“三角度”看人教A版新舊教材的變化
——以“直線和圓的方程”為例

?西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 陳春菊 高 明

1 引言

隨著教育部對(duì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂，高中數(shù)學(xué)各版本教材也發(fā)生了相應(yīng)的變化.舊人教A版(2007年第3版必修2，下同)教材中的必修內(nèi)容，變成了新人教A版(2019年第1版選擇性必修第一冊(cè)，下同)的選擇性必修內(nèi)容，下面以“直線和圓的方程”為例，對(duì)人教A版的新舊教材變化進(jìn)行比較.

2 人教A版新舊教材的變化分析

2.1 結(jié)構(gòu)編排的變化

表1 新舊教材章節(jié)目錄及前后知識(shí)的變化

從章節(jié)目錄來(lái)看，新舊教材的編排結(jié)構(gòu)主要有兩個(gè)變化點(diǎn)：其一是舊教材中的“直線與方程”“圓與方程”是兩個(gè)章節(jié)，在新教材中合并為“直線和圓的方程”，使舊教材割裂編排的兩個(gè)內(nèi)容更加緊密，二者本就同屬于解析幾何范疇.其二是新教材刪掉了舊教材的“空間直角坐標(biāo)系”內(nèi)容，把它列入第一章“空間向量與立體幾何”，讓解析幾何與空間幾何的劃分更清晰.

從前后知識(shí)來(lái)看，舊教材將“空間幾何體”“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”編排在前，幾乎不涉及數(shù)的運(yùn)算.學(xué)生只能從幾何的角度解決問(wèn)題，卻無(wú)法探索形與數(shù)的關(guān)聯(lián).新教材將“空間向量與立體幾何”編排在第一章，坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的有效轉(zhuǎn)化.學(xué)生能初步感受用代數(shù)法研究幾何問(wèn)題的思想，而且“直線和圓的方程”“圓錐曲線的方程”作為解析幾何的兩大巨頭，二者的結(jié)合在高考中難度較大，如此編排對(duì)教與學(xué)的效果都會(huì)更好.

2.2 內(nèi)容呈現(xiàn)的變化

2.2.1 章節(jié)目錄的增減變化

從新舊教材章節(jié)目錄的詳細(xì)變化來(lái)看，增減變化如下：

(1)增加內(nèi)容：“探索與發(fā)現(xiàn)——方向向量與直線的參數(shù)方程”.這是舊教材中的選修內(nèi)容，新教材中是以拓展知識(shí)的形式出現(xiàn)，以幫助學(xué)生用不同方法解題，培養(yǎng)他們一題多解的數(shù)學(xué)習(xí)慣.

(2)刪減內(nèi)容：①“探索與發(fā)現(xiàn)——魔術(shù)師的地毯”.舊教材中的這一內(nèi)容與教材知識(shí)點(diǎn)脫節(jié)，有刪掉的必要性.②“信息技術(shù)應(yīng)用——用《幾何畫板》探究點(diǎn)的軌跡：圓”.幾何畫板出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)課堂上的意義就是將抽象化為直觀，但是舊教材中用幾何畫板探究軌跡，學(xué)生沒(méi)有幾何畫板的基礎(chǔ)，即使有教師講解，他們對(duì)軌跡形成的原理也無(wú)法通透理解.

2.2.2 課時(shí)內(nèi)容的具體變化

變化1：傾斜角與斜率.

其一：舊教材在引出“斜率”概念之前，先給出了“坡度比”這一生活概念，然后再分類討論傾斜角為銳角、鈍角時(shí)斜率的計(jì)算公式.新教材在正文中刪掉了“坡度比”概念，通過(guò)向量法得到“斜率”概念，直接借助高中三角函數(shù)中的正切知識(shí)點(diǎn).新教材如此編排，使學(xué)生既鞏固加深向量知識(shí)，又認(rèn)識(shí)到向量坐標(biāo)實(shí)際上就是實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間轉(zhuǎn)化的最佳載體.

其二：在推導(dǎo)兩直線互相垂直的等價(jià)代數(shù)式時(shí)，舊教材采用正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式，而新教材則直接利用兩直線方向向量的數(shù)量積.這樣的編排既簡(jiǎn)化了運(yùn)算，也使學(xué)生直觀感受到幾何與代數(shù)之間的過(guò)渡.

變化2：兩點(diǎn)間的距離.

在推導(dǎo)“兩點(diǎn)間的距離公式”時(shí)，舊教材用幾何法，借助勾股定理將斜邊轉(zhuǎn)化為兩直角邊，思路雖然簡(jiǎn)單明了，但解題過(guò)程十分復(fù)雜.而新教材用向量法，借助向量的模長(zhǎng)公式，一步到位將未知量表示出來(lái)，不僅簡(jiǎn)化了解答過(guò)程，還使得代數(shù)與幾何緊密相連，更加凸顯數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的地位.

變化3：點(diǎn)到直線的距離.

在“點(diǎn)到直線距離公式”的推導(dǎo)過(guò)程中，舊教材依舊借助勾股定理，將未知斜邊轉(zhuǎn)化為求兩直角邊，同時(shí)利用三角形面積公式，過(guò)程看似簡(jiǎn)單，實(shí)則繁瑣.新教材用兩種均不同于舊教材的方法，讓學(xué)生感受兩種方法之間的優(yōu)缺點(diǎn).其中，方法1從定義出發(fā)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離，思路自然；方法2利用向量投影，通過(guò)向量運(yùn)算簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.總之，新教材改編的兩種新方法均把坐標(biāo)運(yùn)算應(yīng)用到解題中，不僅加強(qiáng)了代數(shù)與幾何之間的融合，也教會(huì)學(xué)生在做題時(shí)從角度去思考問(wèn)題.

2.3 課后習(xí)題的變化

新舊教材除了結(jié)構(gòu)的編排和內(nèi)容的呈現(xiàn)發(fā)生了一些改變之外，課中例題和課后習(xí)題的設(shè)置也發(fā)生了一定的變化.具體如下表(如表2)：

表2 新舊教材例習(xí)題數(shù)量對(duì)比

在例題和習(xí)題的設(shè)置上，新教材與舊教材相比有兩個(gè)最大的變化，分別是：(1)新教材的每個(gè)章節(jié)習(xí)題個(gè)數(shù)相對(duì)舊教材幾乎都減少了；(2)新教材每個(gè)章節(jié)習(xí)題分設(shè)“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運(yùn)用”拓廣探索”三個(gè)層次，綜合考慮學(xué)生的個(gè)體差異性，更加符合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“因材施教”和“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的教育理念.

3 人教A版新舊教材的變化原因

3.1 “社會(huì)”的角度

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》自修訂以來(lái)，有效推動(dòng)了我國(guó)基礎(chǔ)教育的改革進(jìn)程.然而，隨著經(jīng)濟(jì)、科技的發(fā)展，社會(huì)對(duì)人才培養(yǎng)質(zhì)量提出了更高要求.因此，2017年版課標(biāo)對(duì)教學(xué)目標(biāo)的要求、教學(xué)內(nèi)容的實(shí)施與我國(guó)目前所需的現(xiàn)代化人才不相適應(yīng).同時(shí)，為了適應(yīng)新高考改革方案的出臺(tái)與實(shí)施，教育部在2020年啟動(dòng)了對(duì)2017年版課標(biāo)的修訂工作，推出了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020年修訂)》，目標(biāo)在于著力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).所以，為了適應(yīng)新課改的基本理念，各版本教材也進(jìn)行了相應(yīng)的改動(dòng).

3.2 “數(shù)學(xué)”的角度

就數(shù)學(xué)本身而言，“直線”和“圓的方程”兩者均在解析幾何這一框架之下.舊教材雖然也是把兩個(gè)內(nèi)容編排在一起，但是分章節(jié)后就無(wú)形中割裂了二者之間的聯(lián)系.而新教材考慮到它們之間的相似性，將其編排在一個(gè)章節(jié)中，而且將坐標(biāo)系的內(nèi)容融入其中，重點(diǎn)在于計(jì)算，難度相對(duì)必修內(nèi)容有所上升.這樣的編排方式不僅符合數(shù)學(xué)學(xué)科由簡(jiǎn)到繁的邏輯特點(diǎn)，也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)教材難度水平的層次性.因此，對(duì)舊教材作出改編，也是在響應(yīng)數(shù)學(xué)課程本身的要求.

3.3 “學(xué)生”的角度

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為主，培養(yǎng)適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)的能夠全面發(fā)展的人才.舊教材中“直線與方程”“圓與方程”的內(nèi)容，涉及運(yùn)算的知識(shí)點(diǎn)幾乎都是用幾何法得到結(jié)論，并沒(méi)有提及坐標(biāo)運(yùn)算，缺少對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，沒(méi)有觸及數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì).新教材“直線和圓的方程”很多公式、結(jié)論都是借助向量推出，將坐標(biāo)運(yùn)算應(yīng)用于解析幾何，從而幫助學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合思想.這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)具有重要作用.因此，有必要對(duì)新教材中解析幾何內(nèi)容的設(shè)計(jì)與編排進(jìn)行研究，從而幫助教師更有效地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)人教A版新舊教材“直線和圓的方程”的比較，得出以下結(jié)論：(1)在章節(jié)結(jié)構(gòu)編排上，新教材將舊教材中兩個(gè)章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行了整合，將“直線與方程”“圓與方程”合二為一，大體上順序不變，只是把“空間直角坐標(biāo)系”列入“空間向量與立體幾何”章節(jié)中.其編排方式更加注重知識(shí)間的整體性和聯(lián)系性，避免知識(shí)的割裂與脫節(jié)，更重視解析幾何的內(nèi)在邏輯.(2)在內(nèi)容呈現(xiàn)上，新教材對(duì)知識(shí)順序進(jìn)行了細(xì)微調(diào)整，將舊教材中“直線與圓的方程的應(yīng)用”進(jìn)行改編，安排在“直線與圓的位置關(guān)系”這一內(nèi)容之后；同時(shí)，微觀上講，新教材中這些變化有一個(gè)共同特點(diǎn)：坐標(biāo)與幾何的多次融合，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的深度結(jié)合，力求體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.(3)在例習(xí)題的設(shè)置上，新教材各小節(jié)的題目都有所改變，個(gè)別題目進(jìn)行了增減和調(diào)整，雖然總體數(shù)量變少，但難度設(shè)置分有三個(gè)水平，使得題目的層次性、開放性、綜合性都更強(qiáng).

簡(jiǎn)言之，新教材打破舊教材模塊化結(jié)構(gòu)和螺旋式上升的編排模式，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的整體性與連貫性，使內(nèi)容的邏輯更加合理.“直線和圓的方程”的修訂，新教材更加傾向于將坐標(biāo)融入解析幾何，重點(diǎn)為計(jì)算，難度相對(duì)必修內(nèi)容有所上升，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，其背后是對(duì)教師專業(yè)素質(zhì)的更高要求.