異步切換下切換系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)輸出反饋保成本控制

李同彬, 高 娟

(1. 哈爾濱師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，哈爾濱 150001; 2. 哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，哈爾濱 150001)

0 引言

作為一類重要的混雜系統(tǒng)，切換系統(tǒng)由若干個(gè)子系統(tǒng)以及一個(gè)協(xié)調(diào)各子系統(tǒng)之間切換的切換策略構(gòu)成[1]。許多現(xiàn)實(shí)世界的過程、工程和社會(huì)系統(tǒng)都可以建模為切換系統(tǒng)，如化學(xué)過程、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)、能源管理、航空航天和空中交通管制。近年來，切換系統(tǒng)受到了廣泛的關(guān)注，切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和鎮(zhèn)定問題已被廣泛研究[2–7]。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)不僅要穩(wěn)定，還要保證足夠的性能水平，這就是保成本控制問題。保成本控制最早由Chang 和Peng[8]提出，保成本控制的主要思想是設(shè)計(jì)一個(gè)控制器來穩(wěn)定系統(tǒng)，并給出二次型成本函數(shù)的一個(gè)上界。到目前為止，已經(jīng)有很多關(guān)于切換系統(tǒng)的結(jié)果，動(dòng)態(tài)輸出保成本控制器已經(jīng)在文獻(xiàn)[9—10]中被設(shè)計(jì)出來，文獻(xiàn)[11—12]研究了最優(yōu)保成本控制問題，文獻(xiàn)[13]研究了具有事件觸發(fā)策略的不確定切換線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制。許多方法被用來解決保性能控制問題，如Lur’e-Postnikov 形式的Lyapunov 函數(shù)[14]、線性矩陣不等式(LMI)[15]和Riccati 不等式[16]。值得注意的是，上述所有關(guān)于保性能控制問題的結(jié)果主要集中在非切換系統(tǒng)上。事實(shí)上，關(guān)于切換系統(tǒng)的保成本控制問題[17–18]的研究比較少。正如文獻(xiàn)[19]指出，切換系統(tǒng)的保性能方面的研究并非易事。

另一方面，在實(shí)際操作中，需要花費(fèi)一些時(shí)間來識(shí)別子系統(tǒng)，并在切換瞬間應(yīng)用匹配的控制器。因此，子系統(tǒng)和控制器之間不可避免地存在異步切換。許多學(xué)者對(duì)異步切換系統(tǒng)進(jìn)行了研究[20–25]。因此，研究異步切換下切換系統(tǒng)的保性能控制問題具有挑戰(zhàn)性和實(shí)用價(jià)值，這促使我們開展本研究。

本文研究了一類切換系統(tǒng)在異步切換下的動(dòng)態(tài)輸出反饋保成本控制問題。首先，利用分段Lyapunov 函數(shù)方法和平均駐留時(shí)間技術(shù)，得到了動(dòng)態(tài)輸出反饋保成本控制器存在的一個(gè)充分條件。然后，基于所得到的條件，構(gòu)造期望的動(dòng)態(tài)輸出反饋保成本控制器。此外，還解決了保成本優(yōu)化問題。最后，給出了一個(gè)仿真實(shí)例證明所提出方法的可行性和有效性。

1 問題描述及引理

考慮如下切換系統(tǒng)

其中0

注1 0

考慮如下的動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器

對(duì)系統(tǒng)(1)定義二次性能指標(biāo)

其中Q和R為給定的正定加權(quán)矩陣。

將控制器(2)應(yīng)用于切換系統(tǒng)(1)，得到下面的閉環(huán)切換系統(tǒng)

其中

定義1[26]如果存在常數(shù)δ ≥1 和λ>0，使得系統(tǒng)(1)的解滿足

則稱閉環(huán)切換系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)x?=0 是指數(shù)穩(wěn)定的。

定義2 對(duì)于系統(tǒng)(1)，如果存在控制律u(t)和一個(gè)正數(shù)J?，使得閉環(huán)系統(tǒng)(4)是指數(shù)穩(wěn)定的，并且閉環(huán)性能指標(biāo)(3)滿足J ≤J?，則J?稱為切換系統(tǒng)(1)的一個(gè)性能上界，u(t)稱為切換系統(tǒng)(1)的一個(gè)保成本控制律。

定義3[27]給定常數(shù)τa>0, N0≥0 和任意的T2>T1≥0，若不等式

成立，則稱τa為切換信號(hào)σ(t)的平均駐留時(shí)間，其中Nσ(T1,T2)為切換信號(hào)σ(t)在時(shí)間區(qū)間(T1,T2)上的切換次數(shù)，N0為顫抖界。

引理1(Schur 補(bǔ)引理) 給定一個(gè)適當(dāng)維數(shù)的對(duì)稱矩陣

引理2[28]如果存在函數(shù)ψ(t)和φ(t)滿足

那么

其中η>0, γ>0, t ≥t0。

本文的主要目標(biāo)是設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器u(t)，使得閉環(huán)切換系統(tǒng)(4)是指數(shù)穩(wěn)定的且閉環(huán)性能指標(biāo)(5)有一個(gè)性能上界。

2 主要結(jié)果

首先給出閉環(huán)切換系統(tǒng)(4)存在動(dòng)態(tài)輸出保成本控制律的充分條件。

那么對(duì)于任意平均駐留時(shí)間滿足

的切換信號(hào)，閉環(huán)切換系統(tǒng)(4)是指數(shù)穩(wěn)定的，其中μ≥1，則

此時(shí)，閉環(huán)性能指標(biāo)(5)的上界為

證明 選擇下面的分段李雅普諾夫函數(shù)

沿著系統(tǒng)(4)的軌跡求導(dǎo)可得

由(10)式和(11)式，可得

對(duì)(17)式的兩端進(jìn)行積分，得

由(13)式，有

令T?(0,t)和T+(0,t)分別表示系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間[0,t]上的匹配時(shí)間和不匹配時(shí)間。由(18)式和(19)式，當(dāng)t ∈[tk?1+?k?1,tk+?k)時(shí)，得到

注意到

可得

由定義3，有

又注意到

其中

結(jié)合(23)式和(24)式，可得

根據(jù)(12)式，可以得出系統(tǒng)(4)是指數(shù)穩(wěn)定的。

接下來，我們尋找閉環(huán)性能指標(biāo)(5)的一個(gè)上界。由(10)式和(11)式，可得

其中Φ(t)=ξT(t)?ξ(t)。由引理2，有

由(27)式，當(dāng)t ∈[tk?1+?k?1,tk+?k)時(shí)，令

我們可得

又V(t)≥0，可得

由(21)式，可得那么，結(jié)合(30)式和(31)式，可得

進(jìn)一步，由定義3 和(12)式，如下不等式成立

因此，可得到

令t →∞，得到

注2 定理1 中，我們需要找到一個(gè)滿足(13)式的常數(shù)μ ≥1。事實(shí)上，如果μ足夠大，它一定滿足(13)式。可以如文獻(xiàn)[18]使用矩陣特征值方法來尋找，或者利用文獻(xiàn)[23]的線性矩陣不等式方法來尋找。

下面，給出動(dòng)態(tài)輸出保成本控制器的線性矩陣不等式求解方法。

其中

則對(duì)于任意的平均駐留時(shí)間滿足(10)式的切換信號(hào)，閉環(huán)切換系統(tǒng)(4)是指數(shù)穩(wěn)定的且閉環(huán)性能指標(biāo)(5)的上界是

控制器增益為

其中Mi和Ni滿足下面條件的非奇異矩陣

證明 定義矩陣Pi和它的逆矩陣為

定義如下變量

不等式(45)可簡寫為

注4 可以看出來一個(gè)小的α有利于(37)式的可行性，一個(gè)大的β有利于(38)式的可行性。于是，在上述算法中，可以選擇一個(gè)小的α和一個(gè)比較大的β保證(37)式和(38)式的可行性。

定理2 給出了設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)輸出保成本控制器的方法。下面的定理將給出優(yōu)化成本上界(41)的控制器設(shè)計(jì)方法。

定理3 對(duì)于系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)(3)，如果下面的優(yōu)化問題

證明 由定理2 可知，定理3 中的(i)和(iii)是顯然的。由引理1，線性矩陣不等式(49)等價(jià)于x(0)TGix(0)<γ。由式(41)，即J?<γ。線性矩陣不等式優(yōu)化問題(48)的凸性確保了全局最優(yōu)。

3 數(shù)值仿真

下面給出一個(gè)數(shù)值例子來驗(yàn)證本文結(jié)論的正確性。

考慮由兩個(gè)子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)(1)，子系統(tǒng)矩陣參數(shù)為

取α= 3.2, β= 11.2, ?= 0.1。性能指標(biāo)(2)的加權(quán)矩陣Q=R=I。解線性矩陣不等式(36)和(37)式，并根據(jù)(43)式計(jì)算矩陣Mi和Ni，可得控制器增益為

解線性矩陣不等式(38)得到Pij，由(39)式得μ=1.652 5。計(jì)算可得

圖1 給出子系統(tǒng)和控制器的切換信號(hào)。圖2 和圖3 分別描述的是開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)在初始值x(0) = [1,0.8]T下的狀態(tài)曲線?？梢钥吹?jīng)]有控制的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，在設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器下的切換系統(tǒng)是穩(wěn)定的。相應(yīng)的閉環(huán)成本上界為J?= 7.927 1。解定理3 中的優(yōu)化問題，可得次優(yōu)化成本上界為J?=0.353 7。

圖1 切換信號(hào)

圖2 開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

4 結(jié)論

本文研究了異步切換下切換系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)輸出反饋保性能控制問題?；诜侄蜭yapunov 函數(shù)方法和平均駐留時(shí)間技術(shù)，我們得到了保性能動(dòng)態(tài)成本控制器存在的一個(gè)充分條件。利用線性矩陣不等式設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)輸出反饋保性能控制器，并給出了成本上界的優(yōu)化方法。最后，數(shù)值仿真算例表明了本文方法的有效性。