求解廣義BBM-KdV方程的平均隱式守恒差分格式

王希，何麗，胡勁松

（西華大學理學院，四川成都 610039）

在進行非線性擴散波的研究時，Benjamin-Bona-Mahony（BBM）方程[1?3]

所描述的運動與KdV方程[4]

具有相同的逼近階，能描述大量的物理現(xiàn)象如淺水波和離子波等而占有重要的地位，對BBM方程式（1）和KdV方程式（2）的數(shù)值研究也引起了眾多學者的關注[5?16]。作為BBM方程式（1）和KdV方程式（2）推廣形式，BBM-KdV方程[17]

（α,γ為實數(shù)）是弱非線性色散介質中長波單向傳播的重要模型。文獻[18?19]通過數(shù)值模擬方法證實了BBM-KdV方程的孤波解和行波解的存在性，并討論了其邊界條件的物理意義。文獻[17]進一步對BBM-KdV方程式（3）提出了兩個二階精度的數(shù)值求解算法。本文繼續(xù)文獻[17]的研究工作，考慮如下一類廣義BBM-KdV方程的初邊值問題：

其中，u0(x)是一個已知的初值函數(shù)，且p≥1為整數(shù)。顯然，方程式（3）即為當p=1時方程式（4）的特殊情形，所以本文研究更具一般性。問題式（4）—式（6）具有如下守恒律[17]：

其中E(0)均為與初始條件有關的常數(shù)。

本文對問題式（4）—式（6）提出了一個具有二階理論精度的三層平均隱式差分格式，該格式是線性的，數(shù)值計算時間也比較節(jié)約，并合理地模擬了守恒量式（7），討論了其差分解的存在唯一性并分析了格式的收斂性和穩(wěn)定性，最后進行了數(shù)值驗證。

1 差分格式及守恒律

差分格式式（8）—式（10）對守恒量式（7）的數(shù)值模擬如下：

定理1差分格式式（8）—式（10）關于以下離散能量是守恒的，即

其中，n=1,2,···,N?1。

證明：將式（8）與作內積，由邊界條件式（10）和分部求和公式[20]，可得

將式（13）、式（14）代入式（12）后，兩端同時乘以τ，然后對n遞推可得式（11）。

2 差分格式的可解性

定理2差分格式式（8）—式（10）是唯一可解的。

證明應用數(shù)學歸納法。U0由初值條件式（9）確定，再選擇一個合適的兩層二階格式先計算出U1，則U0和U1是唯一可解的。假設Un(n≤N?1)唯一可解，現(xiàn)在考慮式（8）中的Un+1，有

將式（15）與2Un+1做內積，由邊界條件式（10）和分部求和公式[20]，有

類似式（13），有

又

將式（17）、式（18）代入式（16），整理得

3 差分格式的收斂性和穩(wěn)定性

定義差分格式式（8）—式（10）的截斷誤差如下：

證明：由式（7）得：

證明：由式（11），可得

再由離散的Sobolev不等式[20]得：‖Un‖∞≤C。

注：定理3也表明差分格式式（8）—式（10）的解Un以‖·‖∞關于初值無條件穩(wěn)定。

定理4假設u0∈則差分格式式（8）—式（10）的解以‖·‖∞收斂到問題式（4）—式（6）的解，且收斂階為O(τ2+h2)。

類似于式（13），有

再由引理1，定理3以及Cauchy-Schwarz不等式，有

將式（22）—（24）代入式（21），整理有：

兩邊乘以2τ，然后從1到N求和，得

先選擇一個合適的兩層二階方法（如C-N格式）先計算出U1，使之滿足：B0=O(τ2+h2)2，又

則由離散的Gronwall不等式[20]可得：BN≤T·O(τ2+h2)2，即

再由離散Sobolev不等式[20]，有

4 數(shù)值實驗

對初邊值問題式（4）—式（6）考慮p=3和p=5兩種情形進行數(shù)值實驗。取β=1，γ=0.25，當p=3時，方程式（4）的孤波解為

當p=5時，方程式（4）的孤波解為

需要說明的是，該格式是三層格式，不是自啟動的，需要先選擇一個其他兩層的二階方法（如：CN差分格式）先計算出具有二階精度的U1，再利用初始值U0，才可以算出U2，U3，···。在計算中，取初值函數(shù)u0(x)=u(x,0)，固定xL=?40,xR=60,T=20。就 τ和h的不同取值對數(shù)值解和孤波解在幾個不同時刻的l∞誤差見表1；格式對守恒量式（7）的數(shù)值模擬En見表2。

表1 數(shù)值解和孤波解在不同時刻的l∞誤差

表2 格式對守恒量式（7）的數(shù)值模擬En

5 結論

本文對一類帶有齊次邊界條件的廣義BBMKdV方程的初邊值問題式（4）—式（6）進行了數(shù)值方法研究，提出了一個三層平均隱式差分格式式（8）—式（11），該格式是無條件穩(wěn)定的。從表1可知，本文的格式明顯具有二階精度；從表2可以看出，數(shù)值式格式對原問題的守恒性質式（7）也進行了合理有效地模擬。所以本文數(shù)值求解方法是可靠的。更為重要的是，它是線性化格式，數(shù)值求解時都不需要迭代，所以計算時間相對比較節(jié)約。