回歸時間的半群作用的局部熵的重分形分析

王威,高曉燕,吳晶晶

(1.南通理工學院基礎教育學院, 江蘇南通226002；2.南京師范大學數(shù)學科學學院, 江蘇南京210023)

0 引言

重分形分析是動力系統(tǒng)維數(shù)理論中一個熱點研究內容，目前主要分為2個部分即重分形譜和發(fā)散點集的維數(shù)特征。20世紀以來，關于局部熵的研究已經取得了一系列的成果：文獻[1-3]分別在Gibbs測度下和具有Specification性質的擴張同胚上對局部熵和加權熵等問題上進行了重分形研究；文獻[4-5]也在局部熵的重分形上進行研究,并獲得較好的結果；文獻[6]討論廣義局部熵的重分形分析。同時對自由半群作用下的熵的研究也較多：文獻[7-9]分別在自由半群作用下研究拓撲熵和相關的熵；文獻[10]給出自由半群作用下的變分原理；文獻[11]研究自由半群作用下的一些性質；文獻[12]研究真映射生成的自由半群作用的拓撲熵；文獻[13]討論自由半群的估計熵和Δ-弱混合集。

本文主要是在半群作用下利用回歸時間構建了水平集Kα,建立了(q,ζ)熵的重分形分析即對?α≥0和?q∈R,有htop(B,A,Kα)=qα+hζ(B,A,q,Kα)。

1 相關定義

設(X,d,T)是動力系統(tǒng),其中(X,d)是緊致度量空間,T:X→X是連續(xù)映射.M(X)為所有弱*拓撲條件下概率測度。若μ∈M(X),假設下列極限存在

其中B(x,ε)表示x的開鄰域。

本文思考局部熵譜與Poincare回歸的聯(lián)系，考慮緊致度量空間(X,d),g是X上的連續(xù)映射，U為X的子集，?x∈X,U的第一回歸時間定義為

ζU(x)=inf{k>0:gk(x)∈U}。

定義在點x處的局部回歸時間熵如下(假設極限存在)：

其中Bn(x,ε)={y∈X:d(gi(x),gi(y))<ε,i=0,1,…,n-1},ε>0。

對于?Z?X,Z≠Φ,q,t∈R,ε>0,n∈N,定義

定義2半群作用的(q,ζ)-熵定義為

現(xiàn)在討論該極限是否存在。

所以

又-q>0,因此

ψζ(Δ,q,t)≥ψζ(Δ′,q,t)，

進而有

Mζ(Z,q,t,ε2)≥Mζ(Z,q,t,ε1)，

也就是說hζ(B,A,q,Z,ε2)≥hζ(B,A,q,Z,ε1)，即hζ(B,A,q,Z,ε)隨著ε的減小而增大,所以極限存在。

存在一個臨界值hζ(B,A,q,Z,ε)∈(-∞,+∞)使得

(1)

當q>0時,hζ(B,A,q,Z,ε)關于ε沒有單調性。(補充條件)設對于充分小的ε>0有

(2)

2 主要結果及證明

由于對?g∈Ani都有u(g)∈U,使得g(x)∈u(g)。不妨記Ani對應的U中的元素為

下證Ui即為所求。

因此,把這些鏈Ui放在一起組成鏈族Γ={Ui},則Γ是Kα,M,N的一個覆蓋。因為對于任何xi∈Kα,M,N有ni>n>N,由前面的結論可得

因為Δ是任一中心覆蓋,所以由上面的不等式可得

由Δ的任意性可得

綜上所述,對任何s≥qα+|q|δ+t,有

令n→∞,得

得證。

若對q≥0,則對任意s≤qα-qδ+t,有

若對q<0,則對任意s≤qα+qδ+t,有

所以對于任意s≤qα-|q|δ+t,有

由于Γ是覆蓋Z的任一鏈長至少為n+1的覆蓋,因此對于任意s≤qα-|q|δ+t,有

由此可知

得證。

定理1對?α≥0和?q∈R有htop(B,A,Kα)=qα+hζ(B,A,q,Kα)。

證明考慮α≥0和相應的水平集Kα,若x∈Kα,則

選取單調序列{εM},使得M→∞時,εM→0。設δ>0,記

因此,對固定的x∈Kα,M,存在N0=N0(x,δ,εM),使得對任何n>N0有

令Kα,M,N={x∈Kα,M:N0=N0(x,δ,εM)

下證:對?α≥0和?q∈R,則

htop(B,A,Kα)≤qα+hζ(B,A,q,Kα)。

若Kα=φ,不等式兩邊都等于-∞,顯然成立。不妨設Kα≠φ,利用反證法證明上式成立。假設存在α≥0和q∈R,使得

γ=(htop(B,A,Kα)-qα-hζ(B,A,q,Kα))>0。

htop(B,A,Kα)>qα+hζ(B,A,q,Kα)+3γ。

(3)

由h(B,A,Kα,M,N,U)的定義及不等式組(3)可得

M(Kα,N,M,U,qα+hζ(B,A,q,Kα)+2γ)=∞,

令s=qα+hζ(B,A,q,Kα)+2γ,t=hζ(B,A,q,Kα)+γ-|q|δ，由引理1得

Mζ(Kα,N,M,q,hζ(B,A,q,Kα)+γ-|q|δ,εM)=+∞。

(4)

事實上，

hζ(B,A,q,Kα,εM)≥hζ(B,A,q,Kα,M,N,εM)。

由等式(1)可得

Mζ(Kα,N,M,q,hζ(B,A,q,Kα)+r-|q|δ,εM)=0，

這與等式(4)矛盾,所以結論成立。

再證相反過程:對?α≥0和?q∈R,有htop(B,A,q,Kα)≥qα+hζ(B,A,q,Kα)。

若Kα=Φ，不等式兩邊都等于-∞,顯然成立。不妨設Kα≠Φ,利用反證法證明該定理.假設存在α≥0和q∈R,使得

(5)

由h(B,A,Kα,N,M,U)的定義及不等式組(5)可得

M(Kα,N,M,U,qα+hζ(B,A,q,Kα)-2γ)=0，

令s=qα+hζ(B,A,q,Kα)-2γ,t=hτ(B,A,q,Kα)-2γ+|q|δ，由引理2得

Mζ(Kα,N,M,q,hζ(B,A,q,Kα)-2r+|q|δ,εM)=0，

(6)

但是對于充分大的M、N,有

hζ(B,A,q,Kα,εM)≤hζ(B,A,q,Kα,M,N,εM)+γ，

所以hζ(B,A,q,Kα)-2γ+|q|δ≤hζ(B,A,q,Kα,M,N,εM)。由等式(1)可得

Mζ(Kα,N,M,q,hζ(B,A,q,Kα)-2r+|q|δ,εM)=+∞，

這與等式(6)矛盾，所以結論成立。

綜上所述,定理1得證。