一種常見多普勒效應(yīng)的理論和實(shí)驗(yàn)研究

施 燦 楚吉敏 方立銘

（皖南醫(yī)學(xué)院公共基礎(chǔ)學(xué)院，安徽 蕪湖 241002）

多普勒效應(yīng)是指當(dāng)波源與觀測(cè)者存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀測(cè)者接收到的波的頻率與波源發(fā)出的頻率不同的現(xiàn)象.該現(xiàn)象最早由奧地利物理學(xué)家多普勒（J.C.Doppler，1803—1853）在1842年發(fā)現(xiàn)并研究.［1］多普勒效應(yīng)在醫(yī)療診斷、交通監(jiān)測(cè)、科學(xué)研究等領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用.

現(xiàn)行的多數(shù)物理教材對(duì)波源和觀測(cè)者在同一直線上運(yùn)動(dòng)的理想一維多普勒效應(yīng)進(jìn)行了討論.而實(shí)際生活中多為波源和觀測(cè)者在平面上相對(duì)運(yùn)動(dòng)的二維多普勒效應(yīng)，觀測(cè)者往往并不位于波源的速度方向上.如行人站在馬路邊，一輛鳴笛的汽車從身邊勻速駛過，這時(shí)行人聽到的音調(diào)變化如何？相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)此現(xiàn)象認(rèn)識(shí)不夠清楚.本文對(duì)這一常見情形的多普勒效應(yīng)進(jìn)行了理論分析和實(shí)驗(yàn)研究.

1 問題研究

滬科教版《物理》（選擇性必修第1冊(cè)）第3章“多普勒效應(yīng)”一節(jié)中，有這樣一道例題.

一人站在火車軌道旁，一列正在鳴笛的火車高速駛來，然后又高速離去，則此人聽到的鳴笛聲的頻率將

（A）變大. （B）變小.

（C）先變大后變小. （D）先變小后變大.

解析：高中階段只對(duì)理想一維情形的多普勒效應(yīng)進(jìn)行了定性分析.下面從實(shí)際的二維多普勒效應(yīng)角度來定量研究該問題.

如圖1所示，假設(shè)波源A靜止時(shí)的鳴笛聲頻率為f0，當(dāng)A鳴笛并以速度vA勻速直行時(shí)，觀測(cè)者B靜止站于路邊，且距A軌跡的垂直距離為d，B聽到的鳴笛聲頻率為f.假設(shè)環(huán)境風(fēng)速為0，聲速為u，且vA＜u.此外，需要明確波源頻率f0是指波源在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)出的完整波的個(gè)數(shù)，觀測(cè)頻率f是指觀測(cè)者在單位時(shí)間內(nèi)接受到的完整波個(gè)數(shù).下面進(jìn)行分類討論.

圖1 幾何示意圖

（1）當(dāng)d=0時(shí)，觀測(cè)者B位于波源A的速度方向上，此為教材中最常討論的理想一維多普勒效應(yīng).當(dāng)波源A靠近B時(shí)，產(chǎn)生的波面不再是一系列同心的球面，而是沿波源運(yùn)動(dòng)方向被壓縮，如圖2所示.因此，在觀測(cè)者B看來，波長(zhǎng)縮短為λ=λ0-vAT，故觀測(cè)頻率為

圖2 波源運(yùn)動(dòng)時(shí)的波面示意圖

同理，當(dāng)A遠(yuǎn)離B時(shí)，

（2）當(dāng)d≠0時(shí)，此為實(shí)際生活和應(yīng)用中更常見的二維多普勒效應(yīng).此時(shí)，波源速度方向不在波源A與觀測(cè)者B的連線上，只有沿徑向（A、B連線方向）的速度分量才是有效的.

僅通過上式難以直觀地了解f隨x的變化規(guī)律，下面通過軟件進(jìn)行作圖分析.

2 作圖分析

通過開源軟件GeoGebra繪制觀測(cè)頻率f隨x變化的函數(shù)曲線，并做到全參數(shù)可調(diào).作圖時(shí)，先建立3個(gè)滑動(dòng)條：f0=3000，d=2，vA=10，可進(jìn)一步設(shè)置滑動(dòng)條的變化范圍以及步長(zhǎng)；接著在代數(shù)區(qū)輸入觀測(cè)頻率f的表達(dá)式，即可得到圖3所示的函數(shù)曲線.

從圖3中可明顯地觀察到，當(dāng)波源A由遠(yuǎn)而近，再由近而遠(yuǎn)時(shí)，觀測(cè)者B聽到的聲音頻率都是持續(xù)降低的.當(dāng)A離得較遠(yuǎn)時(shí)f變化得較為緩慢，在經(jīng)過B附近時(shí)f迅速降低，之后再趨近一定值.其中，當(dāng)波源A經(jīng)過O點(diǎn)的瞬間，f=f0.

圖3 觀測(cè)頻率f隨x的變化圖像

調(diào)節(jié)滑動(dòng)條，可動(dòng)態(tài)直觀地看到不同物理參數(shù)對(duì)觀測(cè)頻率f的影響.其中，當(dāng)d=0時(shí)，f的函數(shù)圖像如圖4所示.當(dāng)A靠近B時(shí)，f＞f0；當(dāng)A遠(yuǎn)離B時(shí)，f＜f0，且二者均為定值.此為波源A和觀測(cè)者B在同一直線上運(yùn)動(dòng)的理想一維多普勒效應(yīng)情形.

圖4 當(dāng)d=0時(shí)，觀測(cè)頻率f隨x的變化圖像

3 實(shí)驗(yàn)探究

由理論分析可知，鳴笛的汽車在勻速靠近路旁靜止的行人時(shí)，人聽到的聲音音調(diào)并不是越來越高的.學(xué)生產(chǎn)生這一錯(cuò)誤認(rèn)知的原因可能是由于聲強(qiáng)和音調(diào)在同時(shí)變化，且聲強(qiáng)的變化對(duì)音調(diào)的變化起到了較強(qiáng)的“覆蓋”作用，人耳難以辨別.下面通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行較為精確的測(cè)量，實(shí)驗(yàn)中主要利用了Phyphox軟件（中文版為“手機(jī)物理工坊”）.

3.1 實(shí)驗(yàn)器材

兩臺(tái)裝有Phyphox的智能手機(jī)，電動(dòng)車，卷尺，溫度計(jì).

3.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

（1）選一個(gè)較為空曠、安靜的場(chǎng)地，利用溫度計(jì)測(cè)得環(huán)境溫度為T.由于環(huán)境風(fēng)速會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果，故盡量選擇無風(fēng)的時(shí)間進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

（2）打開手機(jī)A中的Phyphox軟件，通過“音頻發(fā)生器”功能發(fā)出頻率為f0的純音，若手機(jī)的音量較小，可連接一藍(lán)牙音箱進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；駕駛電動(dòng)車，攜手機(jī)A沿跑道以速度vA直線行駛.

（3）同時(shí)將手機(jī)B放在跑道中央附近，并利用卷尺測(cè)得B離跑道的水平距離為d，注意讓手機(jī)A和B處在同一水平高度.將手機(jī)B的錄音功能打開，錄制音頻（圖5）.

圖5 實(shí)驗(yàn)示意圖

（4）播放手機(jī)B中的錄音文件，利用手機(jī)A中Phyphox的“聲音頻譜”功能，對(duì)音頻進(jìn)行頻譜分析.

（5）改變波源頻率f0，多次進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖6 利用Phyphox中“聲音頻譜”功能分析音頻數(shù)據(jù)

將實(shí)驗(yàn)參數(shù)代入計(jì)算后可得，當(dāng)A從遠(yuǎn)處靠近B后再遠(yuǎn)離時(shí)，前后總頻移為

實(shí)際由Phyphox測(cè)得前后總頻移為Δf=105.47 Hz，如圖6（b）所示.計(jì)算可得二者相對(duì)偏差約為2.3%，有較高的實(shí)驗(yàn)精度.該實(shí)驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行了多組，波源頻率f0分別設(shè)置為2000 Hz，3000 Hz和4000 Hz，相對(duì)偏差均低于3%，實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合預(yù)期.

回顧科學(xué)史可以發(fā)現(xiàn)，多普勒效應(yīng)最早的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證是由荷蘭科學(xué)家Buys Ballot在1845年完成的，［3］由于當(dāng)時(shí)的技術(shù)條件有限，他讓一隊(duì)小號(hào)手站在行進(jìn)的火車上吹奏，再讓一些訓(xùn)練有素的音樂家憑自己的耳朵來判斷音調(diào)的變化，實(shí)驗(yàn)頗費(fèi)周折.如今，隨著科技的發(fā)展，我們可以很方便地利用生活中常用的智能手機(jī)對(duì)多普勒效應(yīng)進(jìn)行較為精確的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

4 結(jié)語

在實(shí)際應(yīng)用中，二維情形的多普勒效應(yīng)十分普遍.例如醫(yī)學(xué)上的彩色多普勒血流成像（Color Doppler Flow Imaging），［4］常稱為“彩超”，是利用超聲波的多普勒效應(yīng)來檢查人體血液的流動(dòng)方向、流速和流動(dòng)狀態(tài).其中，超聲束與血流方向的夾角會(huì)影響頻移信號(hào)，［5］對(duì)成像結(jié)果有明顯的影響.

本文對(duì)于生活中常見的二維情形的多普勒效應(yīng)進(jìn)行了定量研究，并通過易得的實(shí)驗(yàn)器材進(jìn)行了較為精確的驗(yàn)證，加深了學(xué)生對(duì)多普勒效應(yīng)的理解.實(shí)驗(yàn)以智能手機(jī)作為主要器材，相較于價(jià)格高昂的數(shù)字信息系統(tǒng)（Digital Information System），智能手機(jī)更為普及和方便，易于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究精神.