阿貝爾判別法的推廣

杜先云 任秋道

摘要：本文給出一般級數(shù)收斂的判定方法：若級數(shù)∑∞n=1bn的部分和有界，且{lim}n→∞bn=0，則級數(shù)∑∞n=1bn收斂.如果級數(shù)∑∞n=1bn的項添加括號后所成的級數(shù)收斂，且{lim}n→∞bn=0，則該級數(shù)收斂.同時推廣了級數(shù)收斂的阿貝爾判別法：當(dāng)an為一個有界數(shù)列時，如果正項（或負(fù)項）級數(shù)∑∞n=1bn收斂，那么級數(shù)∑∞n=1anbn也收斂.當(dāng)an為一個收斂數(shù)列時，如果級數(shù)∑∞n=1bn收斂，那么級數(shù)∑∞n=1anbn也收斂.

關(guān)鍵詞：級數(shù);數(shù)列;收斂

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）18-0029-03

1 級數(shù)收斂的判定

目前《數(shù)學(xué)分析》與《高等數(shù)學(xué)》的教材中，給出了級數(shù)收斂與發(fā)散的定義，以及收斂級數(shù)的一些性質(zhì)，判斷正項級數(shù)收斂的比較多，而判斷一般級數(shù)收斂的方法，只有柯西收斂原理，方法很少.本文給出二種判斷一般級數(shù)收斂的方法，同時推廣阿貝爾定理.

定理1設(shè)xn為一個有界數(shù)列.ε>0，存在N∈Z+，當(dāng)n>N時有 |xn-xn-1|<ε，則數(shù)列xn收斂.

證明 根據(jù)致密性定理可知，有界數(shù)列xn有一個收斂子列為xnk，因而存在常數(shù)a，使得{limk→∞}xnk=a.對于子列xnk某一具體的項xnk而言，其序號nk一定是有限數(shù)，從而存在有限數(shù)

M=max{nk+1-nk|k=1，2，3，……}<∞.（1）

根據(jù)已知條件，可得ε>0，m∈Z+，當(dāng)n>m時，則有|xn-xn-1|<ε2M.由于{lim}k→∞xnk=a，對于前面的ε，K∈Z+，當(dāng)k>K時，有|xnk-a|<ε2.取N=max{nK，m}，對于n>N，k0>K，使得nk0≤n≤nk0+1，由此可得

|xn-xnk0|=|xn-xn-1+xn-1-xn-2+…+xnk0+1-xnk0|≤|xn-xn-1|+|xn-1-xn-2|+…+|xnk0+1-xnk0|

<（n-nk0）ε2M≤（nk0+1-nk0）ε2M<ε2.

于是，|xn-a|≤|xn-xnk0|+|xnk0-a|<ε.

根據(jù)數(shù)列收斂的定義，數(shù)列xn收斂.證畢.

推論設(shè)級數(shù)∑∞n=1bn的部分和有界，且

{limn→∞}

bn=0，則該級數(shù)收斂.

證明設(shè)級數(shù)∑∞n=1bn的部分和xn=∑ni=1bi，根據(jù)題設(shè)，數(shù)列xn有界.

由于

{limn→∞}

bn=0，從而

bn=xn-xn-1→0，（n→∞）.

利用定理1可得結(jié)論.證畢.

定理2如果級數(shù)∑∞n=1bn的項添加括號后所成的級數(shù)收斂，且{lim}n→∞bn=0，那么該級數(shù)收斂.

證明在級數(shù)∑∞n=1bn的項添加括號過程中，如果存在一個括號里面有無窮多項，顯然它是級數(shù)添加的最后一個括號，根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)，去掉該括號前面所有的項，它的斂散性不改變，從而結(jié)論成立.現(xiàn)在假設(shè)添加的每一個括號里面只有有限多項.設(shè)級數(shù)∑∞n=1bn的項添加括號后所成的級數(shù)為（b1+b2+…+bn1）+（bn1+1+bn1+2+…+bn2）+…+（bnk+1+bnk+2+…+bnk）+….

設(shè)添加括號后所成級數(shù)的和為為t，記作∑∞k=1Snk=t.由于級數(shù)∑∞k=1Snk收斂，從而K∈Z+，其余項滿足∑∞k=KSnk|<1.令

M=max{nk+1-nk|k=1，2，3，…}<∞.

又因為{lim}n→∞bn=0，對于ε=1M，N1∈Z+，使得當(dāng)n>N1時，有|bn|<1M.取N=max{nK，N1}.對于充分大的自然數(shù)n，k0∈Z+，使得N<nk0≤n≤nk0+1，則∑∞n=1bn的部分和Sn=∑ni=1bi滿足

|Sn|=|Sn1+Sn2+…+Snk0+（bnk0+1+bnk0+2+…+bn）|

≤|∑∞k=1Snk-∑∞k=k0+1Snk|+|bnk0+1|+|bnk0+2|+…+|bn|

≤|∑∞k=1Snk|+|∑∞k=k0+1Snk|+|bnk0+1|+|bnk0+2|+…+|bn|

≤|t|+1+n-nk0M≤|t|+2.

從而該級數(shù)的部分和有界.又{lim}n→∞bn=0，利用定理1的推論可得結(jié)論.證畢.

2 阿貝爾定理的推廣

阿貝爾引理設(shè)ai，bi（i=1，2，…，n）為兩組實數(shù). 如果令σk=b1+b2+…+bk（k=1，2，…，n），那么有部分和公式

∑ni=1aibi=（a1-a2）σ1+（a2-a3）σ2+…+（an-1-an）σn-1+anσn.（2）

證明（a1-a2）σ1+（a2-a3）σ2+…+（an-1-an）σn-1+anσn=（a1-a2）b1+（a2-a3）（b1+b2）+…+（an-1-an）（b1+b2+…bn-1）

+an（b1+b2+…+bn）=a1b1-a2b1+a2（b1+b2）-a3（b1+b2）+…+an-1（b1+b2+…bn-1）-an（b1+b2+…bn-1）+an（b1+b2+…+bn-1）+anbn=∑ni=1aibi.

證畢.

根據(jù)阿貝爾引理可得：設(shè)ai（i=1，2，…，n）為單調(diào)數(shù)組，令M=max1≤i≤n{|ai|}，|σk|≤A（1≤k≤n），那么有

∑ni=1aibi<3MA.（3）

證明因為ai（i=1，2，…，n）為單調(diào)數(shù)組，不妨ai為單調(diào)遞減數(shù)組，則有

ai-ai+1≥0，i=1，2，…，n-1.

設(shè)因為M=max1≤i≤n{|ai|}，所以

|a1-an|≤|a1|+|an|≤2M.

又因為|σk|≤A（1≤k≤n），所以

|∑ni=1aibi|≤|（a1-a2）σ1|+|（a2-a3）σ2|+…+|（an-1-an）σn-1|+|anσn|

≤（a1-a2）|σ1|+（a2-a3）|σ2|+…+（an-1-an）|σn-1|+|an||σn|

≤（a1-a2）A+（a2-a3）A+…+（an-1-an）A+|an|A

≤[（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-1-an）]A+MA

=（a1-an）A+MA

≤（|a1|+|an|）A+MA

=2MA+MA

=3MA.

對于ai為單調(diào)遞增數(shù)組，結(jié)論類似，故結(jié)論成立.證畢.

定理3設(shè)ai，bi（i=1，2，…，n）為兩組實數(shù)，且存在M>0，有|ai|≤M，bi≥0（或bi≤0）.如果∑ni=1bi有界，那么∑ni=1aibi也有界.

證明因為bi≥0（或bi≤0），又∑ni=1bi有界，對于1≤k≤n，所以可設(shè)，|σk|=∑kj=1bj=∑kj=1|bj|≤∑nj=1|bj|=∑ni=1|bi|≤A.

在數(shù)集{1，2，…，n}上作一一映射f，即f（i）=j（i=1，2，…，n），并且相應(yīng)地f（ai）=aj，f（bi）=bj（i=1，2，…，n），使得f（a1），f（a2），…，f（an）單調(diào).根據(jù)阿貝爾引理的公式（3），可得

∑nj=1ajbj=∑ni=1f（ai）f（bi）

=∑ni=1aibi<3MA.（4）

因此，部分和∑ni=1aibi有界.證畢.

定理3說明，對非負(fù)（或非正）數(shù)組bi（i=1，2，…，n）為中每個數(shù)乘以一個有限數(shù)ai，它的部分和的有界性不改變.特別地，用aiM去換中的ai，可得

∑ni=1aiMbi<3A.

定理4 設(shè)an為一個有界數(shù)列.如果正項（或負(fù)項）級數(shù)∑∞n=1bn收斂，那么級數(shù)∑∞n=1anbn也收斂.

證明一方面級數(shù)∑∞n=1bn收斂，其部分和sn=∑ni=1bi有界，又?jǐn)?shù)列an有界，根據(jù)定理2，級數(shù)∑∞n=1anbn的部分和為Sn=∑ni=1aibi有界. 另一方面級數(shù)∑∞n=1bn收斂，有{limn→∞}bn=0，且an為有界函數(shù)，從而{limn→∞}（Sn-Sn-1）={limn→∞}anbn=0.

根據(jù)定理1，數(shù)列Sn收斂. 從而級數(shù)∑∞n=1anbn收斂.

推論設(shè)an為一個有界數(shù)列.如果級數(shù)∑∞n=1bn收斂，且存在m∈N+，當(dāng)n≥m時，bn≥0（或bn≤0），那么級數(shù)∑∞n=1anbn也收斂.

這是因為我們?nèi)サ艏墧?shù)前m項，不影響級數(shù)的斂散性.

定理5設(shè)an為一個收斂數(shù)列.如果級數(shù)

∑∞n=1bn收斂，那么級數(shù)∑∞n=1anbn也收斂.

參考文獻(xiàn)：

[1]?同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2016（05）.

[2] 上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2001（02）.

[3] 華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育版社，2004.

[4] 杜先云，任秋道，文華燕.條件極值與均值不等式最值的比較[J].綿陽師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2018，37（08）：30-34.

[5] 任憲林.狄利克雷判別法（數(shù)值級數(shù)）條件的說明[J].高等數(shù)學(xué)研究，2005，8（3）：21-22.

[6] 祁正濤.無窮級數(shù)收斂性的狄利克雷判別定理條件的必要性[J].鹽城工學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），1995，8（3）：111-115.

[7] 丁慧，崔國范，王鳳玲.級數(shù)一致收斂的狄利克雷判別法的相關(guān)結(jié)論研究[J].綏化學(xué)院學(xué)報，2018，38（5）：157-159.

[8] 余戡.兩類狄利克雷判別法的推廣[J].赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2018，34（7）：5-6.

[9] 劉維江.廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e法的應(yīng)用[J].安順師專學(xué)報（自然科學(xué)版），1995（04）：25-30.

[10] 唐國吉，陳向陽，裴楷.含多參量無窮積分的一致收斂性及其判別法[J].廣西民族大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，21（1）：65.

[11] 張喜善.狄利克雷與阿貝爾收斂判別法的教學(xué)研究[J].中央民族大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2018，27（1）：75-79.

[責(zé)任編輯：李璟]