階思維的成分.但是也必須清楚地認(rèn)識到，解答難題的前提是必須運用已有的知識、規(guī)則和算法，不是在創(chuàng)新知識或創(chuàng)設(shè)算法，而且注重一些特殊的技能技巧，探究性思維顯得單一.高階思維與“難度”有關(guān)，但更與探究、批判、創(chuàng)新有直接的相關(guān)性.

3.3 指向知識遷移的教學(xué)過程設(shè)計

在教育心理學(xué)領(lǐng)域，遷移是指一種學(xué)習(xí)對另外一種學(xué)習(xí)的影響.這里所說的知識遷移是指將知識用于一種新情境中去解決問題.新情境包括其他學(xué)科情境、現(xiàn)實生活情境，也包括同一個學(xué)科中不同知識體系的情境.

指向知識遷移的教學(xué)過程設(shè)計，要思考如何設(shè)置情境，圍繞培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)開展.

(1)加強學(xué)科知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系

每個學(xué)科都有自己特定的知識內(nèi)容和研究范疇，看上去呈現(xiàn)一種相對封閉的樣態(tài).但事實上，不論是什么學(xué)科的知識，都是對自然規(guī)律和社會現(xiàn)象的描述.自然科學(xué)知識是對自然現(xiàn)象、規(guī)律的揭示和描述；社會科學(xué)知識是對社會現(xiàn)象、規(guī)律的揭示和描述；人文知識是對人類文明發(fā)展的記錄和反思.這些知識的來源是人類和自然，因此，現(xiàn)實世界就成為溝通不同知識領(lǐng)域疆界的中介.

在新知識的教學(xué)中，作教學(xué)設(shè)計時要思考：這個知識的產(chǎn)生是否有現(xiàn)實背景？它的現(xiàn)實背景可能不是唯一的，我應(yīng)當(dāng)選擇哪一種背景才能產(chǎn)生更好的教學(xué)效果？用什么方法來展示這個知識的現(xiàn)實背景使得知識的生成顯得更加自然？需要指出的是，教材上在引入一個新知識時也可能提供了一個現(xiàn)實背景，但老師應(yīng)辯證地對待，盡管這個情境是編者頗具匠心的設(shè)計，還是要思考它是否適合自己的學(xué)生學(xué)習(xí)，這個情境對學(xué)生來說是他們熟悉的嗎？對他們來說是有意義的嗎？這樣的反思會促使你去評價從而作出更好的選擇.

數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析是直面現(xiàn)實生活中的問題，用數(shù)學(xué)的眼光審視這些問題，用數(shù)學(xué)的思維分析這些問題，用數(shù)學(xué)的語言表述這些問題，本質(zhì)上就是將數(shù)學(xué)知識遷移到現(xiàn)實情境中去解決問題.

對教材上的例題和習(xí)題，可以適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行改造，將問題放到具有現(xiàn)實的背景中考察.進(jìn)一步地說，對題目的改造不只是在現(xiàn)實情境的加入層面上思考，還可能在現(xiàn)實情境的社會意義層面作思考.也就是說，在情境的設(shè)置中，完全可以考慮將品格和價值觀的教育滲入其中，使題目的解答發(fā)揮出更大的教育功能.

(2)突出數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部遷移的訓(xùn)練

知識遷移發(fā)生得更多的情形是在學(xué)科的內(nèi)部.因為，每個學(xué)科的知識也是分體系的，將一個體系中的知識或方法用于解決另一知識體系中的問題，就是一種內(nèi)部的知識遷移.如果把知識在學(xué)科內(nèi)部的遷移視為一種近遷移或中遷移，那么不同學(xué)科之間的遷移就可以認(rèn)為是一種遠(yuǎn)遷移.

突出數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部遷移訓(xùn)練的教學(xué)設(shè)計，要考慮以下幾個方面.

第一，要考慮促進(jìn)學(xué)生形成完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu).現(xiàn)代遷移理論指出，個體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是影響遷移的決定因素，優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)可促進(jìn)遷移的發(fā)生.Schunk認(rèn)為，知識遷移涉及對記憶網(wǎng)絡(luò)中知識的激活……記憶中的各個信息塊相互聯(lián)系得越多，那么一條信息的激活就越能成為其它信息激活的導(dǎo)火索.由此，學(xué)習(xí)者只有根據(jù)條件、提示信息或意義相近的命題來激活知識，才能在知識網(wǎng)絡(luò)中找到與問題相關(guān)的知識或與學(xué)習(xí)者的計劃、意圖有關(guān)的信息，才能有效實現(xiàn)知識的遷移[8].優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立，取決于學(xué)習(xí)者對知識的深度理解，取決于學(xué)習(xí)者能否將知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，并將其內(nèi)化在自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要任務(wù)就是幫助學(xué)生形成完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

第二，要組織不同遷移類型題目進(jìn)行訓(xùn)練.一般說來，學(xué)科內(nèi)部問題解決的遷移，往往是指先前解答的問題對后面問題解答產(chǎn)生的影響，先前問題叫做源題，后面的問題叫做靶題.源題A與靶題B之間存在四種關(guān)系：表面內(nèi)容相同內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同、表面內(nèi)容相同內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同、表面內(nèi)容不同內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同、表面內(nèi)容不同內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同.表面內(nèi)容是指問題的背景、情節(jié)、對象等具體內(nèi)容，內(nèi)在結(jié)構(gòu)指解決問題要用到的思想、原理、方法等.一般說來，在教學(xué)設(shè)計中要思考如何編制近遷移問題(表面內(nèi)容相同內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同)、中遷移問題(表面內(nèi)容相同內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同、表面內(nèi)容不同內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同)、遠(yuǎn)遷移問題(表面內(nèi)容不同內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同)來訓(xùn)練學(xué)生，以提升他們的問題解決遷移能力.

第三，要注重樣例的多形式設(shè)計.①樣例的變式設(shè)計.包括圖形的變化、規(guī)則變形、問題的條件強化或弱化等方法的運用.變式的目的是促使學(xué)生在頭腦中形成完整的知識結(jié)構(gòu)，從而促進(jìn)遷移的產(chǎn)生.②樣例的數(shù)量變化.不同的知識點其練習(xí)量是有區(qū)別的，就每個知識點的特性，教師應(yīng)當(dāng)研究究竟需要多少題目的訓(xùn)練學(xué)生就能夠掌握這個知識，太多的練習(xí)無疑是一種對學(xué)生時間的浪費.③樣例的組織形式.這同樣是教師需要研究的問題，不同的內(nèi)容其源題的組織形式可能是有差異的，而不同的組織形式又可能帶來教學(xué)效果的差異.例如，成組地組織樣例(一次性講解一組樣例，然后學(xué)生再練習(xí))與分散地組織樣例(講解一個樣例后學(xué)生練習(xí)，再講解一個樣例學(xué)生再練習(xí)，……)，這兩種方式到底適合于哪些內(nèi)容？這需要教師在教學(xué)實踐中去認(rèn)真研究和總結(jié).