如何正確運(yùn)用方差分析
——分式析因設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析與SAS實(shí)現(xiàn)

胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)委員會(huì)，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

由于析因設(shè)計(jì)所需要的水平組合數(shù)很多，不可避免地增大了樣本含量。當(dāng)研究者對(duì)試驗(yàn)研究涉及的眾多因素的情況了解甚少時(shí)，即使選用正交設(shè)計(jì)，其所需要的樣本含量仍然較多。此時(shí)，可考慮選用分式析因設(shè)計(jì)。本文將介紹分式析因設(shè)計(jì)相關(guān)的基本概念、具體實(shí)施方法以及采用SAS實(shí)現(xiàn)定量資料方差分析和回歸分析的方法。

1 基本概念

1.1 分式析因設(shè)計(jì)

將一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的析因設(shè)計(jì)按某種規(guī)則拆分成幾部分，其中，每一部分稱為原先析因設(shè)計(jì)的一個(gè)分式析因設(shè)計(jì)或分?jǐn)?shù)析因設(shè)計(jì)［1-2］。

1.2 分式析因設(shè)計(jì)的意義

在一個(gè)多因素試驗(yàn)研究中，若高階交互作用效應(yīng)不存在或可以忽略不計(jì)，采用分式析因設(shè)計(jì)可以大幅度減少因素的水平組合數(shù)，即所需的樣本含量更少。那么，減少的樣本含量多少取決于研究者對(duì)試驗(yàn)結(jié)果精確度的要求。若對(duì)精確度要求較高，所需要的樣本含量就相對(duì)較大。

1.3 分式析因設(shè)計(jì)中效應(yīng)的混雜

由于分式析因設(shè)計(jì)可在較大幅度地減少因素水平組合數(shù)的前提條件下，盡可能容納較多的因素，這就不可避免地導(dǎo)致某些因素或交互作用項(xiàng)的效應(yīng)出現(xiàn)混雜。所謂“效應(yīng)混雜”，就是某些效應(yīng)項(xiàng)重疊在一起，例如，在設(shè)計(jì)表上，當(dāng)交互作用AB與CD出現(xiàn)在同一列上時(shí)，從該列上計(jì)算出來不同水平之間的離均差平方和，就分不清它們各自的數(shù)量分別是多少。

1.4 混雜程度的分級(jí)

分式析因設(shè)計(jì)中的混雜情況有三類：分解Ⅲ設(shè)計(jì)、分解Ⅳ設(shè)計(jì)和分解Ⅴ設(shè)計(jì)［1，3］。

分解Ⅲ設(shè)計(jì)精確度最低，所需樣本含量較少。在此類設(shè)計(jì)中，主效應(yīng)彼此之間沒有混雜，但主效應(yīng)與兩因素交互作用效應(yīng)混雜，且兩因素交互作用效應(yīng)相互混雜。二水平因素的分解Ⅲ設(shè)計(jì)有很多種，例如

分解Ⅳ設(shè)計(jì)精確度居中，所需樣本含量居中。在此類設(shè)計(jì)中，主效應(yīng)彼此之間沒有混雜，主效應(yīng)與兩因素交互作用效應(yīng)之間沒有混雜，但兩因素交互作用效應(yīng)彼此之間存在混雜，例如設(shè)計(jì)和設(shè)計(jì)。二水平因素的分解Ⅳ設(shè)計(jì)還有如下幾種：設(shè)計(jì)［3］。

分解Ⅴ設(shè)計(jì)精確度最高，所需樣本含量較多。在此類設(shè)計(jì)中，主效應(yīng)或兩因素交互作用效應(yīng)與其他主效應(yīng)或兩因素交互作用效應(yīng)之間沒有混雜，但兩因素交互作用效應(yīng)與三因素交互作用效應(yīng)存在混雜，例如設(shè)計(jì)。二水平因素的分解Ⅴ設(shè)計(jì)還有設(shè)計(jì)［3］。

分解Ⅴ設(shè)計(jì)以上的設(shè)計(jì)，其精確度更高，但所需要的水平組合數(shù)也更多，例如設(shè)計(jì)（即分解Ⅵ設(shè)計(jì)，水平組合數(shù)為32）和設(shè)計(jì)（即分解Ⅶ設(shè)計(jì)，水平組合數(shù)為64）。

以上是二水平因素的分式析因設(shè)計(jì)，此外，還有三水平因素和混合水平因素的分式析因設(shè)計(jì)［3-4］。因篇幅所限，此處從略。

2 分式析因設(shè)計(jì)定量資料方差分析的基本思想

根據(jù)試驗(yàn)因素的數(shù)目、水平數(shù)以及對(duì)計(jì)算結(jié)果精確度的要求，分式析因設(shè)計(jì)的種類非常多；由于不同的分式析因設(shè)計(jì)在設(shè)計(jì)表各列上出現(xiàn)的混雜情況不同，因此，不可能采用一個(gè)統(tǒng)一的方差分析公式解決所有分式析因設(shè)計(jì)定量資料的分析問題。

方差分析的基本思想：針對(duì)每個(gè)特定的分式析因設(shè)計(jì)，在接受其基本假設(shè)（例如，某些高階交互作用效應(yīng)不存在或可以忽略不計(jì)）成立的前提條件下，首先查看設(shè)計(jì)表中是否有空列，若有空列，則可用于估計(jì)第一類試驗(yàn)誤差，也就具備進(jìn)行方差分析的基本條件；其次，查看設(shè)計(jì)表的各行上是否進(jìn)行了2次及以上獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若已進(jìn)行，則可用于估計(jì)第二類試驗(yàn)誤差；第三，應(yīng)明確設(shè)計(jì)表各列上估計(jì)的效應(yīng)是否混雜。

若兩類試驗(yàn)誤差都無法估計(jì)，就不能進(jìn)行方差分析；出現(xiàn)混雜的列上得出的計(jì)算結(jié)果是不正確的，因?yàn)樗皇窃摿兴淼囊蛩氐男?yīng)或某個(gè)交互作用項(xiàng)的效應(yīng)的真實(shí)值，而是混雜在一起的多個(gè)項(xiàng)的綜合效應(yīng)。

一般來說，若從設(shè)計(jì)表中無法直接估計(jì)試驗(yàn)誤差，可先計(jì)算各列不同水平對(duì)應(yīng)結(jié)果的平均值，采用最大值減去最小值求出極差。將設(shè)計(jì)表中極差最小的一列或多列視為“空白列”（因?yàn)樗鼈兊男?yīng)很小，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響微乎其微），它們將被用于估計(jì)第一類試驗(yàn)誤差。

3 分式析因設(shè)計(jì)一元定量資料的方差分析與SAS實(shí)現(xiàn)

3.1 實(shí)例與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

【例1】某化學(xué)試驗(yàn)涉及4個(gè)二水平因素：溫度（A）、壓力（B）、甲醛的濃度（C）和攪拌速度（D）。若采用24析因設(shè)計(jì)，因素的水平組合數(shù)為16，擬采用設(shè)計(jì)，即進(jìn)行24析因設(shè)計(jì)的二分之一實(shí)施。試驗(yàn)安排與結(jié)果見表1［3］。試分析4個(gè)因素對(duì)過濾率的影響是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

表1 4個(gè)二水平因素的試驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果Table 1 Design and the experimental results of four two-level factors

【例2】一項(xiàng)關(guān)于潤(rùn)滑油質(zhì)量的試驗(yàn)，涉及4個(gè)三水平因素：A、B、C和D（它們的專業(yè)含義從略）。各因素均取相同間隔的水平1、2、3。由于這是一個(gè)預(yù)試驗(yàn)，擬采用-34設(shè)計(jì)，即34-1設(shè)計(jì)，實(shí)際上就是4個(gè)三水平因素析因設(shè)計(jì)的三分之一實(shí)施。試驗(yàn)安排與結(jié)果見表2［4］。試分析4個(gè)因素對(duì)定量試驗(yàn)結(jié)果的影響是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，并分別分析因素的線性部分和二次項(xiàng)部分是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

表2 4個(gè)三水平因素析因設(shè)計(jì)的三分之一實(shí)施及試驗(yàn)結(jié)果Table 2 One-third implementation and the experimental results of four three-level factorial designs

3.2 用SAS實(shí)現(xiàn)方差分析

3.2.1 對(duì)例1的分析與解答

【分析與解答】所需要的SAS程序如下：

【SAS程序說明】第一個(gè)和第二個(gè)過程步（PROC UNIVARIATE和PROC PRINT）用于計(jì)算各列因素的兩個(gè)水平下過濾率平均值之差量（簡(jiǎn)稱為“效應(yīng)”）；第三個(gè)過程步（PROC GLM）用于進(jìn)行方差分析［5］；第四個(gè)過程步（PROC REG）用于進(jìn)行多重線性回歸分析［5］。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上是各列的效應(yīng)輸出結(jié)果，其中，第2～5列對(duì)應(yīng)4個(gè)因素各自的效應(yīng)，后3列對(duì)應(yīng)3個(gè)兩因素之間的交互作用的效應(yīng)。因素B的效應(yīng)和交互作用AB的效應(yīng)很小，故可以將它們合并到誤差項(xiàng)中去。

由第三個(gè)過程步輸出的結(jié)果可知，因素x1（A）、因素x3（C）、因素x4（D）、交互作用x1*x3和交互作用x1*x4這5項(xiàng)對(duì)過濾率的影響均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，與它們對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值和P值如下。x1：F=222.15，P=0.004 5；x3：F=120.62，P=0.008 2；x4：F=167.54，P=0.005 9；x1*x3：F=210.62，P=0.004 7；x1*x4：F=222.15，P=0.004 5。

由第四個(gè)過程步輸出的結(jié)果可知，多重線性回歸模型中的各項(xiàng)均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義?；诨貧w系數(shù)的計(jì)算結(jié)果，可寫出多重線性回歸模型：

基于上述多重線性回歸方程，可以對(duì)過濾率進(jìn)行預(yù)測(cè)。例如，當(dāng)3個(gè)因素都取1水平時(shí)，則有：

文獻(xiàn)［3］給出了與此例對(duì)應(yīng)的完全析因設(shè)計(jì)（24析因設(shè)計(jì)）資料及回歸方程如下：

基于上述多重線性回歸方程，可以對(duì)過濾率進(jìn)行預(yù)測(cè)。例如，當(dāng)3個(gè)因素都取1水平時(shí)，則有：Y?=70.06+10.81+4.94+7.31-9.06+8.31=92.37（%）。

由此可知，采用24析因設(shè)計(jì)的二分之一的設(shè)計(jì)（即24-1設(shè)計(jì)），可以獲得與原設(shè)計(jì)（指24析因設(shè)計(jì)）十分近似的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果和結(jié)論。

3.2.2 對(duì)例2的分析與解答

【分析與解答】所需要的SAS程序如下：

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

由第一個(gè)過程步定義的總模型的方差分析輸出結(jié)果可知，總模型有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=11.87，P<0.000 1）。

由第一個(gè)過程步定義的總模型中各因素的方差分析輸出結(jié)果可知，因素A（F=16.34，P<0.000 1）、因素B（F=10.06，P=0.001 2）和因素C（F=20.06，P<0.000 1）對(duì)定量結(jié)果的影響均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而因素D（F=1.03，P=0.377 2）則無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

由第二個(gè)過程步的輸出結(jié)果可知，就4個(gè)因素對(duì)結(jié)果影響的線性部分（分別為AL、BL、CL和DL）的方差分析結(jié)果而言，因素A（F=31.98，P<0.000 1）、因素B（F=20.06，P<0.000 1）和因素 C（F=40.09，P<0.000 1）的線性部分均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，因素D（F=1.55，P=0.228 8）的線性部分無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

由第三個(gè)過程步的輸出結(jié)果可知，4個(gè)因素對(duì)定量結(jié)果影響的二次方部分（分別為AQ、BQ、CQ和DQ）的方差分析結(jié)果均無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（具體的F值和P值從略）。

由第四個(gè)過程步的輸出結(jié)果可知，因素B（即x2）（F=21.11，P=0.000 1）、因素 C（即 x3）（F=43.98，P<0.000 1）和因素A的平方項(xiàng)（即x12）（F=35.85，P<0.000 1）對(duì)結(jié)果的影響均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。對(duì)應(yīng)的多重線性回歸方程如下：

4 討論與小結(jié)

4.1 討論

與相同規(guī)模的析因設(shè)計(jì)相比，一個(gè)特定的分式析因設(shè)計(jì)可安排的因素個(gè)數(shù)相同，但因素的水平組合數(shù)更少。對(duì)于二水平因素而言，通?？梢詼p少二分之一或四分之三或八分之七；對(duì)于三水平因素而言，通常可以減少三分之一或九分之八或二十七分之二十六。然而，其結(jié)果的精確度會(huì)降低：減少的組合數(shù)越多，精確度越低。一系列分式析因設(shè)計(jì)的表格見文獻(xiàn)［3，6］。

4.2 小結(jié)

本文介紹了分式析因設(shè)計(jì)的基本概念以及二水平因素和三水平因素的分式析因設(shè)計(jì)的具體實(shí)施，基于SAS軟件實(shí)現(xiàn)了二分之一24析因設(shè)計(jì)和三分之一34析因設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析，并對(duì)定量資料進(jìn)行多重線性回歸分析，給出了可用于預(yù)測(cè)的多重線性回歸方程。