例談圓錐曲線(xiàn)中存在性問(wèn)題的解法

?西華師范大學(xué) 潘小琴 馮長(zhǎng)煥

1 問(wèn)題提出

圓錐曲線(xiàn)作為高考的必考內(nèi)容，題型豐富多變.從近幾年的高考試題中可看出，該類(lèi)題型在考查圓錐曲線(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力也有了更加明確的要求，其中存在性問(wèn)題正是圓錐曲線(xiàn)的經(jīng)典考試題型之一.作為一種開(kāi)放式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)這類(lèi)題目的專(zhuān)題講解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).但在實(shí)際的測(cè)試中，由于時(shí)間的限制和知識(shí)的掌握不足，導(dǎo)致學(xué)生在這類(lèi)題目中表現(xiàn)出“看似套路滿(mǎn)滿(mǎn)，實(shí)則內(nèi)容空洞”的局面.筆者曾咨詢(xún)過(guò)不少學(xué)生，大多認(rèn)為圓錐曲線(xiàn)的題目難以看懂，或者是對(duì)題目所給出的條件難以有效轉(zhuǎn)化，或是計(jì)算量過(guò)大，故而產(chǎn)生放棄這類(lèi)題目的想法，由此造成學(xué)生看不懂、不想算、得分率低或者不得分的普遍現(xiàn)狀.本研究基于圓錐曲線(xiàn)存在性問(wèn)題的特征和學(xué)生在此類(lèi)題目中存在的疑難，以例題為依托，探究圓錐曲線(xiàn)中存在性問(wèn)題的解法，并在強(qiáng)化通性通法的同時(shí)，試圖尋求圓錐曲線(xiàn)存在性問(wèn)題的最佳解題策略.

2 圓錐曲線(xiàn)中存在性問(wèn)題的類(lèi)型及對(duì)策

通過(guò)對(duì)高考試題及模擬題的分析發(fā)現(xiàn)，圓錐曲線(xiàn)中常見(jiàn)的存在性問(wèn)題有四類(lèi)：存在點(diǎn)問(wèn)題、存在直線(xiàn)問(wèn)題、存在參數(shù)問(wèn)題、存在圖形問(wèn)題.但是無(wú)論哪類(lèi)問(wèn)題，均可通過(guò)特定元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、參數(shù)、圖形)的存在情況來(lái)說(shuō)明試題的結(jié)論成立與否.

2.1 存在性問(wèn)題的解題策略

2.1.1 假設(shè)結(jié)論驗(yàn)條件

根據(jù)題目的詢(xún)問(wèn)方式，一般先假設(shè)這樣的元素存在使得題目的結(jié)論成立，結(jié)合假設(shè)和已知條件進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化和推理論證，若根據(jù)所列出的代數(shù)式能夠求解出假設(shè)的元素，則假設(shè)成立；若無(wú)法求解出這樣的元素，則說(shuō)明假設(shè)與題干矛盾，則不存在這樣的元素.這種解題方法是解決存在性問(wèn)題的通用方法，根據(jù)現(xiàn)有的解題經(jīng)驗(yàn)，這種做法會(huì)涉及到圓錐曲線(xiàn)的基本知識(shí)、向量知識(shí)、方程思想、不等式知識(shí)等綜合性知識(shí)，雖然運(yùn)算過(guò)程繁雜，卻也不失為一種穩(wěn)妥的求解策略.

2.1.2 大膽猜測(cè)證結(jié)論

所謂大膽猜測(cè)證結(jié)論，即在解題的過(guò)程中率先說(shuō)明這類(lèi)元素具體的值(點(diǎn)的坐標(biāo)、直線(xiàn)的方程、參數(shù)的具體數(shù)值、圖形的具體形狀)，再給出具體的論證推理過(guò)程.但這種方法對(duì)學(xué)生個(gè)人的運(yùn)算能力和知識(shí)的掌握程度要求都非常高，故而在具體的解題過(guò)程中較少采用這種方法.

但無(wú)論采取哪種解題方式，都需要對(duì)題中的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化方式會(huì)直接影響問(wèn)題解決的難易程度，針對(duì)此種情況，筆者提出以下幾種條件的轉(zhuǎn)化策略.

2.2 條件轉(zhuǎn)化策略

2.2.1 透徹問(wèn)題本質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程

解析幾何是利用代數(shù)知識(shí)解決幾何問(wèn)題，但其實(shí)質(zhì)依舊是幾何問(wèn)題，在對(duì)試題條件進(jìn)行分析時(shí)，要抓住條件所反映出的幾何本質(zhì)，將幾何條件代數(shù)化，幫助學(xué)生簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提高運(yùn)算效率.這不但要求學(xué)生對(duì)圓錐曲線(xiàn)的基礎(chǔ)知識(shí)及其幾何性質(zhì)非常熟練，并且對(duì)知識(shí)遷移能力也有著極高的要求.因此學(xué)生在日常學(xué)習(xí)時(shí)，既要對(duì)圓錐曲線(xiàn)的知識(shí)進(jìn)行及時(shí)梳理，也要對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的常見(jiàn)題型進(jìn)行識(shí)別和總結(jié)，以便在存在性問(wèn)題的求解過(guò)程中謀劃出路.

2.2.2 選擇適當(dāng)參數(shù)，優(yōu)化解題步驟

解析幾何中涉及到的未知點(diǎn)的坐標(biāo)和未知直線(xiàn)的方程過(guò)多，根據(jù)已知條件，要盡量減少未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，加強(qiáng)未知參數(shù)和已知條件的聯(lián)系，以期優(yōu)化解題過(guò)程.例如圓錐曲線(xiàn)中會(huì)用到直線(xiàn)方程，在直線(xiàn)斜率存在的情況下，常采用含有斜率的直線(xiàn)方程(類(lèi)似于y=kx+b)，根據(jù)韋達(dá)定理將未知點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)聯(lián)起來(lái).但對(duì)于有些題目，例如下面的試題1，為了找出這樣的點(diǎn)G，將直線(xiàn)方程設(shè)成x=my+n，在無(wú)需考慮直線(xiàn)的斜率存在與否的同時(shí)，既可以減少計(jì)算又可以?xún)?yōu)化解題過(guò)程.

2.2.3 根據(jù)題目條件，選擇適當(dāng)坐標(biāo)系

解析幾何題的經(jīng)典做法是采用平面直角坐標(biāo)系，從解題經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，這無(wú)疑是一種穩(wěn)妥的解題工具.但解析幾何知識(shí)點(diǎn)多而繁雜，需要設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，增加參數(shù)的同時(shí)，會(huì)使得運(yùn)算步驟冗長(zhǎng)，容易在解題過(guò)程中導(dǎo)致學(xué)生思路混亂，解題受阻，從而導(dǎo)致試題完成率不高，解題失敗.而極坐標(biāo)系極大地減少了參數(shù)的個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，故而在有效的時(shí)間內(nèi)采用極坐標(biāo)法能事半功倍.但究竟選擇哪種方式更為合適，與學(xué)生對(duì)知識(shí)的熟練程度和試題的特征有關(guān).

3 例題呈現(xiàn)

3.1 存在點(diǎn)問(wèn)題

試題1已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在圓M:x2+y2-2x-15=0上，點(diǎn)N(-1,0)，點(diǎn)Q是線(xiàn)段PN的垂直平分線(xiàn)與線(xiàn)段PM的交點(diǎn).

(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為曲線(xiàn)C，過(guò)點(diǎn)N作曲線(xiàn)C的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)N作直線(xiàn)EF的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)H，是否存在定點(diǎn)G，使得|GH|為定值？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

解析：(1)由題知，圓M的圓心M(1,0)，半徑為4.因?yàn)辄c(diǎn)Q在線(xiàn)段PN的垂直平分線(xiàn)上，所以 |QP|=|QN|，|QN|+|QM|=|MP|=4>|MN|=2，所以點(diǎn)Q的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓.

(2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)G，使得|GH|為定值.

(ⅰ)當(dāng)兩條弦中有一直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)EF位于x軸上，此時(shí)無(wú)法確定點(diǎn)G坐標(biāo).

注：本題可設(shè)直線(xiàn)l1的方程為x=my-1(m≠0),則無(wú)需討論斜率不存在的情況.

反思：本題中看似沒(méi)有給出G點(diǎn)的位置信息，如果不能正確理解給出的幾條直線(xiàn)關(guān)系，會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手.但深究條件可知，直線(xiàn)EF始終過(guò)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)位于x軸上，由此再結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，便可求得G的坐標(biāo).而在求解過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，除了常見(jiàn)的聯(lián)立方程、韋達(dá)定理身影外，找到關(guān)鍵的直線(xiàn)方程至關(guān)重要，因此對(duì)直線(xiàn)方程的選擇，除了考慮計(jì)算量這個(gè)因素外，還要看設(shè)出的直線(xiàn)方程是否能夠優(yōu)化解題過(guò)程.

3.2 存在直線(xiàn)問(wèn)題

(1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

(2)(ⅰ)當(dāng)直線(xiàn)l⊥x軸時(shí)，此時(shí)l的方程為x=0.設(shè)點(diǎn)P在上方，根據(jù)P，Q，R，S四點(diǎn)的位置可求得這四點(diǎn)的具體坐標(biāo)，從而驗(yàn)證得到|PR|=|QS|，即直線(xiàn)l的方程能為x=0.

綜上所述，直線(xiàn)方程為x=0，y=x或y=-x.

反思：縱觀解題過(guò)程發(fā)現(xiàn)，兩種解題方法有重疊的部分，但相較之下第二種解法在優(yōu)化解題步驟的同時(shí)，也能在有限時(shí)間內(nèi)高效解題.學(xué)生在解圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，習(xí)慣采用含有直線(xiàn)斜率的距離公式來(lái)轉(zhuǎn)化弦長(zhǎng)，殊不知，這種做法無(wú)形中增加了參數(shù)，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜.此題也在提醒學(xué)生，若遇到圓與曲線(xiàn)結(jié)合的題型，弦長(zhǎng)是直線(xiàn)與圓相交所產(chǎn)生的，利用圓心和圓的半徑求解弦長(zhǎng)，能夠降低運(yùn)算量.當(dāng)然題目中涉及的動(dòng)點(diǎn)過(guò)多時(shí)，要充分利用數(shù)形結(jié)合，在圖形中大致確定動(dòng)點(diǎn)所在位置，以便對(duì)題中條件進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化.

3.3 存在參數(shù)問(wèn)題

(1)求曲線(xiàn)C的方程；

(2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)t，證明如下：

3.4 存在圖形問(wèn)題

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)以此橢圓的上頂點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

由|BM|=|BN|，得

故根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，存在這樣的內(nèi)接等腰直角三角形，且有三個(gè).

4 解題反思

值得我們思考的問(wèn)題是，無(wú)論是哪一類(lèi)型的存在性問(wèn)題，即便是選擇簡(jiǎn)化的解題方法，仍需要“精通熟練”掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)的知識(shí).知己知彼方能百戰(zhàn)百勝.在上述例題的呈現(xiàn)中我們發(fā)現(xiàn)，最佳解法的選擇并不是一開(kāi)始就形成的，而是在不斷嘗試中產(chǎn)生.條件的識(shí)別與合理轉(zhuǎn)化至關(guān)重要，這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷積累.圓錐曲線(xiàn)涉及到的未知參數(shù)較多，計(jì)算問(wèn)題也是學(xué)生的一大難點(diǎn)，許多學(xué)生被這“龐大而復(fù)雜”的計(jì)算量阻擋在了試題門(mén)外，望而卻步.對(duì)存在性問(wèn)題，我們需要做的是，理清存在性問(wèn)題的關(guān)鍵步驟和核心解法，在大膽假設(shè)中尋求問(wèn)題的答案，在反思質(zhì)疑中形成問(wèn)題的完善解法，在論證推理中提升自己的思維水平，在動(dòng)手操作的過(guò)程中培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.