關(guān)于相依隨機(jī)陣列的一類(lèi)強(qiáng)偏差定理

楊珊珊, 胡 萍

(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，馬鞍山 243002)

0 引言

二十世紀(jì)九十年代，劉文[1]教授在研究實(shí)數(shù)展式的性質(zhì)時(shí)，給出了經(jīng)典的Borel 強(qiáng)大數(shù)定律的一種分析證明。其證明的基本思路是用區(qū)間分割法構(gòu)造[0,1)區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，由Lebesgue 關(guān)于單調(diào)函數(shù)幾乎處處存在有限導(dǎo)數(shù)獲得一個(gè)幾乎處處成立的不等式，最后利用分析中的極限性質(zhì)給出強(qiáng)大數(shù)定律的一個(gè)分析證明。隨著研究的不斷深入，劉文[2]及其合作者借助網(wǎng)微分法、鞅、Borel-Cantelli 引理等強(qiáng)有力的工具，通過(guò)構(gòu)造帶一個(gè)小參數(shù)的似然比得到了一系列用不等式表示的強(qiáng)極限定理(亦稱(chēng)強(qiáng)偏差定理)，它是經(jīng)典強(qiáng)大數(shù)定理的一個(gè)自然推廣。隨后，楊衛(wèi)國(guó)等不斷發(fā)展這種獨(dú)特的方法，獲得了非齊次馬氏鏈以及樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律，離散信源的Shannon-MecMillian 漸近均分性定理以及隨機(jī)序列的無(wú)規(guī)則性定理等有意義的結(jié)果，詳情請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[2]。

在統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中，考慮隨機(jī)陣列的類(lèi)型往往是非常必要的。許多學(xué)者做了大量的相關(guān)研究，取得了豐碩的成果，例如：Hu 和Taylor[10]得到了行獨(dú)立隨機(jī)陣列的一類(lèi)Chung 型強(qiáng)大數(shù)定律，并給出了Bootstrap 均值和方差一致性的有趣應(yīng)用。Kuczmaszewska[11]研究了Banach 空間中行獨(dú)立隨機(jī)元陣列的弱與強(qiáng)大數(shù)定律的等價(jià)性，沈燕等[12]在不需要同分布的假定下，研究了NOD 隨機(jī)陣列加權(quán)和的完全收斂性，給出完全收斂性的一個(gè)充分條件，推廣了NA 序列和NOD 序列的已知結(jié)論。

汪忠志和楊衛(wèi)國(guó)在[13]中首次引入了滑動(dòng)似然比等概念，通過(guò)構(gòu)造帶一個(gè)參數(shù)的滑動(dòng)似然比，建立了相依隨機(jī)序列滑動(dòng)平均的一類(lèi)強(qiáng)偏差定理。運(yùn)用該方法，他們獲得了一系列有意義的結(jié)果。例如，在文獻(xiàn)[14]中利用隨機(jī)受控的概念，給出任意隨機(jī)序列延遲和的一類(lèi)強(qiáng)極限定理，并且在文獻(xiàn)[15—16]中分別討論了非齊次馬氏鏈的強(qiáng)極限與強(qiáng)遍歷定理。受上述工作的啟發(fā)，本文中，我們利用截尾技術(shù)，在Chung 形式的條件下可以將該方法推廣到一類(lèi)相依隨機(jī)變量陣列的強(qiáng)偏差定理的情形。

1 基本概念與引理

設(shè){Xni,vn ≤i ≤un}n∈N是定義在概率空間(?,F)上的隨機(jī)陣列，其中{(vn,un),vn?∞,un<+∞}n∈N。令{Xni,vn ≤i ≤un}n∈N的聯(lián)合概率函數(shù)為

我們稱(chēng)之為參考乘積概率函數(shù)。

定義1 令

并稱(chēng)之為隨機(jī)陣列{Xni,vn ≤i ≤un}n∈N關(guān)于測(cè)度μ相對(duì)于參考測(cè)度～μ的似然比。

定義2 設(shè){σn}n∈N是一列單調(diào)遞增的正數(shù)序列。令證明 注意到以概率1 只可能發(fā)生有限次，因此

2 主要結(jié)論

由Borel-Cantelli 引理得

假設(shè)s ?=0，令

易知EμΛn(s,ω)=1，由引理1，有

注意到

故有

由(4)式和(18)式，有

根據(jù)(7)式，有

由(19)式，有

由(8)式和(20)式，得

由(21)式及不等式logx ≤x ?1(x>0)，得

由(18)式和(22)式，得

令s>0 易知

由(13)式、(17)式和(23)式，得

(11)式成立，顯然β(x,y)≥0。類(lèi)似地，在(23)式中令s<0，有

即

(10)式成立，且β(x,y)≤0，易知(15)式和(16)式成立，定理1 證畢。

推論1 在定理1 的條件下，如果c=0 或=0, μ—a.s.，則

證明 因?yàn)棣?x,0) =β(x,0) = 0 且α(0,y) =β(0,y) = 0，如果c= 0 或=0, μ—a.s.，由定理1 得證。

則

由(17)式知第一部分幾乎處處收斂到0。下面來(lái)估計(jì)第二部分。類(lèi)似于定理1 的證明，注意到

其中

由(27)式和(30)式，有

結(jié)合這三部分的證明，定理2 證畢。

下面討論隨機(jī)序列一致有界的情形，不失一般性，以下總假設(shè)對(duì)所有的n ∈N, vn ≤i ≤un，恒有|Xni|≤1。

其中M是滿(mǎn)足不等式ex ?1?x ≤Mx2,|x|≤2 的最小值。

證明 令t=±1，設(shè)

定義

則定理1 可以改寫(xiě)成

因此

由(34)式及不等式logx ≤x ?1(x>0)，有

由(33)式和(35)式，得

令t=±1，由(35)式，可得