評(píng)王敏中等編的《數(shù)學(xué)彈性力學(xué)研究的若干進(jìn)展》

武際可

(北京大學(xué), 北京100871)

最近，王敏中教授送給我他和他的學(xué)生編的一本專著《數(shù)學(xué)彈性力學(xué)研究的若干進(jìn)展》。書中收集了幾十年來(lái)他和學(xué)生們?cè)趶椥粤W(xué)方面最重要的研究論文40篇。

王敏中和我在北京大學(xué)力學(xué)系同一個(gè)教研室共事數(shù)十年，他以往的研究每有新發(fā)現(xiàn)都在一定的范圍或討論班上做報(bào)告，所以他的研究方向和成果，我雖然不能說完全熟悉，也略知一二。

這本書一到手，我便忍不住先瀏覽一遍。

作者在序言中說，書中涉及的問題有以下七個(gè)方面。

（1）綜述兩篇：彈性通解研究進(jìn)展，某些數(shù)學(xué)方法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用；

（2）線性彈性力學(xué)問題的通解；

（3）矩陣的廣義逆與應(yīng)力函數(shù)；

（4）圣維南問題、廣義平面應(yīng)力問題和Stenberg集中力的弱假設(shè)，局部積分方程與中值定理的等價(jià)性；

（5） 梁和板的精確化理論；

（6） 某些二維問題裂紋、夾雜和空間等問題的精化解；

（7）多種物理因素（熱、磁、壓電等)作用下，彈性力學(xué)問題的通解。

瀏覽過這本書不僅加深了我對(duì)王敏中科學(xué)研究深度的印象，而且使我對(duì)他的研究的重要性有了新的認(rèn)識(shí)。

首先，這本書可以說是王敏中和他的學(xué)生們幾十年在彈性力學(xué)研究的精華，是幾十年心血的結(jié)晶。書中涉及的問題對(duì)于彈性力學(xué)發(fā)展來(lái)說十分重要。如有關(guān)二維、三維問題的夾雜，空洞問題的精確解，圣維南問題，彈性力學(xué)的基本解問題，多物理場(chǎng)與彈性力學(xué)的耦合問題等，這些新研究成果，無(wú)論是在理論上還是應(yīng)用上都是非常重要和值得關(guān)注的。

舉例說，彈性力學(xué)如果用應(yīng)力方程來(lái)求解，那有三個(gè)平衡方程，六個(gè)應(yīng)力協(xié)調(diào)方程，一共是九個(gè)方程，可是未知量只有六個(gè)應(yīng)力分量。顯然有矛盾。對(duì)于這樣一個(gè)基礎(chǔ)性的問題，任何上彈性力學(xué)課的人都會(huì)遇到，但是在以往的各種彈性力學(xué)的著作中很少提到，只有鳩津久一郎的著作中認(rèn)定六個(gè)協(xié)調(diào)方程不獨(dú)立。是王敏中和黃克服把這個(gè)問題徹底解決。九個(gè)方程中任何六個(gè)作為方程，另外三個(gè)作為邊條件，一共有84種可能，他們證明了，其中81種可能三個(gè)式子作為邊條件在區(qū)域內(nèi)部也成立。而另外三種情形，作為邊條件的三個(gè)式子在區(qū)域內(nèi)部不成立，并且給出了反例。這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)是來(lái)自彈性力學(xué)的協(xié)調(diào)方程是不獨(dú)立的。六個(gè)協(xié)調(diào)條件再微商一次就只有三個(gè)是獨(dú)立的了。像這樣帶基礎(chǔ)性質(zhì)的問題的解決是可以寫入教科書的。事實(shí)上，在我們合作編著的《彈性力學(xué)教程（修訂版）》與《彈性力學(xué)引論（修訂版）》中都已經(jīng)介紹了這個(gè)結(jié)論。

其次，在彈性力學(xué)研究的方法論上，本書的特色在于深入研究彈性力學(xué)的通解。研究現(xiàn)今存在的彈性力學(xué)通解的完備性、各種通解之間的關(guān)系、通解用于求解各種有重要意義的彈性力學(xué)具體問題以及構(gòu)造新的通解。

在彈性力學(xué)發(fā)展的歷史上，人們求解過許多問題。不過人們特別看重那種用統(tǒng)一的方法來(lái)解決一大類問題的研究。早時(shí)，法國(guó)的圣維南系統(tǒng)解決了彈性柱體的彎曲與扭轉(zhuǎn)問題，后人稱為圣維南問題。20世紀(jì)蘇聯(lián)的科羅索夫與穆斯海里什維里發(fā)展了彈性力學(xué)平面問題的復(fù)變函數(shù)解法。這兩類問題合起來(lái)占了一般彈性力學(xué)教材求解問題的大部分?？梢娙藗兊闹匾暢潭取?/p>

彈性力學(xué)的基本方程提出后，求解的困難之一就是方程組的未知函數(shù)比較多。于是人們就想辦法用較少的未知函數(shù)來(lái)取代原來(lái)的方程組，或者把原來(lái)方程組中的未知函數(shù)用性質(zhì)比較清楚的函數(shù)族來(lái)表示。沿著這一思路最早的結(jié)果就是艾里應(yīng)力函數(shù)的引進(jìn)，由于它，能夠?qū)]有體力的平面彈性力學(xué)問題化歸為求解雙調(diào)和方程的邊值問題。其實(shí)上文提到的平面彈性力學(xué)問題的復(fù)變函數(shù)解法也是一類通解的應(yīng)用。后來(lái)，對(duì)于三維問題的平衡方程有麥克斯韋、莫拉（Morera）和謝法（Schaefer）應(yīng)力函數(shù)的引進(jìn)；對(duì)于用位移表示的彈性力學(xué)拉梅平衡方程，有帕珀科維奇用四個(gè)調(diào)和函數(shù)表示位移的通解，還有用三個(gè)雙調(diào)和函數(shù)表示位移的伽遼金通解；再后來(lái)又有對(duì)于各向異性材料彈性力學(xué)的胡海昌通解，王敏中自己又于1996年和2001年分別提出了橫觀各向同性彈性力學(xué)通解和各向異性彈性力學(xué)通解。

面對(duì)積累了一百多年的眾多通解，王敏中教授很自然地向自己提出了問題：它們都是完備的嗎，即相應(yīng)方程組的任何解都能夠用通解表達(dá)出來(lái)嗎（帕珀科維奇與伽遼金通解的完備性已有人證明）？為什么有多種通解，不同的通解之間有什么關(guān)系？

經(jīng)過多年的積累和努力，這些問題都被王敏中教授一一解決。并且最后給出一篇綜述性的文章《Recent general solutions in linear elasticity and their applications》（附有二百多篇參考文獻(xiàn)）。

王敏中的研究把百年來(lái)關(guān)于彈性力學(xué)通解的眾多的研究結(jié)果提升到一個(gè)新的階段。他打通了各種通解之間的聯(lián)系，統(tǒng)一解決了通解的完備性問題，為通解的應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。因此美國(guó)加利福尼亞州伯克利分校的力學(xué)家徐皆蘇教授這樣評(píng)價(jià)王敏中的工作：“為建立幾個(gè)著名解之間的關(guān)聯(lián)，他做了大量統(tǒng)一工作，我認(rèn)為在這個(gè)領(lǐng)域中，他是當(dāng)代世界上最有學(xué)識(shí)者之一。”

彈性力學(xué)經(jīng)過二百多年的發(fā)展，不會(huì)把能夠求解的問題僅限于圣維南問題和平面問題?？梢灶A(yù)料，未來(lái)彈性力學(xué)的三維問題，會(huì)引起更多的關(guān)注。而求解三維問題，也會(huì)像平面問題一樣，通解將是最重要的工具。事實(shí)上，本書涉及的三維問題解，如夾雜問題，空洞問題都是借助于通解解決的。因之可以說，王敏中和他的學(xué)生們的工作，在彈性力學(xué)通解及其應(yīng)用的發(fā)展來(lái)說是具有里程碑意義的工作。

我前面說的本書的這兩個(gè)特點(diǎn)，是有相當(dāng)難度和重要性的工作。王敏中之所以能夠做到，是和他的經(jīng)歷和獨(dú)到的興趣有關(guān)。具體來(lái)說有以下三點(diǎn)。

（1）厚實(shí)的基礎(chǔ)。王敏中是1962年經(jīng)過北大數(shù)學(xué)力學(xué)系六年學(xué)習(xí)畢業(yè)留校的。北大數(shù)學(xué)力學(xué)系教學(xué)本來(lái)就重視基礎(chǔ)教學(xué)，他們那一屆又是六年制，基礎(chǔ)就更扎實(shí)。這還不算，留校后，王敏中一直作基礎(chǔ)課輔導(dǎo)教員，先后兩次輔導(dǎo)數(shù)學(xué)分析，兩次輔導(dǎo)理論力學(xué)，還輔導(dǎo)了一次解析幾何。當(dāng)時(shí)北大數(shù)學(xué)力學(xué)系的數(shù)學(xué)分析和理論力學(xué)都是兩年的課，兩門課輔導(dǎo)兩次就是八年，再加輔導(dǎo)解析幾何，后來(lái)又遇上“文化大革命”，所以大約留校二十年沒有作為主講教師，一直是輔導(dǎo)助教。要是換作別人，早就不干了，會(huì)遠(yuǎn)走高飛。而王敏中不一般，利用作輔導(dǎo)教員的條件大量做題的優(yōu)勢(shì)，把基礎(chǔ)打得格外扎實(shí)。這還不算，他利用輔導(dǎo)課和“文革”的空閑時(shí)間，自修泛函分析、完整地鉆研穆斯海里什維里的《數(shù)學(xué)彈性力學(xué)的若干問題》專著。這樣，他的數(shù)學(xué)和彈性力學(xué)基礎(chǔ)，至少在北大力學(xué)系是無(wú)人能及的了。

所以王敏中是在他留校工作二十年之后才發(fā)表彈性力學(xué)方面的論文的。他在研究上可以說是大器晚成，不鳴則已，一鳴驚人。

（2）專注于基本理論問題。王敏中進(jìn)入彈性力學(xué)研究的時(shí)候，正值固體力學(xué)有限單元法傳入中國(guó)的時(shí)候。整個(gè)力學(xué)界一窩蜂地涌向數(shù)值方法，各種數(shù)值方法的論文、學(xué)術(shù)會(huì)議和專著大量出現(xiàn)。而且說實(shí)在的，用計(jì)算機(jī)算題出論文比起做實(shí)驗(yàn)和探討理論問題要快。即使是在一直比較重視基礎(chǔ)理論的北京大學(xué)力學(xué)系也是這樣。在這種風(fēng)氣之下，專注于理論研究的人少之又少。王敏中就是一個(gè)。國(guó)內(nèi)力學(xué)界的這種情形，使他和他的學(xué)生的研究在國(guó)內(nèi)知音很少，和者寥寥，反而得到國(guó)外同行中有名的教授的肯定。現(xiàn)在科學(xué)出版社出版這本專著，為讀者能夠集中地了解他們幾十年的工作，提供了方便的條件。

周培源先生說過，做學(xué)問，認(rèn)準(zhǔn)了就要堅(jiān)持下去。王敏中正是這樣，堅(jiān)持就是勝利。

（3）關(guān)注世界權(quán)威的工作，敢于向權(quán)威挑戰(zhàn)。從研究工作一開始，王敏中就瞄準(zhǔn)彈性力學(xué)中的難題展開工作。特別關(guān)注在這一領(lǐng)域中大師的工作。他引用華羅庚先生的話說：“弄斧就要到班門”。這是對(duì)“班門弄斧”反其意的說法。即，要推敲名人做過的題目，有沒有問題、能不能改進(jìn)、能不能推廣，并且將得到的結(jié)果與名人交流研討。也就是說敢于挑戰(zhàn)名人，要有超過名人的欲望。俄羅斯有諺語(yǔ)“照著星星打槍，總比照著樹梢打得高?！本褪沁@個(gè)意思。

正是持這樣的做學(xué)問的態(tài)度，他才能把錢偉長(zhǎng)關(guān)于彈性柱體的條件減弱，得到錢偉長(zhǎng)的認(rèn)可，并且說這是最弱的條件。正是持這種做學(xué)問的態(tài)度，他和研究生發(fā)現(xiàn)蘇聯(lián)著名學(xué)者魯里葉的專著《三維彈性力學(xué)問題》中的錯(cuò)誤，并加以改正。也正是持這樣的做學(xué)問的態(tài)度，他和學(xué)生發(fā)展了著名的Eshelby嵌入橢球核問題，提出在算術(shù)平均意義之下的夾雜問題。以上介紹的關(guān)于通解的相互關(guān)系問題的解決，也可以說是世界上大師們一直想解決而未能解決的問題。

所以，這本書出版很有價(jià)值，它不僅使我們了解到王敏中和他的學(xué)生們這幾十年在彈性力學(xué)領(lǐng)域中解決了哪些重要問題，它們的學(xué)術(shù)價(jià)值還可以使我們窺見王敏中和他的研究生們做學(xué)問的態(tài)度、他們的基礎(chǔ)、解決問題的方法和技巧。

所以，我覺得凡是對(duì)彈性力學(xué)有興趣的人都應(yīng)當(dāng)讀一讀這本書，至少值得挑選幾篇有興趣的文章，認(rèn)真讀一讀。