推導(dǎo)Navier–Stokes方程用的Stokes的三條假設(shè)1)

黃樹(shù)新

(上海交通大學(xué)工程力學(xué)系, 上海 200240)

(上海交通大學(xué)水動(dòng)力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200240)

Navier-Stokes方程是流體力學(xué)中的基本方程，也是教學(xué)中要求學(xué)生理解掌握的方程[1]。這個(gè)方程在航空、環(huán)境、化工等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。推導(dǎo)Navier-Stokes方程一般有2種方式，一個(gè)是Navier采用的從分子運(yùn)動(dòng)的角度分析并得到這個(gè)方程，一個(gè)是Stokes采用的基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的方式。筆者在流體力學(xué)課程的教學(xué)中，講的是Stokes的推導(dǎo)方式[1?3]。

Stokes用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的方法得到Navier-Stokes方程時(shí)，用了3個(gè)假設(shè)[1?3]。這3個(gè)假設(shè)可以簡(jiǎn)單地表述為，（1）應(yīng)力和應(yīng)變率存在線性關(guān)系；（2）流體各向同性；（3）靜止時(shí)的法向應(yīng)力等于靜壓強(qiáng)。3個(gè)假設(shè)的表述在Acheson的著作中[4]也是類似的。Acheson[4]介紹，Stokes在1845年從這3個(gè)假設(shè)得到了流體中應(yīng)力的表達(dá)式。

在近來(lái)的文獻(xiàn)查閱中，筆者讀了Cauchy的兩份工作[5?6]，注意到在Cauchy的工作中已經(jīng)有這3個(gè)假設(shè)的使用。這里，介紹一下Cauchy的工作中和這3個(gè)假設(shè)有關(guān)的內(nèi)容。

1 三條假設(shè)和Cauchy的工作

Stokes于1845年發(fā)表的文獻(xiàn)[7]中的式(8)包含的6個(gè)式子為

其中，u，v，w是速度分量；x，y，z是空間坐標(biāo)；p是壓強(qiáng)；P1，P2，P3是法向應(yīng)力；T1，T2，T3是剪切應(yīng)力；μ是流體的黏度；δ是和?·v有關(guān)的量。式（1）和現(xiàn)在寫(xiě)法的差別，主要在它的速度梯度是用d表示求導(dǎo)。這個(gè)式子就包含了Stokes用的3個(gè)假設(shè)。

1.1 應(yīng)力和應(yīng)變率存在線性關(guān)系的假設(shè)

Cauchy于1828年發(fā)表的文獻(xiàn)[6]中的式(25)包含的3個(gè)式子為

其中，A，B，C是法向應(yīng)力；D，E，F(xiàn)是剪切應(yīng)力；X，Y，Z分別是x，y，z三個(gè)方向上的重力分量；ρ是流體的密度；χ，δ，τ 是加速度分量。式(2)就是Cauchy用的動(dòng)量方程，其中的應(yīng)力在Cauchy的文獻(xiàn)[6]中的式(95)給出，即

其中，k是表征流體特性的參數(shù)，相當(dāng)于流體黏度的2倍，R為

其中，K是和k有關(guān)的參數(shù)。式(4)包括Cauchy的文獻(xiàn)[6]中的式(29)和式(97)。很明顯，Cauchy的文獻(xiàn)[6]中的式(95)也表達(dá)了應(yīng)力和應(yīng)變率存在線性關(guān)系。所以，Stokes用的第1個(gè)假設(shè)在Cauchy的1828年的工作中已有。

1.2 流體各向同性的假設(shè)

在Cauchy的1828年的工作中[6]，有下面兩句話，‘1. en supposantket?variables avecx,y,z,’，和‘2. en supposantket?constantes’，其中，?是和流體的密度有關(guān)的物理量。第1句就是假設(shè)流體的物理特性k和?隨坐標(biāo)變化，第2句就是假設(shè)流體的物理特性k和?是常數(shù)。用第1句假設(shè)的條件，就有Cauchy的文獻(xiàn)[6]中的式(90)，即

用第2句假設(shè)的條件，就有Cauchy的文獻(xiàn)[6]中的式(91)，即

這兩個(gè)式子都表明，Cauchy用的流體的物理特性k是各向同性的。

1.3 靜止時(shí)的法向應(yīng)力等于靜壓強(qiáng)的假設(shè)

這條假設(shè)在Cauchy的1828年的工作[6]中沒(méi)有，但在Cauchy的1827年的工作[5,8]中有類似的表述。文獻(xiàn)[5]中的式(16)為

式(7)就是Cauchy的1828年的工作[6]中去掉慣性力的式(25)。同時(shí)，在文獻(xiàn)[5]中，Cauchy還給出了式(17)～式(19)三個(gè)式子，分別為

式(8)～式(10)就表明流體靜止時(shí)只有靜壓強(qiáng)的作用力。式(10)就是靜止流體的平衡微分方程。

考慮到Cauchy已經(jīng)用過(guò)這3個(gè)假設(shè)，在近兩年的教學(xué)中，筆者在講課時(shí)就說(shuō)，Stokes使用了3個(gè)假設(shè)，然后可以推導(dǎo)得到Navier–Stokes方程。以表達(dá)這3個(gè)假設(shè)不是Stokes原創(chuàng)的。

2 結(jié)語(yǔ)

本文介紹了Stokes在1845年推導(dǎo)Navier–Stokes方程時(shí)用的3個(gè)假設(shè)的歷史，這3個(gè)假設(shè)在Cauchy的兩份工作中也出現(xiàn)過(guò)。

致謝：感謝CALIS (China Academic Library &Information System，中國(guó)高等教育數(shù)字圖書(shū)館)上海市文獻(xiàn)信息服務(wù)中心和上海交通大學(xué)圖書(shū)館提供了Cauchy 和Stokes 的文獻(xiàn)。