雙向地震作用下型鋼混凝土框架兩階段Pushover分析

王朋，丁耀宗，史慶軒1,,3，李龍?zhí)?/p>

(1.西部綠色建筑國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西西安710005；2.西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院， 陜西西安710005；3.結(jié)構(gòu)工程與抗震教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西西安710005)

0 引言

隨著基于性能抗震設(shè)計(jì)方法的廣泛應(yīng)用，靜力彈塑性分析方法(Pushover方法)越來(lái)越受到人們的重視[1-2]。Pushover方法具有良好的工程實(shí)用性，能以較少的時(shí)間求出結(jié)構(gòu)的薄弱部位并達(dá)到工程所需要的變形驗(yàn)算精度。傳統(tǒng)的Pushover方法是將結(jié)構(gòu)等效為單自由度體系推覆至預(yù)定目標(biāo)位移進(jìn)行分析，該方法只考慮一階振型，對(duì)受高階振型影響較大結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果有較大誤差[3]。為解決該問(wèn)題，振型Pushover分析方法應(yīng)運(yùn)而生[4-7]，稱為MPA方法。MPA方法最早由Chopra等[4]提出，將結(jié)構(gòu)需要考慮的各個(gè)振型分別進(jìn)行Pushover分析，然后將各自的地震作用效應(yīng)按照一定方式進(jìn)行組合得到結(jié)構(gòu)的最終響應(yīng)。隨后，Tysh等[8]、劉青山等[9]和毛建猛等[10]對(duì)MPA方法進(jìn)行了改進(jìn)，減小了MPA方法計(jì)算難度，但振型Pushover方法中多自由度體系結(jié)構(gòu)各振型的側(cè)移變形只符合各自振型下的地震響應(yīng)，組合之后仍與結(jié)構(gòu)自身側(cè)移變形有誤差[11]。與此同時(shí)，Pushover分析多集中于鋼筋混凝土框架的研究[12-13]，型鋼混凝土框架(steel reinforced concrete, SRC)研究較少，史慶軒等[14]對(duì)型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行推覆分析，提出了SRC結(jié)構(gòu)基于位移的抗震設(shè)計(jì)方法；楚留聲等[15]運(yùn)用Pushover方法分析了SRC結(jié)構(gòu)的抗震性能；薛建陽(yáng)等[16]運(yùn)用Pushover方法對(duì)型鋼混凝土異形柱框架進(jìn)行了彈塑性分析。由于SRC結(jié)構(gòu)研究多為單向地震作用下的研究，而實(shí)際地震中結(jié)構(gòu)受到雙向地震作用，其損害程度大于單向地震[17]，因此有必要對(duì)型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行雙向地震作用研究。

為提高Pushover方法的計(jì)算精度，彌補(bǔ)雙向地震作用下型鋼混凝土框架Pushover分析研究的不足，本文建立了雙向地震作用下型鋼混凝土框架的兩階段Pushover分析方法，稱為CMPA方法，即將各振型組合得到的結(jié)構(gòu)位移歸一化處理后作為推覆側(cè)移向量對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行第二次Pushover分析，得到的地震作用效應(yīng)即為結(jié)構(gòu)最終的地震響應(yīng)。并采用多種Pushover方法對(duì)型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較分析，結(jié)果表明，兩階段Pushover方法計(jì)算雙向地震作用下型鋼混凝土框架的結(jié)構(gòu)響應(yīng)有較好的精度。之后通過(guò)探究Pushover中塑性鉸的出現(xiàn)過(guò)程對(duì)型鋼混凝土框架進(jìn)行分析，證明型鋼混凝土框架也可實(shí)現(xiàn)“強(qiáng)柱弱梁”的結(jié)構(gòu)模式，具有較好的抗震性能。

1 基本原理

1.1 考慮多振型的Pushover方法

將原結(jié)構(gòu)多自由度體系轉(zhuǎn)化為等效單自由度體系，為此假定：①多自由度體系按照假定的側(cè)移形狀產(chǎn)生地震反應(yīng)；②2種體系的基底剪力相等；③地震作用在2種體系上所做的功相等。

設(shè)多自由度體系i質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，水平力為Fi；第j振型下等效單自由度體系的等效質(zhì)量為Mjeff，等效剛度為Kjeff，等效位移為ujeff，等效加速度為ajeff，基底剪力為Vbj，多自由度體系向等效單自由度體系的轉(zhuǎn)化如圖1所示。

圖1 多自由度體系向等效單自由度體系的轉(zhuǎn)化Fig.1 Transition from multi-degree freedom system into equivalent single-degree freedom system

由于多自由度體系第j振型各質(zhì)點(diǎn)加速度aji與uji成正比，因此

(1)

根據(jù)假定②基底剪力相等可知

(2)

可得原結(jié)構(gòu)各質(zhì)點(diǎn)的水平地震作用為

(3)

則單自由度體系的等效位移為

(4)

將第j振型結(jié)構(gòu)各質(zhì)點(diǎn)位移用位移形狀向量和結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)位移ujr表示，則

uji=φjiujr，

(5)

(6)

式中：φji為第j振型i質(zhì)點(diǎn)的振型值；γj為第j振型的振型參與系數(shù)。則已知等效單自由度體系的等效位移ujeff，相應(yīng)原多自由度體系各振型的頂點(diǎn)位移可知

ujr=γjujeff。

(7)

1.2 求解SRC結(jié)構(gòu)目標(biāo)位移

本文采用能力譜法求解SRC結(jié)構(gòu)目標(biāo)位移，具體步驟如下：

①在結(jié)構(gòu)上施加靜力荷載，按第j振型的水平分布力Fj對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行Pushover分析，得到第j振型的基底剪力-頂點(diǎn)位移(Vbj-ujr)推覆曲線，并簡(jiǎn)化為雙線型模型。其中Fj的計(jì)算公式為

Fj=Mφj，

(8)

式中：M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；φj為第j振型的振型向量。

②建立能力譜曲線。在第j振型的地震過(guò)程中，結(jié)構(gòu)沿高度的側(cè)移用一個(gè)不變的形狀向量φj表示，這樣將原結(jié)構(gòu)等效為一個(gè)單自由度體系，而Vbj-ujr推覆曲線逐點(diǎn)轉(zhuǎn)化為等效自由度體系的譜加速度-譜位移(ADRS格式)曲線，即

(9)

③采用規(guī)范加速度反應(yīng)譜(Sa-T譜)建立需求譜曲線。我國(guó)規(guī)范的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜為地震影響系數(shù)(α-T)曲線，需轉(zhuǎn)化為特定的SRC結(jié)構(gòu)的Sa-T譜曲線，RC結(jié)構(gòu)彈性阻尼比ζ0取0.05，鋼結(jié)構(gòu)取0.02，由于SRC結(jié)構(gòu)的性能介于RC結(jié)構(gòu)和鋼結(jié)構(gòu)之間，因此本文對(duì)其取為0.04[14]，則計(jì)算公式為

(10)

式中：αmax為地震影響系數(shù)最大值；Tg為場(chǎng)地特征周期；T為結(jié)構(gòu)自振周期。

1.3 CMPA方法

將第一階段的推覆結(jié)果通過(guò)式(7)求得多自由度體系各振型下頂點(diǎn)位移，則通過(guò)下式可得第j振型的結(jié)構(gòu)位移uj,

uj=φjujr。

(11)

將x方向各振型的結(jié)構(gòu)位移進(jìn)行組合可得多自由度體系x方向位移ux

(12)

且ux中的頂點(diǎn)位移為urx。

將ux進(jìn)行歸一化處理并作為側(cè)移向量對(duì)型鋼-混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行第二次Pushover分析，推覆至目標(biāo)位移urx，進(jìn)行x方向彈塑性過(guò)程分析，得到的樓層側(cè)移為uxc。

同理可得多自由度體系y方向位移uy及ury，并采用上述相同的方法沿y方向?qū)π弯?混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行第二次Pushover分析，推覆至目標(biāo)位移ury，進(jìn)行y方向彈塑性過(guò)程分析，得到的樓層側(cè)移為uyc。

1.4 雙向地震作用下的Pushover

雙向地震作用下結(jié)構(gòu)受到的損害比單向地震作用下更為嚴(yán)重，有必要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行雙向地震作用下的研究，但Pushover方法是單向推覆，因此本文對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行2個(gè)方向地震作用效應(yīng)組合來(lái)達(dá)到雙向地震作用效應(yīng)。

考慮雙向地震作用效應(yīng)組合的方法有2種：①采用某一方向地震作用效應(yīng)的100%加上另一方向地震作用效應(yīng)的30%；②對(duì)2個(gè)方向地震作用效應(yīng)采用SRSS組合，且認(rèn)為2個(gè)方向的反應(yīng)譜是相同的。本文采用第二種方法，它是根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論推出的，具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的含義，得出的結(jié)果與實(shí)際反應(yīng)也最接近。

設(shè)x方向下地震作用效應(yīng)為Ax，y方向下地震作用效應(yīng)為Ay，按照SRSS方法進(jìn)行組合，

(13)

式中：A為雙向地震作用下地震作用效應(yīng)的組合值，取其計(jì)算最大值，本文選取樓層側(cè)移值作為地震作用效應(yīng)；按照我國(guó)建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范，k取0.85。

將CMPA方法推覆得到的uxc和uyc代入式(13)得

(14)

式中u為雙向地震作用下型鋼混凝土框架兩階段Pushover分析方法得到的樓層側(cè)移。

2 雙向地震作用下兩階段Pushover分析步驟

①根據(jù)建筑結(jié)構(gòu)的使用功能、建筑類別、抗震等級(jí)等進(jìn)行型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計(jì)，主要包括確定結(jié)構(gòu)層高、柱網(wǎng)尺寸、材料強(qiáng)度等級(jí)以及構(gòu)件截面尺寸等。

②計(jì)算結(jié)構(gòu)各振型向量φj與模態(tài)頻率ωj并對(duì)振型向量作歸一化處理；計(jì)算各樓層重力荷載代表值Gi及各項(xiàng)內(nèi)力。

④建立能力譜曲線與需求譜曲線，并轉(zhuǎn)化為ADRS格式。

⑤將能力譜曲線與需求譜曲線繪制在同一張圖中，得交點(diǎn)為等效單自由度體系的等效位移ujeff，采用式(7)轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)位移ujr，代入式(11)可得第j振型的樓層側(cè)移uj。

⑥重復(fù)步驟④、⑤確定前m個(gè)振型的樓層側(cè)移，將各個(gè)振型計(jì)算所得的樓層側(cè)移采用式(12)進(jìn)行組合，求得多自由度體系樓層側(cè)移ua。

⑦利用步驟⑥得到的樓層側(cè)移ua歸一化處理后對(duì)型鋼-混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行推覆，進(jìn)行第二次Pushover分析，得到x方向和y方向的樓層側(cè)移uxc和uyc。

⑧將得到uxc和uyc通過(guò)式(14)組合得到雙向地震作用下型鋼混凝土框架的樓層側(cè)移u。

3 算例

3.1 算例介紹

本文采用的SRC結(jié)構(gòu)算例為8層結(jié)構(gòu)，層高均為3.3 m，混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30，型鋼采用Q345熱軋鋼，鋼筋直徑14 mm的HRB400級(jí)鋼筋。結(jié)構(gòu)平面布置如圖2所示，x方向?yàn)榭v向，y方向?yàn)闄M向，柱1—8為邊柱，其余柱為中柱，梁柱截面尺寸見(jiàn)表1，型鋼截面尺寸見(jiàn)表2。采用SAP2000結(jié)構(gòu)分析軟件對(duì)其進(jìn)行計(jì)算分析，該場(chǎng)地抗震設(shè)防烈度為8度，多遇地震加速度為0.16 g，罕遇地震加速度為0.9 g，設(shè)計(jì)地震分組為第一組，場(chǎng)地類別為Ⅱ類。

圖2 SRC結(jié)構(gòu)平面布置Fig.2 Structural layout plan of SRC

表1 梁柱截面尺寸Tab.1 Section dimensions of beam and column mm×mm

表2 型鋼截面尺寸

3.2 建模過(guò)程

首先對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，確定參與振型，經(jīng)計(jì)算選用y方向振型為1、4、7階振型，x方向振型為2、5、8階振型進(jìn)行振型Pushover分析，參與振型的等效單自由度體系參數(shù)見(jiàn)表3。

表3 等效單自由度體系參數(shù)Tab.3 Parameter of equivalent single degree of freedom system

Pushover分析中，對(duì)梁?jiǎn)卧?，僅考慮彎矩產(chǎn)生的塑性鉸，對(duì)柱單元，需要考慮由軸力和雙向彎矩共同作用產(chǎn)生的塑性鉸，因此梁采用M塑性鉸設(shè)置，柱采用P-M-M塑性鉸設(shè)置。將結(jié)構(gòu)進(jìn)行單向推覆，各振型得到的Pushover結(jié)果通過(guò)能力譜法得到各振型下的目標(biāo)位移及位移向量uj，之后通過(guò)式(12)組合后進(jìn)行第2次Pushover分析。

本文通過(guò)時(shí)程分析得到的地震作用效應(yīng)作為精確值來(lái)校驗(yàn)Pushover方法的準(zhǔn)確性，將地震波雙向輸入，由于結(jié)構(gòu)y方向抗側(cè)力較小，為受地震影響較嚴(yán)重一側(cè)，將y方向地震波完整輸入，x方向地震波取0.85倍輸入。地震波分別選ELECNTRO波、蘭州波、唐山波作進(jìn)行計(jì)算，3種地震波下結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)平均值即為結(jié)構(gòu)受雙向地震作用下的精確值。

3.3 算例結(jié)果

傳統(tǒng)的一階推覆、MPA方法、本文的CMPA方法以及時(shí)程分析方法的結(jié)構(gòu)變形分別如圖3、4所示。從中可見(jiàn)，本文的CMPA方法計(jì)算型鋼混凝土結(jié)構(gòu)在雙向地震作用下的誤差更小。雙向地震作用下型鋼混凝土結(jié)構(gòu)Pushover分析方法對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表4。

(a) x方向樓層側(cè)移

(c) 雙向樓層側(cè)移

(e) y方向?qū)娱g位移

表4 雙向地震作用下型鋼混凝土框架Pushover分析方法對(duì)比Tab.4 Comparison of Pushover analysis methods for steel concrete frame under bidirectional earthquake actions

由圖3可知，x、y方向以及雙向地震作用下，MPA方法的計(jì)算結(jié)果與僅考慮一階振型的傳統(tǒng)Pushover方法計(jì)算結(jié)果相近，但與時(shí)程分析結(jié)果并不相近，表明多遇地震下SRC結(jié)構(gòu)使用MPA方法提升效果不顯著。這是由于多遇地震下結(jié)構(gòu)所受到的地震作用主要由低階振型控制，高階振型對(duì)結(jié)構(gòu)的影響較小，因此MPA方法中高階振型的影響在此不能體現(xiàn)。x、y方向以及雙向地震作用下CMPA方法計(jì)算結(jié)果的精確度相對(duì)于MPA方法有所提升，樓層側(cè)移與層間位移結(jié)果均較接近時(shí)程分析結(jié)果，表明兩階段Pushover方法可以適用于多遇地震下SRC結(jié)構(gòu)。

罕遇地震下結(jié)構(gòu)變形如圖4所示，x、y方向以及雙向地震作用下，MPA方法的計(jì)算結(jié)果與僅考慮一階振型的傳統(tǒng)Pushover方法計(jì)算結(jié)果相近，這是由于框架結(jié)構(gòu)層數(shù)較低時(shí)地震作用主要由低階振型控制，受高階振型影響較小，MPA方法在高階振型的優(yōu)勢(shì)不能很好體現(xiàn)，因此使用MPA方法提升效果并不顯著。x、y方向以及雙向地震作用下CMPA方法計(jì)算結(jié)果的精確度相對(duì)于MPA方法顯著提升，樓層側(cè)移均與時(shí)程分析結(jié)果相近，其中雙向地震作用下得出的樓層側(cè)移最為相近；層間位移計(jì)算結(jié)果中CMPA方法也與時(shí)程分析結(jié)果較為相近，但y方向和雙向地震作用下的3層層間位移有一定誤差。

多遇地震作用下與罕遇地震作用下，CMPA方法的計(jì)算精度均有所提高，表明該方法適用于SRC框架雙向地震分析；與多余地震作用相比，罕遇地震作用下樓層側(cè)移更加接近時(shí)程分析結(jié)果，但罕遇地震下y方向和雙向地震作用下的層間位移仍有一定誤差。本文時(shí)程分析過(guò)程選用3種地震波下結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)平均值作為精確值與Pushover結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，且需考慮結(jié)構(gòu)多種振型，某個(gè)地震波與結(jié)構(gòu)某個(gè)振型的周期較為接近時(shí)，地震作用效應(yīng)將被放大。在多遇地震下結(jié)構(gòu)處于彈性階段受其影響較為明顯，在罕遇地震下Pushover可以將結(jié)構(gòu)推覆至極限受力，適當(dāng)減小了該種情況的影響，因此，與多余地震作用相比，罕遇地震作用下樓層側(cè)移更加接近時(shí)程分析結(jié)果。

(a) x方向樓層側(cè)移

(c) 雙向樓層側(cè)移

(e) y方向?qū)娱g位移

3.4 型鋼混凝土框架Pushover分析

型鋼混凝土框架第二階段Pushover分析中step55、step64、step93的塑性鉸如圖5所示。

step55、step64、step93分別為結(jié)構(gòu)第一次出現(xiàn)塑性鉸、柱端第一次出現(xiàn)塑性鉸、推覆結(jié)束時(shí)結(jié)構(gòu)所有塑性鉸的時(shí)刻。由圖5可知，結(jié)構(gòu)第一次出現(xiàn)的塑性鉸為梁端塑性鉸，處于框架的二、三層梁端，此時(shí)未有框架柱產(chǎn)生屈服，表明該型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)很好的實(shí)現(xiàn)了“強(qiáng)柱弱梁”的目的。柱端第一次出現(xiàn)塑性鉸為框架底層邊柱柱端，該柱在單推過(guò)程中處于受拉側(cè)，柱中配置型鋼彌補(bǔ)了混凝土受拉性能的不足，有效地提高了構(gòu)件在受拉時(shí)的性能，進(jìn)而提高框架結(jié)構(gòu)在地震中的抗側(cè)力。推覆結(jié)束時(shí)框架一至五層梁端幾乎都出現(xiàn)了塑性鉸，一至二層柱端受拉側(cè)也出現(xiàn)了大量的塑性鉸，結(jié)構(gòu)可認(rèn)為已無(wú)法繼續(xù)受力，此時(shí)梁端塑性鉸的數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于柱端，表明結(jié)構(gòu)很好的實(shí)現(xiàn)了“梁鉸機(jī)制”。型鋼混凝土框架經(jīng)過(guò)合理設(shè)計(jì)同樣可實(shí)現(xiàn)“強(qiáng)柱弱梁”和“梁鉸機(jī)制”的結(jié)構(gòu)模式，且配置型鋼可使結(jié)構(gòu)抗側(cè)力大大提升，在實(shí)際地震中具有更高的安全性。

(a) step55 (b) step64 (c) step93

4 結(jié)論

①本文建立了雙向地震作用下型鋼混凝土框架的兩階段Pushover分析方法：首先對(duì)型鋼混凝土框架進(jìn)行振型Pushover，將各振型組合得到的結(jié)構(gòu)位移歸一化處理后作為推覆側(cè)移向量對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行第2次Pushover分析，得到的地震作用效應(yīng)即為結(jié)構(gòu)最終的地震響應(yīng)。

②通過(guò)算例分析得出,多遇地震作用下與罕遇地震作用下，兩階段Pushover方法的計(jì)算精度較傳統(tǒng)Pushover方法和振型Pushover方法均有所提高，表明該方法適用于型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)的雙向地震分析，與多遇地震作用相比，罕遇地震作用下樓層側(cè)移更加接近時(shí)程分析結(jié)果。型鋼混凝土框架經(jīng)過(guò)合理設(shè)計(jì)同樣可實(shí)現(xiàn)“強(qiáng)柱弱梁”的結(jié)構(gòu)模式，且配置型鋼可使結(jié)構(gòu)抗側(cè)力大大提升，具有較好的抗震性能。