在探究和思辨中凸顯理性精神
——《平行四邊形的面積》教學設(shè)計（一）

文|談 瑩

【教學內(nèi)容】

蘇教版五年級上冊第7、8頁。

【教學過程】

一、復習引入，激活已有知識和經(jīng)驗

師：同學們，我們已經(jīng)掌握了計算長方形和正方形面積的方法?；貞浺幌?，長方形和正方形的面積是怎么計算的？

生：長方形的面積是長乘寬，正方形的面積是邊長乘邊長。

師：瞧，這是什么圖形？（平行四邊形）關(guān)于“平行四邊形”，你覺得平行四邊形面積的大小會與什么有關(guān)呢？（如圖1）

圖1

生：平行四邊形的面積與底和高有關(guān)。

生：平行四邊形的面積與長邊和短邊有關(guān)。

師：是這樣嗎？今天這節(jié)課我們就一起來研究它。

【設(shè)計意圖：在研究平行四邊形的面積之前，學生已經(jīng)在三年級時積累了很多“計算長方形和正方形面積”的經(jīng)驗，在四年級認識平行四邊形時又積累了“把一張平行四邊形紙剪成兩部分，再拼成一個長方形”的經(jīng)驗。眾所周知，長方形是特殊的平行四邊形，因此，在“平行四邊形面積”的導入環(huán)節(jié)，選擇復習引入，激活學生的已有知識和經(jīng)驗。對于平行四邊形的面積公式，在課前調(diào)查中，不少學生已經(jīng)知道了是底乘高，個別學生會因為長方形面積公式的負遷移，認為是長邊乘短邊。因此，直接拋出問題：你認為平行四邊形的面積與什么有關(guān)？在探究之前的回答都是一種猜想，具體與什么有關(guān)，有什么樣的關(guān)系，還需要進一步探究?！?/p>

二、自主探究，探尋平行四邊形面積計算公式

師：剛剛有同學認為平行四邊形的面積與底和高有關(guān)，還有同學認為與長邊和短邊有關(guān)，究竟與什么有關(guān)呢？有什么樣的關(guān)系呢？想怎樣探究呢？老師給每個小組準備了一些學習材料，我們一起看一看！

（學習材料：形狀各不相同的平行四邊形紙4張，剪刀，透明方格紙，可活動的平行四邊形）

師：在研究時，你可以借助這些材料幫助你證明平行四邊形的面積與什么有關(guān)，有什么樣的關(guān)系。也可以借助學習材料幫助你證明平行四邊形的面積與什么無關(guān)。選擇你們喜歡研究的問題，開始四人小組探究吧！

（學生操作交流）

【設(shè)計意圖：學生的學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。這節(jié)課主要探究平行四邊形的面積計算公式，但很多學生在課前就已經(jīng)知道了平行四邊形的面積等于底乘高，不僅如此，還有很多學生知道了如何轉(zhuǎn)化平行四邊形得出計算公式。既然如此，不妨給學生提供一些學習材料，把探究的主動權(quán)交給學生，激發(fā)學生的探究欲望和學習積極性。在探究問題的過程中，讓已經(jīng)掌握知識和技能的學生帶動對平行四邊形面積計算還不熟悉的學生，讓學生自主探索、互助交流，潛移默化地提高學習能力，培養(yǎng)合作意識。】

三、全班交流，凸顯“轉(zhuǎn)化”思想

師：哪個小組先來分享？

組1：我們組通過操作，認為平行四邊形的面積與底和高有關(guān)。（如圖2）把這個平行四邊形分成一個直角三角形和一個直角梯形，然后平移直角三角形，就拼成了一個長方形。長方形的長就等于平行四邊形的底，長方形的寬就等于平行四邊形的高，平行四邊形的面積就等于長方形的面積，所以平行四邊形的面積等于底乘高。你們同意我們的想法嗎？誰還有補充？

圖2

組2：我們組也想到了剪、移、拼，但是我們剪的位置不同，（如圖3）我們把平行四邊形分成了兩個直角梯形，然后平移一個直角梯形，也拼成了長方形。長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高，平行四邊形的面積等于底乘高。誰還有補充？

圖3

師：大家的剪、拼方法不完全相同，這些方法之間有相同的地方嗎？

生：都是沿著平行四邊形的高把平行四邊形分成了兩部分。

生：都用到了平移。

師：為什么要沿著平行四邊形的高分割平行四邊形？

生：因為沿著高分割，才會出現(xiàn)四個直角，有四個直角才會變成長方形。如果斜著分割，拼出來的還是平行四邊形。

師：將平行四邊形通過“剪、移、拼”變成長方形，這個過程就叫轉(zhuǎn)化。那老師還想問大家一個問題：任何一個平行四邊形都能像這樣轉(zhuǎn)化成長方形嗎？轉(zhuǎn)化得到的“長方形”與“平行四邊形”有怎樣的聯(lián)系？把你們剛剛研究的平行四邊形放在一起再比較一下，討論討論。

（小組交流）

生1：我們小組討論后發(fā)現(xiàn)我們幾個人的平行四邊形都不一樣，卻都能轉(zhuǎn)化成長方形。因為平行四邊形都會有底和高，只要沿著高剪，經(jīng)過平移就一定能轉(zhuǎn)化成長方形。

生2：在轉(zhuǎn)化前后，平行四邊形的形狀改變了，但面積沒有變。所以求平行四邊形的面積就等于求長方形的面積，而長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高。所以平行四邊形的面積等于長方形的面積等于長乘寬就等于底乘高。

生3：我有補充，如果是這樣的平行四邊形，沿著豎著的高分割后，無法直接平移成長方形，但我們組想到了另一個方式，我們從上面分割成上下兩部分，將上面的直角三角形平移過來就變成了長方形。所以，平行四邊形的面積還可能是這條底乘這條底邊上的高。（如圖4）

圖4

師：像這樣想下去，所有的平行四邊形都能轉(zhuǎn)化成長方形。算一算，這個平行四邊形的面積有幾種方法計算？（如圖5）

圖5

生4：兩種方法：15×8=120cm2，或者10×12=120cm2。

師：兩種方法的背后是兩種轉(zhuǎn)化方式。（如圖6）看來，平行四邊形的面積不只有一個底乘它對應的高，還可能是另一個底乘對應的高。

圖6

師：有沒有小組研究了平行四邊形與什么無關(guān)？

生5：我們組研究了平行四邊形的面積與長邊和短邊的關(guān)系。同學們請看：（如圖7）這里有一個長6厘米、寬5厘米的長方形，根據(jù)長方形的面積公式，可以算出這個長方形面積是30平方厘米。我這里還有一個長邊6厘米、短邊5厘米的平行四邊形，如果平行四邊形的面積是長邊乘短邊，那平行四邊形的面積就應該是30平方厘米，我們通過數(shù)方格驗證之后，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積小于30平方厘米。所以平行四邊形的面積肯定不是長邊乘短邊。

圖7

師：為了讓大家看得更清楚，老師還帶來一個透明方格紙，請仔細瞧，（如圖8）長方形被拉動成平行四邊形的過程中，什么變了？什么沒變？

圖8

生：高變了，面積也變了。

生：長邊和短邊都沒有變，周長也沒有變。

師：這就是為什么平行四邊形的面積不能用長邊乘短邊的原因，在平行四邊形被拉成長方形的過程中，長邊和短邊始終沒有變化，但是面積變了。

師：經(jīng)過今天的研究和發(fā)現(xiàn)，如果用S表示平行四邊形的面積，用a和h分別表示平行四邊形的底和高，那面積公式可以怎么表示？

生：S=a×h。

【設(shè)計意圖：數(shù)學學習往往會經(jīng)歷從具象到抽象、從特殊到一般、由感性上升為理性的過程。結(jié)合學生將平行四邊形通過“剪、移、拼”變成長方形的具象，教師適時提出問題“不同的剪拼方法之中有什么相同的地方？”“為什么要沿著高剪？”從具體的轉(zhuǎn)化操作中凸顯轉(zhuǎn)化的本質(zhì)，思考平行四邊形和轉(zhuǎn)化得到的長方形之間的聯(lián)系是“形狀變了，但面積不變”，將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。接著，教師又提出新的問題“是不是任何一個平行四邊形都能像這樣轉(zhuǎn)化成長方形？”引導學生經(jīng)歷從特殊到一般的演繹推理，發(fā)現(xiàn)不只手中的平行四邊形可以轉(zhuǎn)化成長方形，所有的平行四邊形都能等積轉(zhuǎn)化，由感性上升到理性。最后探討“平行四邊形被拉動成長方形時，什么改變了，什么沒變？”學生的學習材料中有可活動的平行四邊形和透明方格紙，鼓勵學生對錯誤的直覺“認為平行四邊形面積會是長邊乘短邊”進行修正，并給出圖8，讓學生思考發(fā)現(xiàn)平行四邊形被拉動前后，周長不變，面積隨著高的變化而變化。整個師生交流過程緊緊圍繞學生的探究和對問題的思辨，為理性思考埋下種子?！?/p>

四、變式練習，升華理解

師：知道了平行四邊形的面積公式，我們來解決一些問題。

【設(shè)計意圖：在練習中往往只會給出平行四邊形的一條底和對應的高，學生不用思考只要記得公式就能正確計算結(jié)果，缺失了思維的鍛煉。因此，第一題每個平行四邊形都給出了三個數(shù)據(jù)，讓學生結(jié)合今天的探究過程，有思考地選擇有用的數(shù)據(jù)進行計算。第二題給出的三個圖形面積相等，但形狀不同。希望通過此題，學生能夠在平行四邊形面積公式上有新的發(fā)現(xiàn)，原來只要平行四邊形等底等高，面積都會相等。盡管直覺上圖（3）看著跟圖（1）的面積不等，但通過比較和思考，發(fā)現(xiàn)圖（1）和圖（3）面積相等，凸顯數(shù)學理性?！?/p>

五、全課總結(jié)

師：通過今天的研究，你有了哪些收獲？還有疑問嗎？