融入數(shù)學(xué)文化： 初中數(shù)學(xué)“實數(shù)”的HPM教學(xué)研究

游學(xué)文

[摘要] 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容不能局限于公式、規(guī)律等表征，更應(yīng)當(dāng)深入理解數(shù)學(xué)知識發(fā)展與形成的過程，理解蘊含其中的數(shù)學(xué)思想方法。以HPM的視角進(jìn)行初中數(shù)學(xué)“實數(shù)”教學(xué)設(shè)計，具體過程：構(gòu)建巧妙關(guān)聯(lián)發(fā)展區(qū)，導(dǎo)入研究問題;隱性引入數(shù)學(xué)史，進(jìn)行學(xué)科實踐;設(shè)問引導(dǎo)后歸納，完成概念辨析;隨堂練習(xí)再反饋，展示文化理解，從而培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);HPM;核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)文化;實數(shù)

HPM是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的縮寫，其給予了數(shù)學(xué)文化本體的生成過程，且有助于學(xué)生數(shù)學(xué)文化的深度理解。追溯HPM的誕生歷史，其標(biāo)志性事件應(yīng)當(dāng)是1972年第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會成立數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組[1]。HPM能夠?qū)⒍吆弦?，并成為一個專有名詞的關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)史中蘊藏著大量的思維方式、研究方法與情境文化。通過把握數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，貫通數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，往往可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、方法、思想及應(yīng)用的理解，從而強化數(shù)學(xué)文化的傳承，提升數(shù)學(xué)的人文價值。目前，數(shù)學(xué)教育界對HPM的研究，有很大一部分集中于數(shù)學(xué)教科書中數(shù)學(xué)史的融入、呈現(xiàn)與育人價值。如部分學(xué)者近期對20世紀(jì)初美國數(shù)學(xué)教科書中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)行了分析[2]。就蘇科版初中數(shù)學(xué)教科書來看，其在章節(jié)后面都會呈現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)史閱讀材料，且主要與我國的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史有關(guān)。為了進(jìn)一步挖掘數(shù)學(xué)史育人價值，研究者嘗試進(jìn)行融入數(shù)學(xué)文化的HPM教學(xué)研究。

一、HPM價值：教學(xué)融入數(shù)學(xué)文化的載體

（一）HPM提供數(shù)學(xué)文化本體的生成過程

文化的形成自始至終伴隨著人們的生產(chǎn)與實踐過程，借由生產(chǎn)生活的各種實踐活動形成便于使用的文化符號與規(guī)則，進(jìn)而讓后輩繼承并約束他們后來的實踐[3]。無獨有偶，數(shù)學(xué)文化的生成過程同樣如此，在人們需要解決部分現(xiàn)實問題中產(chǎn)生了數(shù)學(xué)符號、規(guī)則與關(guān)系，并在共同體的認(rèn)可與使用下進(jìn)行了一系列的共通性表達(dá)。而數(shù)學(xué)史從數(shù)學(xué)的由來及其流變的角度提供了數(shù)學(xué)文化生成過程，一方面歷史的由來告訴了此類數(shù)學(xué)知識從哪些現(xiàn)實問題衍生而來，另一方面數(shù)學(xué)史為文化的生成提供了從問題到符號，再到精神內(nèi)核的演變過程。實則，任何的數(shù)學(xué)符號或規(guī)則的創(chuàng)生都應(yīng)當(dāng)具備簡約的特性，以便于人們交流、使用與表達(dá)，且這些符號或規(guī)則也均為了讓人們更好地進(jìn)行生產(chǎn)生活而存在?？梢姡琀PM不僅給予了數(shù)學(xué)文化的符號與背后來源的解釋，還提供了文化的價值意義與精神追求。因而，在實際教學(xué)過程中，透過數(shù)學(xué)史的條分縷析及協(xié)同思考，不難發(fā)現(xiàn)其背后文化本體的價值力量，是一種將數(shù)學(xué)文化表層符號與內(nèi)容功能集成的育人載體。

（二）HPM有助于學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)文化

借助HPM教學(xué)將數(shù)學(xué)文化元素融入數(shù)學(xué)教育中，可以進(jìn)一步傳承與弘揚數(shù)學(xué)文化。因而，在邏輯上我們必須要厘清兩個基本問題：為什么要研究數(shù)學(xué)史知識？數(shù)學(xué)史知識具備何種價值？通過分析上述兩個問題，數(shù)學(xué)文化的味道自然而然就出來了。首先，數(shù)學(xué)發(fā)展史中蘊含著數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展脈絡(luò)，彰顯了數(shù)學(xué)發(fā)展與社會科技進(jìn)步的內(nèi)在關(guān)系，具有數(shù)學(xué)思想方法與邏輯思維等方面的豐富意蘊。其次，數(shù)學(xué)史知識具備何種價值，回答這個問題就必須要思考數(shù)學(xué)史知識有什么時代價值、對社會經(jīng)濟發(fā)展有什么貢獻(xiàn)。將數(shù)學(xué)史知識融入教學(xué)中，必然不可能僅通過古老的歷史讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，更多的是要借由數(shù)學(xué)史凸顯其背后的思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)文化的精髓，通過揭示這類思想方法，可以讓學(xué)生接觸到數(shù)學(xué)家的理性科學(xué)精神，從而彰顯深奧的數(shù)學(xué)文化精神。由此可見，HPM有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的深度理解，便于其經(jīng)由表象歷史分析到深層歷史品悟，逐步達(dá)成對數(shù)學(xué)文化價值的認(rèn)同與理解。

二、HPM實踐：蘇科版“實數(shù)”HPM教學(xué)設(shè)計

（一）基于HPM理念的教學(xué)設(shè)計原則

構(gòu)建初中HPM教學(xué)方案不僅要根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)史，而且還要結(jié)合學(xué)生的學(xué)情與初中數(shù)學(xué)考核目標(biāo)等因素。概言之HPM教學(xué)設(shè)計需要遵循以下原則：

第一，可靠性原則。這是最基本的原則，強調(diào)實事求是、求真務(wù)實。在構(gòu)建HPM教學(xué)方案時必須要確保數(shù)學(xué)史內(nèi)容的真實可靠，不能為了完成教學(xué)任務(wù)而虛構(gòu)修改原始史料。要讓學(xué)生能夠以客觀的角度了解數(shù)學(xué)史，并且在了解數(shù)學(xué)史的過程中逐漸形成自我分辨與辯證懷疑的能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

第二，趣聞性與隱蔽性原則。增強HPM教學(xué)趣味性是吸引學(xué)生學(xué)習(xí)注意力的關(guān)鍵，因此，教師在具體的教學(xué)設(shè)計時要采取多元化手段提升課堂的趣味性[4]。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)分為顯性與隱性，教科書編排使用的是顯性融入，例如蘇科版初中數(shù)學(xué)“閱讀”模塊就是顯性融入方式。隱性融入則是從重構(gòu)角度出發(fā)，根據(jù)初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容而對數(shù)學(xué)史進(jìn)行重新設(shè)計，以此將數(shù)學(xué)知識歷史形成過程生動地展現(xiàn)給學(xué)生，加深學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知能力。相對而言，隱性融入的效果比顯性融入要好，因此在具體的教學(xué)中教師要遵循隱性融入的原則。

第三，探索性原則。通過分析，初中數(shù)學(xué)教科書中都會有不同形式的數(shù)學(xué)發(fā)展史閱讀素材，然而在實踐過程中教師對于已經(jīng)編排好的數(shù)學(xué)史料大多數(shù)是以“附加”的方式融入教學(xué)中，存在機械學(xué)習(xí)的情況，并未實現(xiàn)育人的功能[5]。因此，在具體的設(shè)計中教師要結(jié)合學(xué)生的學(xué)情，適當(dāng)豐富史料，采取循序漸進(jìn)的方式有效融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，通過教師的細(xì)致引導(dǎo)、層層設(shè)疑，逐步滲透數(shù)學(xué)文化并發(fā)揮其育人價值。

（二）HPM理念下初中數(shù)學(xué)“實數(shù)”教學(xué)過程

由于“實數(shù)”是八年級上冊學(xué)習(xí)的內(nèi)容，雖然初二學(xué)生相對于初一學(xué)生在抽象思維上得到鍛煉與提升，但基于傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式的影響，學(xué)生在學(xué)習(xí)上仍然表現(xiàn)出較大的依賴性，不容易接受抽象的知識點。并且，“實數(shù)”內(nèi)容雖然相比“冪的運算”“勾股定理”較為直觀，但是無理數(shù)和實數(shù)的概念比較抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時候普遍感到有理解難度，容易產(chǎn)生認(rèn)知混亂。其實，有理數(shù)系的擴充是人類對數(shù)的認(rèn)知的一次飛躍，是生產(chǎn)和生活發(fā)展的需要。無理數(shù)、有理數(shù)的出現(xiàn)和理論體系建立對學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展起著關(guān)鍵性的作用，教師要讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)發(fā)展并不是隨意的，而是以現(xiàn)實需求為基礎(chǔ)的。教科書中有關(guān)“實數(shù)”教學(xué)內(nèi)容的設(shè)置，主要是通過學(xué)生將一些整數(shù)和分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的過程，說明任何一個有理數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為無限循環(huán)的小數(shù)和有限小數(shù)形式[6]。在教學(xué)中學(xué)生存在如下困惑：無理數(shù)的產(chǎn)生原因是什么？無理數(shù)是如何出現(xiàn)的？無理數(shù)與有理數(shù)有何區(qū)別？其現(xiàn)實作用是什么？基于學(xué)生所存在的各種疑惑問題，設(shè)計“實數(shù)”HPM教學(xué)過程。A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8

1.巧妙關(guān)聯(lián)發(fā)展區(qū)，導(dǎo)入研究問題

上課前教師要帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)有理數(shù)的分類，為學(xué)習(xí)無理數(shù)及實數(shù)的分類做好準(zhǔn)備。例如，在上課時教師要向?qū)W生提問是否記得有理數(shù)是如何分類的，并讓學(xué)生列舉一些有理數(shù)，重新回顧有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)。當(dāng)學(xué)生列出有理數(shù)后，組織學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為小數(shù)的形式，然后讓學(xué)生探討，在將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)后出現(xiàn)了什么規(guī)律。以此，讓學(xué)生意識到有理數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)形式后，其劃分成無限循環(huán)小數(shù)和有限小數(shù)。通過對學(xué)生自己動手操作過程的總結(jié)，得出小數(shù)除了無限循環(huán)小數(shù)和有限小數(shù)之外，還包括無限不循環(huán)小數(shù)，從而引導(dǎo)出本節(jié)課新知“無理數(shù)”。

如上的教學(xué)過程勾連了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生從已學(xué)過的知識出發(fā)認(rèn)識到之前有理數(shù)的分類無法涵蓋現(xiàn)實中全部的數(shù)。經(jīng)由這樣的研究過程，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)中數(shù)系的擴充是因應(yīng)數(shù)學(xué)家的實際需要。此教學(xué)過程不僅復(fù)習(xí)了之前的學(xué)習(xí)內(nèi)容，還在一定程度上便于在下文教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生帶著現(xiàn)實需要去探尋數(shù)學(xué)發(fā)展史的源頭，進(jìn)而深入思考數(shù)學(xué)文化中概括與表達(dá)的基本功能。

2.隱性引入數(shù)學(xué)史，進(jìn)行學(xué)科實踐

“無理數(shù)”發(fā)展歷程比較久遠(yuǎn)，關(guān)于“無理數(shù)”的研究探析一直是學(xué)術(shù)界的熱門話題。為了讓學(xué)生明白無理數(shù)的發(fā)展歷程，教師在正式講解新知識時要利用微視頻播放有關(guān)“無理數(shù)”的發(fā)展歷史。基于數(shù)學(xué)史背景創(chuàng)設(shè)問題情境，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣進(jìn)行刨根問底式的研究[7]。最早的無理數(shù)起源與研究勾股定理有關(guān)，我們知道邊長為1的正方形，其對角線為，但人們卻不知道如何表達(dá)出來。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派希帕索斯發(fā)現(xiàn)，邊長為1的正方形的對角線與邊長是不可公度的，發(fā)現(xiàn)它不是有理數(shù)[8]。隨后，學(xué)術(shù)界對其研究主要從公式計算和幾何圖形證明兩個方面進(jìn)行驗證。

教師通過播放無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)起源故事，讓學(xué)生了解無理數(shù)的發(fā)展歷史，以此掌握知識的來龍去脈。但學(xué)生在觀看數(shù)學(xué)史源頭后，仍會感覺到學(xué)習(xí)無理數(shù)時十分枯燥、難懂。因此，教師要結(jié)合學(xué)生學(xué)情，鼓勵學(xué)生實踐操作，以加強學(xué)生對無理數(shù)的認(rèn)知能力。例如，教師可以向?qū)W生提出“無理數(shù)在現(xiàn)實中是否存在”的問題，然后讓學(xué)生對兩個面積為1的小正方形進(jìn)行裁剪，目標(biāo)就是要將其拼成一個面積為2的大正方形，并且計算大正方形的邊長。學(xué)生通過自己手動操作了解到小正方形的對角線的長度，以此具體感受到無理數(shù)就在我們身邊;通過動手操作不僅可以讓學(xué)生更加清晰地了解無理數(shù)的來源，而且還能進(jìn)一步增強數(shù)學(xué)教學(xué)與實踐的聯(lián)系性。例如，在本次教學(xué)中讓學(xué)生以幾何圖形的方式驗證的大小，這樣可以讓學(xué)生明白拼圖是研究和解決幾何問題的重要方法，增強數(shù)學(xué)教學(xué)的具身實踐性。

3.設(shè)問引導(dǎo)后歸納，完成概念辨析

無理數(shù)分為很多種形式，為了讓學(xué)生掌握無理數(shù)的形式，教師要采取提問的方式。例如“學(xué)生已經(jīng)知道無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，那么π是無理數(shù)嗎？”組織學(xué)生進(jìn)行討論。通過合作交流，讓學(xué)生了解到無理數(shù)的形式主要包括圓周率π、開方開不盡的數(shù)與有一定規(guī)律但是不循環(huán)的小數(shù)。由于學(xué)生對圓周率π還不太理解，因此教師可以將其發(fā)展歷程進(jìn)行簡單的介紹：人們很早就知道圓的周長為2πr，面積為πr2，其中r是圓的半徑，π為圓周率。但是，計算π是非常困難的，人們希望用一個公認(rèn)的大致數(shù)來近似得到π。因為尼羅河的泛濫，為了調(diào)整泛濫后的土地，古埃及人掌握了土地面積測量與計算的技術(shù)，他們對于計算圓面積的π給出了很好的近似值。這一教學(xué)過程讓學(xué)生從生產(chǎn)實踐的角度延展數(shù)學(xué)發(fā)展史，進(jìn)一步使學(xué)生明確了無理數(shù)整理與研究的現(xiàn)實意義。

實數(shù)主要可以分為有理數(shù)和無理數(shù)，但是在具體的學(xué)習(xí)中學(xué)生往往會因為固定分類的方式而限制自身思維的發(fā)展?？梢?，在實際教學(xué)中教師需要重點講解實數(shù)的分類問題，進(jìn)而讓學(xué)生完成對概念的辨析。為了讓學(xué)生完全掌握實數(shù)的分類問題，教師要讓學(xué)生嘗試自己對實數(shù)進(jìn)行分類。在分類的過程中，教師不要過多干預(yù)，而是讓學(xué)生按照自己的認(rèn)知進(jìn)行分類。有學(xué)生將其分為有理數(shù)與無理數(shù)，而有學(xué)生將其分為正實數(shù)、零和負(fù)實數(shù)[9]。這樣獨立思考再展示的過程，能夠讓學(xué)生在充分了解實數(shù)分類思想的基礎(chǔ)上，增強他們的獨立學(xué)習(xí)、獨立思考能力，并且全面對所學(xué)知識進(jìn)行概念辨析及系統(tǒng)的匯總與應(yīng)用。當(dāng)然，為了增強學(xué)生對實數(shù)的認(rèn)知能力，教師應(yīng)當(dāng)設(shè)置概念圖繪制的任務(wù)，幫助學(xué)生理解概念本身。

4.隨堂練習(xí)再反饋，展示文化理解

隨堂練習(xí)的及時評價反饋是讓學(xué)生明確自身對數(shù)學(xué)概念理解與掌握程度的重要方式，也是提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的重要舉措。而在“實數(shù)”的HPM課堂教學(xué)后，教師可以讓學(xué)生在課后進(jìn)一步查閱資料，根據(jù)相關(guān)無理數(shù)研究的數(shù)學(xué)史資料，完成數(shù)學(xué)敘事的小故事。小故事的撰寫，建議學(xué)生從無理數(shù)實例、研究需求、現(xiàn)實意義及應(yīng)用等多個方面進(jìn)行論述。此外，在整理資料讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)寫作的過程中，可以參考部分學(xué)者提出的“證據(jù)—推理—主張”的框架，讓學(xué)生進(jìn)一步使用學(xué)習(xí)[10]。透過小故事的寫作，一方面檢測學(xué)生對實數(shù)整體內(nèi)容的學(xué)習(xí)掌握情況，另一方面，也展示出學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的理解深度，便于教師在以后的教學(xué)中及時調(diào)整。

對HPM教學(xué)課堂的評價需要采用內(nèi)容表征、認(rèn)知需求、學(xué)習(xí)過程、學(xué)生課堂表現(xiàn)與評價標(biāo)準(zhǔn)等維度構(gòu)建的“四位一體”評價量規(guī)。其中，內(nèi)容表征是數(shù)學(xué)史料的準(zhǔn)確、連貫與合理性程度，認(rèn)知需求是數(shù)學(xué)史應(yīng)用對學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念的支持程度，學(xué)習(xí)過程是數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)活動對全體學(xué)生獲得學(xué)習(xí)機會的支持程度，學(xué)生課堂表現(xiàn)是數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)活動中學(xué)生任務(wù)完成、想法提出及促進(jìn)交流討論上的貢獻(xiàn)程度，評價標(biāo)準(zhǔn)是數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)活動中教師揭示學(xué)生思維、利用學(xué)生想法或處理學(xué)生錯誤的程度[11]。在具體的“實數(shù)”HPM教學(xué)中，教師可設(shè)置如下表所示的學(xué)生評價體系。

在構(gòu)建HPM教學(xué)模式時，教師要具有一定的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)，并根據(jù)學(xué)生學(xué)情、教材內(nèi)容而合理應(yīng)用數(shù)學(xué)史。然而，很多時候數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中卻不知道如何使用數(shù)學(xué)史，因此要加強數(shù)學(xué)教師的教學(xué)觀念轉(zhuǎn)變工作。具體而言，一方面，需要加強專業(yè)素養(yǎng)培養(yǎng)，讓教師理解初中數(shù)學(xué)知識較為抽象，融入數(shù)學(xué)史能夠切實融入數(shù)學(xué)文化，深化數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能。另一方面，要強化HPM教學(xué)模式的課例研究等職后教師培訓(xùn)工作，采取切實有效的舉措提升數(shù)學(xué)教師應(yīng)用數(shù)學(xué)史的教學(xué)能力。在研讀文獻(xiàn)學(xué)習(xí)HPM教學(xué)方法的同時，還可以開展研學(xué)活動，鼓勵教師到經(jīng)驗成熟的學(xué)校開展交流，學(xué)習(xí)其先進(jìn)的教學(xué)方法，以此推動HPM教學(xué)的實踐落地。

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