淺談空間傅里葉“變”換之“變”

劉可心

摘要：隨著5G技術的崛起，智能信息處理技術進入新高速發(fā)展時期，通信領域對信號處理技術提出了新要求。作為信號處理領域的基本工具，傅里葉分析重要性自然不言而喻。其不僅存在于信號與系統(tǒng)、通信原理等多門專業(yè)課程中，同時對諸多學科的研究提供理論貢獻。但學習過程中總令學生產生不懂概念，死記硬背的現象。為了避免此現象，本文主要內容如下：從空間角度，結合現有課本中矢量空間類比到信號空間的思路，帶學生領略不一樣的傅里葉“變”換，真正理解何為“變”，如何“變”，以及“變”的本質和“變”的應用范圍。

關鍵詞：傅里葉變換;信息處理;矢量空間;信號空間

1傅里葉變換

1.1 “變”的重點和難點

首先，談談為何“變”，傅里葉變換的研究重點是如何將信號表示為一系列正交函數的組合;如何由矢量的正交分解轉向信號的正交展開;如何從傅里葉級數延伸到傅里葉變換。但在理解細節(jié)的時候存在著諸多難點，比如為何要表示為正交函數;為何常引入誤差變函數表達。為了理解重難點，我們亟需“變”，即尋找高效的理解思維來加深我們對傅里葉分析的認知。

1.2 傅里葉分析的新視野

其次，看看什么是“變”。俗話稱“窮則變，變則通，通則久”，一門課程，當遇到難點、困難時，需要我們跳出已有維度，用更大的格局來看，這就叫做“變”。同樣，傅里葉作為分析信號分解的重要工具[1]，這種“變”，就是空間理解。傅里葉所一直追尋的正是元素間所具備的某種規(guī)律關系的數學表達形式，從時域跳到頻域，如圖1所示，化復雜問題簡單化，這種思路與探究空間傅里葉表示是有所共鳴的。

2.矢量空間、信號空間與正交分解

接著，談談如何“變”。傅里葉空間分析有助于我們對細節(jié)的把握。平面幾何，立體幾何，這就是直觀的空間，相應xy軸二維坐標，xyz三維坐標正是空間里任意元素的度量表示。加入時間維度后就是四維空間，使我們能更細致的表示所在空間中的事物。可見基于空間分析的重要性。

2.1 空間的衡量與表示

總結以上實例，不難發(fā)現，元素和規(guī)則構成空間。矢量、函數都可以視作空間中的元素;線性的概念“利用一組基，使用加法和乘法來表示所有的元素”[2]就是規(guī)則。借助空間載體，結合規(guī)則后，才能實現任意元素在空間中的度量和表示，進而分析元素間關系。以二維坐標表示平面向量為例，坐標對應基底，向量對應元素，平面上待表示的任意一點，就是坐標。隨著科學探索不斷深入，維度不斷增加，科學家已經提出了11維宇宙空間，這種情況下，代數關系式不再適用，需要依托更精準的空間來表示高維抽象事物。

為了實現高維空間度量，這里引入的三個衡量指標：距離、范數和內積[3]，以便理解其對應的三個空間。距離就是衡量兩種元素之間的相似度，值為0時二者為同一事物，其公式用（1）表示。

范數（2）是對矢量本身長短進行度量，是更具體的一種規(guī)則，其可以通過（3）式來定義距離。

值得一提的是二范數，即p=2時，常用其來約束矢量、函數，使其擁有與目標距離無限接近的最小誤差，起到防止過擬合的優(yōu)化作用，例如星座圖、誤碼率等概念都。而這里提及的最小誤差，為之后理解傅里葉變化中的信號空間大有裨益。

內積是為了豐富上述概念，引入角度的點積操作，如（4）式，類似可用（5）式導出其范數。

而這三個概念對應的線性空間分別為：度量空間、賦范空間和內積空間。重點選用內積空間，有助于在特定變換下維持空間中的向量不變性。下面沿用矢量空間到信號空間的類比學習思維。針對矢量空間，在內積空間的基礎上引入復數域，得到酉空間，深入理解離散傅里葉變化;針對信號空間，在酉空間的基礎上增加維度，得到希爾伯特空間，深入理解連續(xù)傅里葉級數和傅里葉變化。

2.2 矢量空間與信號空間

“變”的本質就是在合適的內積空間里尋找基底來表示元素。傅里葉變換的研究目的即將信號分解為一系列正交函數的組合。而這種組合就是選擇基底的表示并計算坐標（傅里葉系數）的過程。

先看矢量，以酉空間為載體，針對任兩組矢量，其夾角可以表示為（6）。

（7）式是兩個矢量的夾角表達式，分子是內積，分母項為范數。為90度時，兩矢量垂直，內積值為0，此時正交，其本質是x在y上的投影。那么可以用這兩個矢量視作基底，來度量任意向量。

推廣到N維后，出現線性表示形式（8）、基底的正交性（9）及坐標表示過程（10），即投影系數。

再看以希爾伯特空間為基底的信號空間，類比于矢量空間，找到基底（11）。

引入誤差函數，并假定其無限趨于0時，所構造信號是原本信號在基底函數所構建信號空間中的投影，投影系數表示為（13）。

3.空間傅里葉變換的深入理解

在1、2基礎上，將離散傅里葉變換放在矢量空間分析，將連續(xù)傅里葉級數和傅里葉變化放在信號空間分析，很快得到空間中的表現形式：離散傅里葉變換其基底（14）、并構造出其變換表達

4.小結

本文從空間的角度重新深入理解并認識了傅里葉分析，發(fā)現相比于課本上的公式推導，這種思維可以化復雜為簡單，更換思考問題角度，以更多視角認知問題，進而將其運用在交叉學科中，有所收益。

參考文獻

[1]朱寧賢.基于MATLAB的傅里葉函數變換可視化分析[J].辦公自動化，2020，25（05）：20-22.

[2]鄭前前，楊文杰，岳曉鵬.基于線性代數矩陣理論的“學”與“用”[J].黑龍江科學，2022，13（01）：110-111.

[3]（美）艾倫.V.奧本海姆（Alan V. Oppenheim），（美）艾倫.S.威爾斯基（Alan S. Willsky），（美）哈米德.納瓦卜（S.Hamid Nawab）著;劉樹堂譯. 信號與系統(tǒng)（第二版）[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2020.8