基于小波去噪的優(yōu)化灰色模型在變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

范飛玲 黃基峻

(1.慶元縣規(guī)劃測(cè)繪設(shè)計(jì)院 浙江麗水 323800；2.廣西機(jī)電工業(yè)學(xué)校 廣西南寧 530023)

由于受到自然或者人為因素的影響，建筑物在施工或者運(yùn)營(yíng)階段不可避免地會(huì)發(fā)生變形，對(duì)其進(jìn)行沉降監(jiān)測(cè)意義重大[1]。建筑物沉降監(jiān)測(cè)是對(duì)建筑物的沉降過程進(jìn)行嚴(yán)格監(jiān)控，觀測(cè)是否會(huì)發(fā)生超臨界沉降情況，以便將沉降變形控制在合理范圍內(nèi)，從而保證工程安全實(shí)施。

小波去噪在處理數(shù)據(jù)時(shí)能夠剔除原始數(shù)據(jù)中的異常值，使原始數(shù)據(jù)序列更加平滑?；疑Ｐ褪浅Ｓ玫某两殿A(yù)測(cè)模型，但數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)呈指數(shù)變化形式，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際工況存在差異，如果采用恒正凹化和相鄰均值法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理能較好地彌補(bǔ)這一缺點(diǎn)，提高模型精度。本文以某建設(shè)項(xiàng)目建筑物形變監(jiān)測(cè)為研究對(duì)象，基于小波去噪理論和灰色GM(1，1)理論，構(gòu)建GM(1，1)模型和優(yōu)化GM(1，1)模型，根據(jù)重構(gòu)去噪前后預(yù)測(cè)模型，對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析。

1 小波閾值法去噪

當(dāng)信號(hào)中混有噪聲時(shí)，小波閾值法可以很好地抑制噪聲。小波閾值法去噪的前提是噪聲都具有相同的幅值，因此，可以通過設(shè)置一個(gè)閾值，將幅值低于該閾值的小波系數(shù)置為0，高于該閾值的小波系數(shù)完全保留， 或者做相應(yīng)的“收縮”(shrinkage)處理，達(dá)到去噪效果[2]。

變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中混有噪聲信號(hào)，可表示為

s(x)=f(x)+e(i)，i=1，2，…，n

(1)

式中：s(x)為變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，包含了真實(shí)變形量和確定性噪聲，f(x)為真實(shí)變形量，e(i)為隨機(jī)噪聲。

閾值去噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)超過和低于閾值的小波系數(shù)的不同處理策略，是閾值去噪中關(guān)鍵的一步。閾值分為兩類，一是硬閾值，二是軟閾值。通過信號(hào)與閾值的對(duì)比，保持大于閾值的點(diǎn)不變，把其余的點(diǎn)置零，那么把它就叫作硬閾值[3]。硬閾值函數(shù)的表達(dá)式為

(2)

軟閾值函數(shù)的表達(dá)式為

(3)

式中：λ為給定閾值，ω為小波系數(shù)，ωλ為賦予閾值后的小波系數(shù)，sign(*)為符號(hào)函數(shù)。

當(dāng)小波系數(shù)的絕對(duì)值小于閾值時(shí)，小波系數(shù)置零，當(dāng)小波系數(shù)的絕對(duì)值大于或等于閾值時(shí)，小波系數(shù)變成該點(diǎn)與閾值的差值，這樣的閾值稱為軟閾值。而硬閾值則直接使用置零方法，所以軟閾值的曲線較硬閾值的曲線更為光滑，效果更好。

2 灰色模型

2.1 GM(1，1)模型

GM(1，1)模型是指僅由一個(gè)變量的一階微分方程形成的模型，其建模步驟如下：

1)累加生成。設(shè)原始序列為x(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}，對(duì)x(0)做一次累加，得到x(1)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}。

(4)

(5)

2.2 GM(1，1)模型的精度檢驗(yàn)

為了評(píng)價(jià)GM(1，1)模型的精度，需要建立評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行說明。通常精度評(píng)定包括3個(gè)參數(shù)：殘差大小、關(guān)聯(lián)度和后驗(yàn)差[4]。

殘差是指預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的差值，可表示為

(6)

式中：e(k)為第k次變形監(jiān)測(cè)的殘差。

關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)是指構(gòu)建的模型能否與原始數(shù)據(jù)進(jìn)行較好的匹配，其匹配程度如何。

表1 模型精度等級(jí)評(píng)價(jià)Tab.1 Grade Evaluation of Model Accuracy 模型精度等級(jí)PC1級(jí)(好)0.95≤ PC ≤ 0.352級(jí)(合格)0.80≤P< 0.950.35

2.3 優(yōu)化GM(1，1)模型

對(duì)于不同發(fā)展趨勢(shì)的原始數(shù)據(jù)序列，其灰色GM(1，1)的建模效果不一：對(duì)于原始數(shù)據(jù)呈凹向且恒為正的序列，模型預(yù)測(cè)效果最佳；而對(duì)凸向的數(shù)據(jù)序列和非恒正的數(shù)據(jù)序列，模型預(yù)測(cè)誤差較大[5]。對(duì)于這種缺陷，GM(1，1)優(yōu)化模型可采用“鏡像”和“平移”等手段對(duì)序列{x(0)(tk)}進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使其呈現(xiàn)恒正凹型特性，再根據(jù)序列中相鄰數(shù)據(jù)求取的平均值生成新序列{x(00)(tk-1)}。對(duì)新數(shù)列再次建模[6]，同樣用面積表示方程f(tx)在時(shí)區(qū)上的增量，就可以讓區(qū)間前半部分通過彌補(bǔ)陰影部分來降低計(jì)算誤差，如圖1所示。

圖1 GM(1，1)建模和優(yōu)化GM(1，1)建模

等時(shí)距監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列可表示為

{x(0)(t)}={x(0)(t1)，x(0)(t2)，…，x(0)(tn)}

(7)

時(shí)間間距可表示為

Δti=ti-ti-1； Δtj=tj-tj-1

(8)

若Δti=Δtj，i≠j，i、j∈{1，2，…，n}，則代表序列中時(shí)間間隔相等。

建模前，采用相鄰均值法進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，即對(duì)序列中所有相鄰數(shù)據(jù)求取平均值生成新序列。

(9)

重新對(duì)序列{x(00)(ti)}進(jìn)行建模，累加結(jié)果為

x(01)(tk)=x(00)(t1)×Δt1+x(00)(t2)× Δt2+…+x(00)(tk)×Δtk

(10)

采用最小二乘法可求得發(fā)展系數(shù)a和灰作用量u，獲得序列{x(00)(tk)}時(shí)間響應(yīng)方程式。

(11)

(12)

3 工程實(shí)例驗(yàn)證

本文以某建設(shè)項(xiàng)目的一號(hào)住宅樓的101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和二號(hào)樓的205監(jiān)測(cè)點(diǎn)為研究對(duì)象，項(xiàng)目地塊以平地為主，坡度較緩，南北寬約169.84 m，東西長(zhǎng)294.33 m。建設(shè)項(xiàng)目周圍建筑物眾多，人員密集，且分布著密集的城市地下管線，建筑變形如果超出限定范圍，會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的后果，所以有必要進(jìn)行嚴(yán)格的變形監(jiān)測(cè)。本次均使用這兩點(diǎn)的29期觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析。

3.1 監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)小波去噪

在小波去噪過程中，選擇的小波基函數(shù)、閾值和分解層次等因子不同，得到的去噪結(jié)果也不同[8]，因此，要找到對(duì)某個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)最優(yōu)小波去噪結(jié)果，需要對(duì)不同因子不斷進(jìn)行對(duì)比分析。

根據(jù)小波去噪理論，一般情況下，利用軟閾值進(jìn)行信號(hào)處理可以獲得更佳的光滑信號(hào)曲線和更理想的去噪數(shù)據(jù)[9]，因此本文選擇軟閾值去噪法。

經(jīng)過多次試驗(yàn)對(duì)比分析，小波去噪最終確定采用db8作為小波基函數(shù)，分解層數(shù)為1，采用無偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)閾值(rigrsure)原則，設(shè)置scal=sln時(shí)，101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和205監(jiān)測(cè)點(diǎn)去噪后預(yù)測(cè)成果與原始數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和205監(jiān)測(cè)點(diǎn)小波去噪前后的結(jié)果

3.2 灰色GM(1，1)模型比較

3.2.1 優(yōu)化前后灰色GM(1，1)模型比較

建設(shè)項(xiàng)目開始階段，101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和205監(jiān)測(cè)點(diǎn)沉降速度較快，到監(jiān)測(cè)后期建筑物沉降逐漸趨于穩(wěn)定，總體呈“先快后慢”的趨勢(shì)。采用傳統(tǒng)GM(1，1)模型對(duì)101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和205監(jiān)測(cè)點(diǎn)的前25期原始數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，再利用模型對(duì)第26期～第29期的累積沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)。

圖3 101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和205監(jiān)測(cè)點(diǎn)傳統(tǒng)GM(1，1)模型預(yù)測(cè)結(jié)果

從圖3可以看出，101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和205監(jiān)測(cè)點(diǎn)的原始數(shù)據(jù)與傳統(tǒng)GM(1，1)模型預(yù)測(cè)曲線的發(fā)展趨勢(shì)不一致，原始序列后期均呈現(xiàn)穩(wěn)定趨勢(shì)，而預(yù)測(cè)曲線仍在快速上升。從表2可知， 101監(jiān)測(cè)點(diǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果平均絕對(duì)百分比誤差為30.19%，P為0.959 7，C為0.455 5，模型精度只達(dá)到2級(jí)(合格)。205監(jiān)測(cè)點(diǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果平均絕對(duì)百分比誤差為64.16%，P為0.801 7，C為0.270 5，模型精度也達(dá)到2級(jí)(合格)。這說明傳統(tǒng)GM(1，1)模型的擬合和預(yù)測(cè)結(jié)果相比于原始數(shù)據(jù)誤差較大。

采用優(yōu)化GM(1，1)模型對(duì)101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和205監(jiān)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行建模。兩監(jiān)測(cè)點(diǎn)原始數(shù)據(jù)雖然都呈先快后慢趨勢(shì)，但101監(jiān)測(cè)點(diǎn)整體呈凸型，適合用優(yōu)化GM(1，1)模型進(jìn)行建模。

圖4 101點(diǎn)原始數(shù)據(jù)恒正凹化處理前后對(duì)比

對(duì)于205監(jiān)測(cè)點(diǎn)，原始數(shù)據(jù)呈先凹后凸型趨勢(shì)，對(duì)于凹凸性不固定的數(shù)據(jù)，需要分段選取數(shù)據(jù)進(jìn)行建模以提高預(yù)測(cè)精度。選取205監(jiān)測(cè)點(diǎn)第15期～第25期呈凸型數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，建模過程與101監(jiān)測(cè)點(diǎn)相同。101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和205監(jiān)測(cè)點(diǎn)優(yōu)化GM(1，1)模型預(yù)測(cè)結(jié)果如圖5所示，精度檢驗(yàn)情況如表2所示。

表2 傳統(tǒng)GM(1,1)模型與優(yōu)化GM(1,1)模型擬合和預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of Fitting and Prediction Results between Traditional GM(1,1)Model and Optimized GM(1,1) Model項(xiàng) 目傳統(tǒng)GM(1,1)模型監(jiān)測(cè)點(diǎn)101監(jiān)測(cè)點(diǎn)205優(yōu)化GM(1,1)模型監(jiān)測(cè)點(diǎn)101監(jiān)測(cè)點(diǎn)205數(shù)據(jù)擬合階段數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)階段最大殘差/mm3.794.42-1.43-0.34最大相對(duì)誤差/%151.00359.62-56.187.11相對(duì)誤差均值/%25.5152.887.642.32最大殘差/mm5.1110.970.110.37最大相對(duì)誤差/%37.1983.170.812.58平均絕對(duì)百分比誤差/%30.1964.160.461.38P0.959 70.801 70.977 20.953 2C0.455 50.270 50.108 10.107 1

圖5 101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和205監(jiān)測(cè)點(diǎn)優(yōu)化GM(1，1)模型預(yù)測(cè)結(jié)果

從圖5可以看出，101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和205監(jiān)測(cè)點(diǎn)的原始數(shù)據(jù)與優(yōu)化GM(1，1)模型預(yù)測(cè)曲線有較好的擬合。從表2可知，101監(jiān)測(cè)點(diǎn)優(yōu)化GM(1，1)模型預(yù)測(cè)結(jié)果平均絕對(duì)誤差為0.46%，P為0.977 2，C為 0.108 1，模型精度達(dá)到1級(jí)(好)；205監(jiān)測(cè)點(diǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果平均絕對(duì)誤差為1.38%，P為0.953 2，C為0.107 1，模型精度也達(dá)到1級(jí)(好)。說明優(yōu)化GM(1，1)模型精度高于傳統(tǒng)GM(1，1)模型，預(yù)測(cè)效果都有較大提升。

3.2.2 小波去噪前后優(yōu)化GM(1，1)模型比較

為驗(yàn)證原始數(shù)據(jù)經(jīng)小波去噪后能否提高建模精度，本文對(duì)使用小波去噪后的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行建模與使用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的精度進(jìn)行對(duì)比分析。小波去噪并沒有改變?cè)紨?shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，101點(diǎn)小波去噪后數(shù)據(jù)依然呈凸型，205點(diǎn)小波去噪后數(shù)據(jù)也依然是“先凹后凸”型。

對(duì)101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和205監(jiān)測(cè)點(diǎn)采用相同方式進(jìn)行優(yōu)化GM(1，1)模型建模，建模過程如上。經(jīng)小波去噪后的101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和205監(jiān)測(cè)點(diǎn)優(yōu)化GM(1，1)模型的處理結(jié)果如表3所示。

從表3可以看出，由于101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和205監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)在監(jiān)測(cè)后期數(shù)據(jù)變化較為平穩(wěn)，導(dǎo)致小波去噪效果不明顯，因此小波去噪前后預(yù)測(cè)值沒有較大改變。對(duì)于101監(jiān)測(cè)點(diǎn)，小波去噪前后的優(yōu)化GM(1，1)模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)沒有變化；對(duì)于205監(jiān)測(cè)點(diǎn)，去噪后優(yōu)化GM(1，1)模型的均方誤差、平方和誤差和平均絕對(duì)百分比誤差相對(duì)于小波去噪前優(yōu)化GM(1，1)模型，精度有較大提高。

表3 小波去噪前后101監(jiān)測(cè)點(diǎn)和205監(jiān)測(cè)點(diǎn)優(yōu)化GM(1,1)模型精度對(duì)比Tab.3 Accuracy Comparison of Optimized GM(1,1)Model between 101 Monitoring Point and 205 Monitoring Point before and after Wavelet Denoising項(xiàng) 目小波去噪前監(jiān)測(cè)點(diǎn)101監(jiān)測(cè)點(diǎn)205小波去噪后監(jiān)測(cè)點(diǎn)101監(jiān)測(cè)點(diǎn)205誤差均值/%7.642.326.982.51平均絕對(duì)百分比誤差/%0.461.380.460.54均方誤差/mm0.036 70.105 90.036 70.085 7平方和誤差/mm0.021 50.179 30.021 50.121 7

4 結(jié) 語

本文針對(duì)傳統(tǒng)GM(1，1)模型在沉降變形預(yù)測(cè)上的不足，優(yōu)化GM(1，1)模型。利用恒正凹法對(duì)原始數(shù)據(jù)數(shù)列進(jìn)行了數(shù)據(jù)預(yù)處理，并采用了相鄰均值法重新構(gòu)建了一階累加序列，讓坐標(biāo)系中函數(shù)在同一時(shí)段的點(diǎn)前后面積能夠差值互補(bǔ)，從而能更準(zhǔn)確地描述原始序列的真實(shí)變化，進(jìn)而降低GM(1，1)模型擬合誤差，而且優(yōu)化GM(1，1)模型的精度高于傳統(tǒng)GM(1，1)模型，預(yù)測(cè)效果有較大提升。

在優(yōu)化GM(1，1)的基礎(chǔ)上，提出小波去噪數(shù)據(jù)處理方式，去噪后的優(yōu)化GM(1，1)預(yù)測(cè)模型能較好地對(duì)沉降趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，模型精度更高，預(yù)測(cè)結(jié)果更為可靠，其結(jié)果對(duì)工程安全施工具有一定的指導(dǎo)意義。