一道中考題引發(fā)的數(shù)學深度學習思考

謝潔瓊

中考，作為一場兼顧學業(yè)水平和升學選拔雙重作用的考試，其壓軸題必然是承載學科關鍵能力和學科思想方法的考查的載體.2020年福建省中考數(shù)學卷第25題（壓軸題），考查了關鍵能力中的運算能力、推理能力、空間觀念與幾何直觀、創(chuàng)新意識、考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想及分類與整合思想等數(shù)學思想方法.閱卷情況表明，有相當一部分考生因為直接使用了“若不重合的兩條直線斜率相等，則這兩條直線平行”這個高中數(shù)學的結論證明第（2）問導致不得分;還有一部分考生因為第（3）問中沒有結合“相似三角形面積比等于相似比的平方，而相似比等于對應邊的比”這個性質求解，導致失分.

那么，為何考生展示出來的思維軌跡（體現(xiàn)在答卷上）與命題組的預設（體現(xiàn)在參考答案上）會產(chǎn)生如此大的偏差？具體而言，預設的是兩條直線平行的判定定理和相似三角形性質定理在坐標平面情境下的綜合運用，但是為什么考生在考場上想不到運用平行線和相似三角形的相關聯(lián)的知識去解決問題，而另辟蹊徑去運用并不能作為初中階段的推理依據(jù)的真命題——一不重合的兩條直線斜率相等，則這兩條直線平行”作為說理依據(jù)？

3 答題情況分析

本題作為今年福建省中考數(shù)學試題的第25題（壓軸題），第（1）問兼顧學業(yè)水平考試的基礎性;第（2）問打破定勢思維，借助直角坐標系，用“數(shù)”證“形”;第（3）問設置了運動變化的過程中找最值，以“數(shù)”解“形”.總體來說，設置的三個問題串，有序構建了一道低起點、多層次、高落差且兼具水平性考試和選拔性考試功能的綜合性試題.試題將一次函數(shù)、二次函數(shù)和相似三角形知識完美結合，目的是想通過幾何與代數(shù)結合在一起考查考生對基礎知識和思想方法的深度遷移與靈活應用.

通過對部分考生的訪談得知，解題質量不高的主要原因有以下幾點：①無法將坐標系里面的直線平行與幾何證明聯(lián)系起來，于是無可奈何地把“不重合的兩條直線斜率相等，則這兩條直線平行”結論用上;②沒有想到可以從逆向思維去解題：平面上兩條直線只有平行和相交兩種位置關系，相交的兩條直線聯(lián)立其解析式得到的方程組必有一解.③第（3）問能推出直線，l1和l3平行，但是無法轉化到通過面積比等于相似比的平方來列出兩個三角形面積之和的式子后求解.

4 一些思考

美國國家研究委員會在“定義深度學習與2l世紀技能委員會”題為《為生活和工作而教育：培養(yǎng)21世紀可遷移的知識和技能》的報告中指出：深度學習就是為遷移而學習的過程，能夠讓學生將一個情境中習得的知識應用到其他情境中.第（2）問就是在“其他情境”中，找到可以證明兩直線平行的判定條件，進而轉化為證明角相等，再轉化為三角形內角的正切值相等.

深度學習要培養(yǎng)的是學生了解和掌握數(shù)學學科核心知識的能力、運用這些知識進行批判性思考和解決復雜問題的能力等等.反思我們的初中課堂教學，忽視概念的抽象過程、題型技巧滿天飛、關注思想性不夠、數(shù)學教學欠缺整體性、結構性、連貫性以及滿堂灌滿堂問等等問題突出，而基于問題、基于探究、基于整體等具有創(chuàng)造性和實踐性的學習方式卻被多數(shù)教師認為浪費課堂時間而拒之門外.于是，“碰到做過的不一定會做，碰到?jīng)]做過的一定不會做”的現(xiàn)象長期存在，從而導致學生每次考試一新就難.

5 踐行深度學習的路徑

初中數(shù)學學習中，相對于對零散的、無關聯(lián)的知識內容不加批判地的機械記憶，學習內容脫離生活實際，與學生以往的經(jīng)驗缺乏關聯(lián)，學不致用等等表現(xiàn)的淺層學習，深度學習是對數(shù)學概念、定理深刻理解、主動關聯(lián)、積極建構、遷移應用的學習，特別是在批判的基礎上去理解與記憶知識，在聯(lián)系的基礎上去建構知識體系，在過程的基礎上去體驗感悟數(shù)學本質，在內化的基礎上去遷移應用解決問題.因此，倡導單元教學、創(chuàng)設真實問題情境、設計有效課堂活動應該是在初中階段踐行深度學習三個有效路徑.

5.1 倡導單元教學

在初中數(shù)學教學中，單元（章節(jié)）是知識結構化的重要表現(xiàn).結構化、情境化、凸顯學科一般觀念的知識，對于發(fā)展學生的核心素養(yǎng)的功能是最強的.而單元教學無疑是落實學科思想方法和一般觀念的有效途徑.在中考復習教學中，更是需要打破教科書的章節(jié)順序，將前后聯(lián)系、邏輯連貫的知識串作為新的復習單元，進行縱橫聯(lián)系，打通知識間的壁壘，進而建立知識間的結構體系.

例如，在復習四邊形時，可以讓學生回憶與四邊形有關的一切知識并畫思維導圖，教師在學生畫的基礎上跟學生一起完善，幫助學生厘清單元內的邏輯和單元間的邏輯.比如從邊的角度，角的角度，以及對應的位置關系，還有因位置關系引起的數(shù)量關系等等.涉及到數(shù)量關系，就可以拓展到與數(shù)量關系相關的一維數(shù)軸和二維坐標系中求數(shù)量關系.有線有角涉及到坐標系中的一次函數(shù)和兩條直線間的數(shù)量、位置關系等等.

經(jīng)常這樣不斷滲透和加深互相關聯(lián)的知識之間的聯(lián)系，學生的核心素養(yǎng)就會得到發(fā)展，自然在新情境下就容易提取知識解決問題.也就不至于出現(xiàn)在中考考場上多畫個坐標系就想不起證明兩條直線平行的方法這樣的現(xiàn)象發(fā)生.

5.2 創(chuàng)設真實問題情境

數(shù)學教學是自覺促進學生發(fā)展的課堂活動，要在短時間內使學生得到較大的發(fā)展和提升，勢必要讓學生感興趣主動參與教學活動，這要求教師在學生學習之初，在有難度、有挑戰(zhàn)性的學習任務面前，發(fā)揮教師應有的主導作用，創(chuàng)設一些學生感興趣并且能自主探究的問題情境，驅動學生在數(shù)學知識和生活應用之間建立起有時代氣息和新鮮感的聯(lián)系，從而促使學生的邏輯思維能力和應用意識得到發(fā)展和提升，在不知不覺中形成數(shù)學核心素養(yǎng).

例如，在七年級下冊7.2.1“用坐標表示地理位置”這堂課中，教師可以引導學生根據(jù)實際情況畫出一幅關于學校、A同學、B同學、C同學家位置的示意圖，在抽象出坐標系畫位置關系后，還可以讓每位學生在坐標系上畫出自己家的位置，甚至可以結合當?shù)氐穆糜尉包c教師給出一些數(shù)據(jù)讓學生為外地游客畫出景點位置示意圖.最后在引導學生對情境探究的內容進行歸納總結利用坐標系表示平面內點的位置的方法.

通過創(chuàng)設真實的問題學習情境，學生能夠對所學的知識更好地在過程中體驗和感悟用坐標表示平面內的點的位置數(shù)學本質——相對位置，從而讓深度學習真實地發(fā)生.

5.3 設計有效課堂活動

為了引起學生對于學習的內在興趣，化解學生的學習困難，就需要教師從學生已有的經(jīng)驗和現(xiàn)實的水平出發(fā)，設計有效的課堂教學活動，帶動學生自主參加活動，幫助學生筒約地經(jīng)歷人類發(fā)現(xiàn)與建構知識的關鍵環(huán)節(jié)，促使學生思考和建構.

例如，在八年級上冊14.2.1“平方差公式”的教學中，教師可以給出一組計算題，讓學生計算完后觀察有什么共同點：Sx5與4x6，lOxl0與9xll，15x15與14x16.學生計算完后會發(fā)現(xiàn)每兩組數(shù)之間的規(guī)律后，教師馬上再提出：如果25x25= 625，那么24x26=？肯定有學生能快速回答.教師馬上追問：能快速回答的同學，你一定是有什么發(fā)現(xiàn)，請說出你的發(fā)現(xiàn).學生說后，教師繼續(xù)追問：根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，請你繼續(xù)列舉例證，計算并檢驗是否支持你的發(fā)現(xiàn).學生列舉后，教師引導：既然有那么多的例子驗證了你的發(fā)現(xiàn)，能否用數(shù)學式子表達出你們的發(fā)現(xiàn)？學生表達完了后，教師繼續(xù)引導，如何證明你的式子？如此這般通過設計有效的教學活動，帶動著學生自主地展開活動——計算算式、觀察特點、總結規(guī)律、列舉例證、表達發(fā)現(xiàn)等，學生有了這些自主活動才能通過活動領會感悟教學內容的內在本質，所學的平方差公式的內容才真正成為學生的認知對象，教學活動才真正成為學生的自己的活動，從而讓學生增強了長時記憶、激發(fā)了學習動機、到達了高階思維.

再如，在九年級上冊24.2.1“點和圓的位置關系”的教學中，教師可以設計一個“筆尖找圓”的小組活動：全體學生閉上眼睛，用記號筆在已經(jīng)畫好一個圓的卡紙上畫點（為了增加趣味，可以設計成游戲，比如在設定時間，設定獲勝標準）.畫完后老師追問：各小組所畫的點與圓的位置關系有幾種？這些點與圓心的距離和圓的半徑之間有什么大小關系？這種對于點與圓的位置關系的研究，非常形象地反映了數(shù)與形之間的內在聯(lián)系：由圖形的位置關系決定數(shù)量關系，由數(shù)量關系可以判斷圖形的位置關系.

上述的課堂活動不僅激發(fā)了學生的學習興趣，調動了學生的學習積極性，讓學生體驗筆尖落點與圓心之間的距離和圓的半徑大小的關系，引發(fā)學生的深入思考，從而引導學生去思考如何用數(shù)量關系的定量關系去描述點與圓的位置關系，使學生真正成為學習的主體.

綜上所述，在初中的數(shù)學教學中，教師應該在深刻理解課程標準、理解數(shù)學學科的育人價值和核心素養(yǎng)的前提下，聚焦數(shù)學學科本質和數(shù)學思想方法，創(chuàng)設真實的問題情境、設計有效的課堂活動、進行主題單元教學，才能幫助學生實現(xiàn)深度學習，進而在各級各類評價中表現(xiàn)優(yōu)異.