拓展視角 挖掘內(nèi)涵 滲透數(shù)學(xué)文化
——“復(fù)數(shù)的三角表示”教學(xué)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

?江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué) 顧麗琴

1 引言

“復(fù)數(shù)的三角表示”是人教A版(2019年)高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)的選學(xué)內(nèi)容，主要包含復(fù)數(shù)的三角表示式和復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義兩部分.這個(gè)內(nèi)容是新教材的新增內(nèi)容，且不列為考試命題的范圍，基于此許多教師認(rèn)為不教也罷，或讓學(xué)生自學(xué).但筆者以為，既然是教材內(nèi)容，就都有教的必要.對(duì)此筆者談幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)，供大家參考.

2 為什么“復(fù)數(shù)的三角表示”不可“棄而不教”？

教材是教師組織日常教學(xué)的必備文本，離開(kāi)教材的教學(xué)難免會(huì)偏離教學(xué)大綱的要求.如果每位教師都脫離教材，想怎么教就這么教，那么必然會(huì)導(dǎo)致教學(xué)的混亂.所以數(shù)學(xué)教學(xué)必須尊重教材，嚴(yán)格按照教材實(shí)施教學(xué).或許有人會(huì)說(shuō)，既然“復(fù)數(shù)的三角表示”高考不會(huì)考到，何必把時(shí)間浪費(fèi)在不考的內(nèi)容上，筆者以為這種想法十分膚淺.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法和三角表示法將中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系在一起，用點(diǎn)、向量、三角來(lái)表示復(fù)數(shù)，不僅溝通了不同數(shù)學(xué)分支間的聯(lián)系，也體現(xiàn)了代數(shù)和幾何的有機(jī)結(jié)合.筆者認(rèn)為“復(fù)數(shù)的三角表示”不可“棄而不教”，有以下三條理由.

2.1 現(xiàn)代教育理念的要求

教育是為了什么，這是一個(gè)永恒的話(huà)題.許多人認(rèn)為高中教育就是讓學(xué)生考入大學(xué)，在這種思維的指揮下，教育變成了教學(xué)，教學(xué)又變成了應(yīng)試教學(xué)，學(xué)校成了高考的“流水線(xiàn)”，于是出現(xiàn)了“為考而教”的怪相，把“一切為了學(xué)生”變成了“一切為了考試”.所以為了擺脫應(yīng)試教育的束縛，體現(xiàn)為學(xué)生終身發(fā)展而教的教育理念，“復(fù)數(shù)的三角表示”不可“棄而不教”.

2.2 現(xiàn)行教學(xué)內(nèi)容的要求

復(fù)數(shù)是數(shù)系擴(kuò)充的“終結(jié)版”.復(fù)數(shù)必學(xué)內(nèi)容主要包含復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，其中內(nèi)含復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，但這里沒(méi)有提及復(fù)數(shù)乘法與除法的幾何意義.為了解決這個(gè)問(wèn)題，提倡并鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)“復(fù)數(shù)的三角表示”，否則對(duì)復(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)就缺乏完整性，同時(shí)也體會(huì)不到復(fù)數(shù)運(yùn)算與其他數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.此外，復(fù)數(shù)有著十分豐富的數(shù)學(xué)文化背景，如完美的棣莫佛定理([r(cosθ+i·sinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N*))，能引發(fā)學(xué)生的好奇，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.

2.3 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求

數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)是為了提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)綜合能力.數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著必然的聯(lián)系，而這種聯(lián)系不僅能幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成知識(shí)體系，而且能引導(dǎo)他們用不同的觀點(diǎn)與方法去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，從而不斷提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).復(fù)數(shù)可謂鏈接三角函數(shù)、平面向量及平面幾何的“局域網(wǎng)”，復(fù)數(shù)的三角表示是這張“局域網(wǎng)”的關(guān)鍵點(diǎn)，正是有了復(fù)數(shù)的三角表示，才能體現(xiàn)出復(fù)數(shù)的乘法與除法的幾何意義，并為復(fù)數(shù)的運(yùn)算開(kāi)辟了“廣闊的前景”.由此可見(jiàn)，復(fù)數(shù)的三角表示能體現(xiàn)出復(fù)數(shù)的價(jià)值，能幫助學(xué)生站在新的高度把握數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，基于此，“復(fù)數(shù)的三角表示”不可“棄而不教”.

3 “復(fù)數(shù)的三角表示”該如何教？

既然“復(fù)數(shù)的三角表示”不可“棄而不教”，那么作為教師對(duì)這一內(nèi)容該如何教？筆者以為應(yīng)該抓好以下四點(diǎn).

3.1 注重知識(shí)的關(guān)聯(lián)，恰當(dāng)引入，讓學(xué)生理解復(fù)數(shù)的三角表示形式

問(wèn)題1：回顧三角函數(shù)的定義，如圖1，角θ的終邊上一點(diǎn)P(x，y)，設(shè)P到原點(diǎn)O的距離|OP|=r，那么怎樣用角θ和r表示x，y？

圖1 圖2

3.2 理解復(fù)數(shù)乘除法的幾何意義，讓學(xué)生感悟知識(shí)的內(nèi)涵

兩個(gè)以代數(shù)形式給出的復(fù)數(shù)進(jìn)行乘除后，其幾何意義不明顯，而將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式后會(huì)是怎樣呢？教師可以通過(guò)代數(shù)運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合兩條途徑來(lái)引導(dǎo)學(xué)生探究.

問(wèn)題4：能依據(jù)你的計(jì)算結(jié)果說(shuō)出復(fù)數(shù)乘法與除法的幾何意義嗎？

生3：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和；兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.

圖3

通過(guò)問(wèn)題5，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)棣莫佛定理([r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N*)，滲透數(shù)學(xué)文化.

3.3 拓展視角，體會(huì)復(fù)數(shù)三角形式的優(yōu)越性

關(guān)于復(fù)數(shù)三角式的乘除運(yùn)算的數(shù)學(xué)應(yīng)用，筆者建議所選例題要體現(xiàn)用復(fù)數(shù)的三角形式解題的簡(jiǎn)便性和優(yōu)越性，如：

解析：利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義求得點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

故答案為：-2i

4 結(jié)語(yǔ)

復(fù)數(shù)內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)教材中占比較小，在高考的命題中占比也較小，但它作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)獨(dú)立體系，依然有獨(dú)特的思想方法和教學(xué)價(jià)值，可謂“麻雀雖小五臟俱全”.從培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)角度看，對(duì)于教材中出現(xiàn)的任何復(fù)數(shù)內(nèi)容，我們都不可等閑視之.以上觀點(diǎn)純屬筆者一孔之見(jiàn)，不當(dāng)之處敬請(qǐng)指正.