以題為點(diǎn)，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)；變式為線，深化綜合應(yīng)用

連永欣

在新高考改革和高考命題改革的大背景下，“高考數(shù)學(xué)科在考查過程中要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”，其中“綜合性是指數(shù)學(xué)知識體系的內(nèi)部聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)各分支內(nèi)容的相互交叉與滲透”[1]，從而“促進(jìn)學(xué)生從整體上建構(gòu)知識框架，形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)”[2].從高考命題角度，則通過“增強(qiáng)試題新穎性和靈活性，促進(jìn)學(xué)生融會貫通、真懂會用，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)全面教學(xué)、夯實(shí)基礎(chǔ)、靈活學(xué)習(xí)、創(chuàng)新思考”[3].

近年來，在高考全國卷和各省市卷中，亦頻繁出現(xiàn)對數(shù)學(xué)綜合性的考查試題.以高考全國卷理科試題為例，2019年I卷第21題，利用數(shù)列遞推求解概率問題;2018年I卷第16題，2018年I卷第20題，2017年I卷第16題，2017年Ⅲ卷第21題，均是利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)觀點(diǎn)，求解不同模塊（涉及三角函數(shù)，概率統(tǒng)計，立體幾何，數(shù)列等）的最值相關(guān)問題;2013年I卷第12題，利用橢圓的基本背景求解數(shù)列的單調(diào)性問題;2012年第12題，利用導(dǎo)數(shù)切線的幾何意義來求解點(diǎn)點(diǎn)距離的最值……

該類問題對學(xué)生整體把握數(shù)學(xué)知識體系提出了更高要求，僅靠傳統(tǒng)的二輪模塊復(fù)習(xí)模式對專題進(jìn)行逐個復(fù)習(xí)，難以讓學(xué)生在遇到此類問題時有較為有效的嘗試手段與處理辦法.對此，在二輪復(fù)習(xí)后期，適當(dāng)?shù)丶尤胍酝晟聘咧袛?shù)學(xué)知識框架、培養(yǎng)學(xué)生合理認(rèn)知結(jié)構(gòu)為目標(biāo)的微專題課程，不僅對知識的廣度延拓（與其他模塊知識的聯(lián)系）有益，對知識的深度理解（一般理論在具體背景下的應(yīng)用）有益，更是通過剖析過程本身，讓學(xué)生在處理壓軸問題時的視角更加廣闊、思維更加靈活、角度更加豐富，是對綜合性與整體性試題解決的有效嘗試.

本文以三角函數(shù)背景的導(dǎo)數(shù)問題為例，通過對2018年高考全國I卷理科第16題的深入剖析與改編，構(gòu)建微專題課程.

高考真題（2018年高考全國I卷·理16）己知函數(shù)f（x）=2 sinx+sin2x，則f（x）的最小值是一_____.

選題依據(jù) 三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高中階段，更多地是將其看成特殊的函數(shù)（三角函數(shù)）對其進(jìn)行“個性化”研究，而較少利用導(dǎo)數(shù)這一工具對其進(jìn)行“一般化”的處理.在學(xué)習(xí)完基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式后，課本例題與習(xí)題較少出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)之于三角函數(shù)相關(guān)問題研究之例，故學(xué)生對利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)較為陌生，很多時候更缺乏引入導(dǎo)數(shù)作為工具的主動性.

微專題目標(biāo)：本節(jié)微專題旨在實(shí)現(xiàn)三個目標(biāo)：

（1）從更一般的函數(shù)角度認(rèn)識三角函數(shù)這一特殊對象，利用導(dǎo)數(shù)這一處理函數(shù)最值的通用工具輔助三角函數(shù)最值相關(guān)問題的研究，建立三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)間的知識網(wǎng)絡(luò)連接;

（2）從三角函數(shù)特殊性出發(fā)，通過分析利用導(dǎo)數(shù)這一工具時常遇到的問題及解決途徑，深化函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題中的常用技巧（極值條件回代，必要性等）的理解;

（3）通過試題剖析的過程，展示處理綜合性考題的嘗試方法與處理路徑，提供針對該類問題的解題策略.

本節(jié)微專題設(shè)計三個題組.

題組1求解下列函數(shù)的值域：

（1） f（x）= 2sinx+cosx;

（2） f（x）= 2sinx+cos2x;

（3）f（x）= 2sinx+sin2x.

設(shè)計意圖題（1）（2）是學(xué)生熟知的三角函數(shù)最值問題，分別利用三角恒等變換知識和換元與復(fù)合函數(shù)知識來求解;題（3）“形似”但無法利用以上兩種方法處理.借由設(shè)計該題組，一方面回顧分析三角恒等變換和換元與復(fù)合函數(shù)兩種常見方法的適用情況，另一方面，對于以上兩種適用情況均不適用的題（3），啟發(fā)學(xué)生從題設(shè)“函數(shù)”背景與目標(biāo)“最值”角度進(jìn)行分析，從而得到能夠借助導(dǎo)數(shù)這一重要工具之嘗試方向，并在此基礎(chǔ)上建立三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的知識網(wǎng)絡(luò)連接.

設(shè)計意圖1引入導(dǎo)數(shù)的工具處理三角函數(shù)最值問題這一想法一旦被啟發(fā)，則不難提供該類問題的解決思路;但之于三角函數(shù)的特殊性，在求解單調(diào)區(qū)間的過程中，常常要求極值點(diǎn)為特殊弧度（即12的整數(shù)倍），在該條件無法滿足的情況下，應(yīng)對方式的調(diào)整將是解決問題的重點(diǎn).此時，合理的應(yīng)對方式一般包括兩類，借助反三角的基本知識進(jìn)行表示（因現(xiàn)行考試大綱中并不要求，此略）或借助方程思想利用極值條件.

說明 在求解過程中，使得cosθ =√3/3的θ的弧度數(shù)并非最終結(jié)論中所需要的，只需知道對應(yīng)的sinθ的值即可求出答案（而sinθ的值可以通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解），這樣的過程是方程思想的重要應(yīng)用.事實(shí)上，同樣的技巧在利用導(dǎo)數(shù)求解極值（特別是導(dǎo)函數(shù)等于零的方程無法求解）時，常被用到：通過虛設(shè)極值點(diǎn)，并對極值條件進(jìn)行適當(dāng)變形后代回輔助極值化筒. 設(shè)計意圖2本題在利用導(dǎo)數(shù)的同時，還需要整體換元思路，但求解極小值的過程，容易直接將

cosθ=√3/3所對應(yīng)的θ1+2kπ（k∈z）和θ2+2kπ（k∈z）

當(dāng)作函數(shù)的極小值點(diǎn)來處理（如圖1），導(dǎo)致錯解.錯解的主要原因是因?yàn)楹雎粤撕瘮?shù)甜=cosx的影響（如圖2），這類似于復(fù)合函數(shù)單調(diào)性中內(nèi)層函數(shù)的影響，是復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題的易錯點(diǎn).本部分設(shè)計意圖包括兩點(diǎn)：（1）類比復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，深化在換元角度下，函數(shù)單調(diào)性的分析判斷（如圖2）;（2）通過必要性先確定范圍后逐一求解排除，是避開該類易錯點(diǎn)的有效途徑（見解析2）.

說明 注意到“只要把函數(shù)y=f（x）的所有極值連同端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以求出函數(shù)的最大值與最小值”[4][5]，而這里f （x）的定義域是R，故函數(shù)的最小值必然在所有極小值中取得，進(jìn)一步必然在所有駐點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)）的函數(shù)值中取得.從而只需求出所有駐點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.

事實(shí)上，這里我們先求出了所有可能最小值點(diǎn)的函數(shù)值，后利用逐項比較的方式，來驗(yàn)證得到最小值.究其本質(zhì)，即利用必要性先求出可能的解或范圍，后利用充分性進(jìn)行驗(yàn)證或取舍.而這樣的思路，是利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立背景下的參數(shù)問題中的重要思路[6].

設(shè)計意圖本題設(shè)計為作業(yè)，旨在熟悉與鞏固利用導(dǎo)數(shù)處理某類三角函數(shù)最值相關(guān)問題中的基本流程與技巧.求解過程需要利用到三倍角公式并求解一個簡單的三次方程.另一方面，試題原型為教材“閱讀與思考”篇幅《振幅、周期、頻率、相位》[7][8]中的例子.該題的設(shè)置，希望通過高中所學(xué)相關(guān)知識輔助三角相關(guān)問題處理，進(jìn)一步加深對高中數(shù)學(xué)整體性的理解.

參考文獻(xiàn)

[1]于涵，任子朝，陳昂，趙軒，李勇，新高考數(shù)學(xué)科考核目標(biāo)與考查要求研究[J].課程·教材·教法，2018 （6）：21-26

[2]任子朝，趙軒，基于高考評價體系的數(shù)學(xué)科考試內(nèi)容改革實(shí)施路徑[J].中國考試，2019 （12）：27-32

[3]任子朝，高考命題創(chuàng)新[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2018 （10）：

[4]劉紹學(xué)，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版·數(shù)學(xué)·選修2-2[M].北京：人民教育出版社，2007

[5]章建躍，李增滬，普通高中教科書A版-數(shù)學(xué)·選擇性必修（第二冊）[M].北京：人民教育出版社，2019

[6]張永輝，全國卷滿分秘籍導(dǎo)數(shù)篇[M].北京：清華大學(xué)出版社，2017：14-15

[7]劉紹學(xué)，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版-數(shù)學(xué)·必修4[M].北京：人民教育出版社，2007

[8]章建躍，李增滬，普通高中教科書A版·數(shù)學(xué)·必修（第一冊）M]，北京：人民教育出版社，2019