高考多選題的命制類型與破解策略

?江蘇省木瀆高級中學(xué) 倪 馨

1 引言

2020年新高考山東卷、海南卷數(shù)學(xué)試題出現(xiàn)了創(chuàng)新性的試題類型——多選題，是一種正確選項數(shù)目多于1個且少于等于4個的選擇題題型.選出1個或幾個正確答案而沒有選出全部正確答案的得3分，選錯1個得0分，全部選對得5分.充分體現(xiàn)了“破定式，考真功，分層次”的命題理念，更能全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，有利于區(qū)分與選拔合格的考生，有效把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進數(shù)學(xué)教學(xué).

2 基于問題多解的判定

例1(2021屆江蘇省姜堰中學(xué)、如東中學(xué)、沭陽中學(xué)高三上期中數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷·12)已知函數(shù)f(x)=x2-4x+(m2-m)(ex-2+e2-x)(e為自然對數(shù)的底數(shù))有唯一零點，則實數(shù)m的值可以為( ).

A.1 B.-1 C.2 D.-2

分析：結(jié)合函數(shù)解析式的變形與轉(zhuǎn)化，引入?yún)?shù)并構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)奇偶性及函數(shù)圖象的對稱性，結(jié)合函數(shù)有唯一零點的條件來確定相應(yīng)的函數(shù)零點值，從而建立對應(yīng)的方程，直接求解相應(yīng)的參數(shù)值.

解析：由于函數(shù)f(x)=x2-4x+(m2-m)(ex-2+e-x+2)=(x-2)2-4+(m2-m)(ex-2+e-x+2)，令t=x-2，則g(t)=t2-4+(m2-m)(et+e-t)，其函數(shù)的定義域為R.又g(-t)=(-t)2-4+(m2-m)·(e-t+et)=g(t)，故函數(shù)g(t)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，那么要使得函數(shù)f(x)有唯一零點，則必須滿足f(2)=0，于是4-8+2(m2-m)=0，解得m=-1或2.

故選：BC.

3 基于命題真假的判定

例2如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P是空間中任意一點，下列說法正確的是( ).

圖1

C.若點P在半圓弧CD上運動，當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大時，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為2π

分析：選項A中，結(jié)合異面直線所成的角的確定與求解來判斷；選項B中，通過三角形與四邊形的展開，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來確定動線段之和的最小值問題；選項C中，利用同底的三棱錐中高最大時相應(yīng)的體積最大來確定點P的位置，進而確定三棱錐的外接球的半徑，得以求解球的表面積；選項D中，結(jié)合平面α與正方體每條棱所成的角都相等，轉(zhuǎn)化為過同一頂點的三條棱所成的角都相等，數(shù)形直觀來確定截面的最大位置并確定圖形特征，得以確定相應(yīng)的面積.

圖2 圖3

圖4 圖5

故選：ACD.

4 基于創(chuàng)新背景的判定

例3(2021屆福建省廈門重點中學(xué)高三上學(xué)期12月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題·12)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽為最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=1，an=an-1+an-2(n≥3，n∈N*).若將數(shù)列的每一項按照圖6所示的方法放進格子里，每一小格子的邊長為1，記前n項所占的格子的面積之和為Sn，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為cn，則下列結(jié)論正確的是( ).

圖6

A.a2020是偶數(shù)

B.a1+a2+a3+……+an=an+2-1

D.4(cn-cn-1)=πan-2·an+1

分析：結(jié)合數(shù)學(xué)文化背景利用已知條件，根據(jù)斐波那契數(shù)列的遞推規(guī)律，利用數(shù)論中數(shù)列各項的奇偶變化規(guī)律、數(shù)學(xué)歸納法、遞推數(shù)列的特征方程的建立與求解，以及扇形面積的轉(zhuǎn)化與關(guān)系式的確定等，來分別判斷各選項的真假情況.

解析：a1=1，a2=1，an=an-1+an-2(n≥3，n∈N*).

對于選項A，結(jié)合斐波那契數(shù)列及數(shù)論規(guī)律可知，a3k+1，a3k+2均為奇數(shù)，a3k為偶數(shù)，而a2020=a3×673+1，則知a2020是奇數(shù)，故選項A錯誤；

對于選項B，當(dāng)n=1時，a1=a3-1成立；

假設(shè)n=k(k∈N*)時，a1+a2+a3+……+ak=ak+2-1成立，那么當(dāng)n=k+1時，等式左邊=a1+a2+a3+……+ak+ak+1=ak+2-1+ak+1=ak+3-1，即當(dāng)n=k+1時等式也成立，故選項B正確；

故選：BCD.

5 結(jié)論

高考多選題的引入與設(shè)置，給數(shù)學(xué)試卷帶來了創(chuàng)新的亮點，在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本能力這一主線上，注重基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性的同時，突出了數(shù)學(xué)核心概念，強化了基礎(chǔ)知識和基本技能的有效落實，強調(diào)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，給不同層次的學(xué)生增加了得分機會，也更精準地測試和區(qū)分不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)能力水平.