關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升思考能力

張燕婷

摘 要：在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，怎樣才能抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)？史學(xué)觀點與應(yīng)用價值是兩個重要的思考方向，結(jié)合“圓的認(rèn)識”的教學(xué)案例，對教材進(jìn)行合理的處理，從學(xué)生的切實需求出發(fā)，提升小學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力。

關(guān)鍵詞：概念教學(xué);數(shù)學(xué)本質(zhì);圓的認(rèn)識

中圖分類號：G623.5?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2022）21-0111-04

小學(xué)有許多內(nèi)容都需要從數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示上進(jìn)行梳理，僅就一些教育理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計是走不遠(yuǎn)的。細(xì)品張奠宙先生的《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)》一書，近幾年，提倡MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，簡稱MPCK，意為數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)知識）研究（圖1），教師要在教學(xué)內(nèi)容的理解上下功夫，真正關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升小學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力，才是有的放矢的決策。

蘇教版五下《數(shù)學(xué)》教材安排3頁認(rèn)識圓，先從實際生活中找到圓，再啟發(fā)思考圓與之前直線圖形的相同點和不同點。然后想辦法畫一個圓，可以是現(xiàn)成的小圓片，也可以利用圓的特質(zhì)來畫圓，或者是直接使用畫圓工具——圓規(guī)，在畫圓的實踐過程中再次深化對圓的概念的認(rèn)識。以圓規(guī)畫的圓為例，介紹了圓心、半徑、直徑。啟發(fā)學(xué)生思考：在用一個圓內(nèi)，有多少條半徑，多少條直徑？直徑的長度和半徑的長度有什么關(guān)系？在折一折、畫一畫、比一比的過程中，說說你的發(fā)現(xiàn)。

人教版六上《數(shù)學(xué)》2頁教材中，先從自然界、人類生活中找到圓的存在。再啟發(fā)學(xué)生畫圓，可以是現(xiàn)成的圓，也可以直接利用畫圓工具。用圓規(guī)畫圓時，圓心找到了，半徑也知道了，直徑就跟著定義出來了。通過折一折、畫一畫、量一量的操作過程，繼續(xù)探索圓心、半徑、直徑之間的關(guān)系。

北師大版六上《數(shù)學(xué)》2頁教材中，從套圈的游戲體驗入手，感知定點、定長，這樣套圈的站位比較公平。然后也讓學(xué)生用自己的方式畫圓。只呈現(xiàn)從定義出發(fā)的畫圓，可以是利用拇指和食指撐開，也可以是找一根固定長度的線段，最后還是出現(xiàn)了畫圓工具——圓規(guī)，并啟發(fā)學(xué)生思考，畫圓時應(yīng)注意什么？直接利用圓規(guī)畫的圓，定義圓心、半徑以及直徑，并探究半徑之間、直徑之間、半徑與直徑之間有什么關(guān)系。再尋找圓的大小與什么有關(guān)，圓的位置與什么有關(guān)，一個概念的內(nèi)涵越大越豐富，則其對應(yīng)外延反而越小。核心問題的提問直接限制了思考的發(fā)散性。

圓是生活中常見的幾何圖形。兒童早在低幼時期就對圓的認(rèn)識有了初步的經(jīng)驗。對比以上3個版本的教材，我們可以發(fā)現(xiàn)，在小學(xué)數(shù)學(xué)界，對圓的概念的定義是模糊的。它們依然停留在蒙眬的圓的直覺里，沒有界定：“什么是圓。”3個版本都是基于圓規(guī)畫的圓來定義圓心、半徑、直徑。六年級的學(xué)生已經(jīng)接近少年時期，完全有能力弄清“圓”真正的幾何學(xué)定義。張奠宙先生建議：我們不妨在使用圓規(guī)畫圓的活動之后順勢提出如下的定義：讓線段OA繞著它的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，我們把另一個端點A所畫出的曲線叫作圓，點O稱為圓心，線段OA稱為半徑。這樣的定義不過是圓規(guī)畫圓過程的數(shù)學(xué)描述，其中只用了小學(xué)里已有的“線段”“旋轉(zhuǎn)”等術(shù)語，避免使用中學(xué)里才出現(xiàn)的“集合”“軌跡”等名詞，六年級學(xué)生是完全能夠接受的。閱讀此文后，感受到張先生在概念教學(xué)中數(shù)學(xué)本質(zhì)上的重視，體會到高觀點下的初等數(shù)學(xué)，茅塞頓開，對原教學(xué)設(shè)計進(jìn)行再加工，呈現(xiàn)相關(guān)的課堂設(shè)計（圖2）。

一、 巧用素材，凸顯概念本質(zhì)

課前，提出問題，啟發(fā)思考：除了圓心、半徑、直徑，你還想知道哪些圓的知識？收集學(xué)生的問題，進(jìn)行有效的整理和組織，解答學(xué)生對圓的切實需求。

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)源于生活不應(yīng)該只停留在口號上，努力讓學(xué)生感受生活中的數(shù)學(xué)。關(guān)注學(xué)生的需求，對圓的認(rèn)識這一節(jié)概念課的執(zhí)教是有幫助的。從學(xué)生的反饋可以知道不少學(xué)生已經(jīng)超前學(xué)習(xí)，比如弦、圓周角等，這部分內(nèi)容屬于初中知識，可以適當(dāng)回應(yīng)但不展開，對半徑、直徑之間的關(guān)系以及割圓術(shù)可以展開，對圓的宏觀認(rèn)識是有幫助的，還可以滲透數(shù)學(xué)思想方法（化曲為直思想等）。

問題：套圈比賽要求站在離目標(biāo)1米遠(yuǎn)的距離，怎么站？請說明你的理由。

活動過程：

先小組討論，給學(xué)生思考時間，再實踐游戲。

邀請一個學(xué)生站，并提醒：他離目標(biāo)的距離是1米。再邀請一個學(xué)生，還能站在哪？若干學(xué)生嘗試站好位置，再套圈。

師：以這個目標(biāo)為定點，以1米為定長。如果把每一個學(xué)生看成一個點，點點成線，像這樣繞著這個定點O旋轉(zhuǎn)一周，我們把另一個點所畫出的曲線叫作圓（circle）。圓上任意一點到定點的距離都是定長。

問題：點和圓的位置關(guān)系有哪些？（圓內(nèi);圓上;圓外）

設(shè)計意圖：因為圓在生活中隨處可見，所以研究圓的時候，學(xué)習(xí)材料可以從生活中來，研究得到的結(jié)論可以反過來應(yīng)用于生活。在教學(xué)中，要合理用好生活素材，把這些素材作為引發(fā)學(xué)生探究、促進(jìn)學(xué)生思考、加深學(xué)生感悟的有效載體。以學(xué)生站位動態(tài)生成的圓的形象，可以很直觀地認(rèn)識什么是圓，也彌補了小學(xué)數(shù)學(xué)教材中對圓的概念的模糊性處理的遺憾。利用學(xué)生的套圈結(jié)果（學(xué)生站在圓周上，套圈散落在圓內(nèi)或者圓外等），可以很好地滲透教學(xué)內(nèi)容：點和圓的位置關(guān)系，溝通零維空間與二維空間之間的聯(lián)系。

二、 選用史料，彰顯數(shù)學(xué)文化

圓規(guī)的發(fā)明最早可追溯至中國夏朝，《史記·夏本紀(jì)》載大禹治水“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩”，公元前15世紀(jì)的甲骨文中，已有規(guī)、矩二字，當(dāng)時稱為“規(guī)”，即今日的圓規(guī)。早在兩千多年前，我國古代就有了關(guān)于圓的精確記載。墨子在他的著作《墨經(jīng)》中這樣描述：“圓，一中同長也?！蹦雨P(guān)于圓的定義與歐幾里得幾何學(xué)中圓的定義完全一致。我國古代的這一發(fā)現(xiàn)要比西方整整早一千多年。

設(shè)計意圖：為了豐富學(xué)生在數(shù)學(xué)史方面的知識，通過課件介紹了圓規(guī)、圓的一些歷史材料，特別指出了我國古代數(shù)學(xué)家墨子在這方面的偉大成就。讓學(xué)生從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度了解圓，有助于學(xué)生建立動態(tài)的數(shù)學(xué)觀。

三、 操作實踐，體驗圓的形成

問題：在同一個圓內(nèi)，半徑與半徑之間、直徑與直徑之間、半徑與直徑之間有什么關(guān)系？（可以從數(shù)量、長度等方面進(jìn)行比較）

設(shè)計意圖：探究同圓或等圓中，半徑與直徑之間的關(guān)系，溝通一維空間（線段）與二維空間（圓）之間的聯(lián)系。長度是可測量的，是有限空間的，可以進(jìn)行比較。通過測量，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)：在同一個圓內(nèi)，半徑、直徑的長度都是相等的;直徑的長度是半徑的兩倍。但是在數(shù)量上，同一個圓內(nèi)的半徑有無數(shù)條，直徑也有無數(shù)條。這一點，部分聰明的學(xué)生會出現(xiàn)反向遷移，覺得在同一個圓內(nèi)，半徑的數(shù)量是直徑的2倍，因為每一條直徑都對應(yīng)分解成兩條半徑。教師應(yīng)知道這里的數(shù)量是不可測量的，是數(shù)不清的，屬于無限空間的，不可以直接進(jìn)行比較。真的要比較的話，就要引入新的比較對象——基數(shù)（無限空間的測量方式）。

四、 運用比較，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)體系

問題：這樣的位置除了圓上的點，還有嗎？說說你的想法。

啟發(fā)學(xué)生脫離二維平面空間的束縛，探索三維立體空間——球。

教師直接站在目標(biāo)的正上方，調(diào)整距離到1米，然后“百套百中”。

師：這個位置可以嗎？滿足到定點距離是1米的要求嗎？

師：還有嗎？既可以懸在空中，還可以深入地下。實際生活的局限，有些位置站不到。但在數(shù)學(xué)上，這樣的位置是存在的。古人云：在空間內(nèi)，一中同長謂之球（solid sphere）。

設(shè)計意圖：溝通二維空間（圓）與三維空間（球）之間的聯(lián)系。學(xué)生從現(xiàn)實體驗的事物中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)，可以借助信息化技術(shù)，展示三維空間的球。學(xué)生眼中的圓也就不再是簡單的、冷冰冰的數(shù)學(xué)概念，而是富有情感、貼近生活、具有活力的科學(xué)認(rèn)識產(chǎn)物。它還可以穿越空間，到三維空間變成球。

師：我們之前認(rèn)識了直線圖形——長方形、正方形、三角形、平行四邊形之后，根據(jù)生活需要，我們還要會求它們的周長和面積。今天，我們認(rèn)識了圓，那么圓的周長和面積需要求嗎？哪些地方可能遇到這樣的困惑？如果需要求圓的周長和面積，怎么求？你能想到什么方法解決它？

設(shè)計意圖：溝通二維空間直線圖形（長方形、正方形、三角形等）與二維空間曲線圖形（圓）之間的聯(lián)系。激發(fā)學(xué)生對圓的周長、面積的探索欲。同類量之間的比較，更容易正向遷移，也為之后化曲為直思想、等積變形思想、極限思想等數(shù)學(xué)思想方法的使用埋下伏筆。

五、 設(shè)計作業(yè)，巧妙收獲評價

課后：（非原創(chuàng)）小明想給家中圓形餐桌換上一張新的桌布（桌布的大小與餐桌大小一樣）。小明已經(jīng)測量了下面3組數(shù)據(jù)：①桌布對折后折痕長2米;②用卷尺測量餐桌邊緣一周長是6.28米;③桌布對折兩次后折痕長1米;如果你是小明，你會根據(jù)哪一個數(shù)據(jù)給桌子換新的桌布？并說明你的理由。

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)是源于生活又高于生活的。既然學(xué)生在日常生活中隨處可見圓，那么就會產(chǎn)生很多對圓的思考，基于學(xué)生的困惑而展開的教學(xué)是有效的。課前、課中教師用問卷星小軟件發(fā)布了以上的作業(yè)，尊重學(xué)生的好奇心，再結(jié)合實際生活，挖掘生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用。

數(shù)學(xué)課程應(yīng)落實立德樹人的根本任務(wù)，致力于實現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個性發(fā)展的需要，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。這個練習(xí)是在學(xué)生學(xué)習(xí)圓的面積之后布置的，有43.08%的學(xué)生選擇了2米，有33.85%的學(xué)生選擇了都可以。仔細(xì)查看，不難看出：學(xué)生的思考受限了，他們只考慮到眼前，而沒有考慮到整體。只要是直接或者間接得出圓的半徑，這樣就可以求圓的面積。在日常教學(xué)中，不應(yīng)該讓學(xué)生盲目機(jī)械地做題，淪為做題的工具人，應(yīng)該讓他們對題目有思考，而不是就題解題。

數(shù)學(xué)是每一個孩子從求學(xué)開始都必須要學(xué)習(xí)的主科，它教給孩子的不應(yīng)只是冰冷的數(shù)學(xué)知識，更重要的是要教給孩子用數(shù)學(xué)的眼光看待問題、用數(shù)學(xué)的思想去思考問題。數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，數(shù)學(xué)概念好比是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識大廈的一磚一瓦，離開了數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)知識大廈好比是無本之木、無源之水。小學(xué)數(shù)學(xué)教材里的數(shù)學(xué)知識多數(shù)是不嚴(yán)密的，教師應(yīng)當(dāng)知道它們的邏輯結(jié)構(gòu)，包括公理化的處理方法，領(lǐng)會現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想，能夠比較準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。怎樣才能抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)？史學(xué)觀點與應(yīng)用價值是兩個重要的思考方向，循著這兩個方向，容易厘清知識的源與流。

在中國古代，就有無數(shù)的先輩對數(shù)學(xué)進(jìn)行了先導(dǎo)研究，經(jīng)過大量的理論研究和實踐探索編寫了一些著名的數(shù)學(xué)專著，為人類文明的發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)，主要是《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》《海島算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》和《緝古算經(jīng)》等五部。①九章算術(shù)，它在數(shù)學(xué)上有獨到成就，最早提到了分?jǐn)?shù)問題，也首先記錄了盈不足等問題?！斗匠獭氛?，在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運算法則。它的出現(xiàn)，標(biāo)志中國古代數(shù)學(xué)形成了一個完整的體系。②周髀算經(jīng)，它在數(shù)學(xué)上的主要成就是介紹了勾股定理。③海島算經(jīng)，是中國學(xué)者編撰的最早一部測量數(shù)學(xué)著作，為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。它被稱為實用三角法的啟蒙著作，只是未涉及三角學(xué)中的正余弦概念。書中問題，都是利用兩次或多次測量、觀望所得數(shù)據(jù)，進(jìn)而推算目標(biāo)的廣、遠(yuǎn)、高、深。④張丘建算經(jīng)，該書突出的成就是最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計算，各種等差數(shù)列問題的解決，及某些不定方程問題求解等。百雞問題是《張丘建算經(jīng)》中的一個著名數(shù)學(xué)問題。⑤緝古算經(jīng)，為中國現(xiàn)存最早解決三次方程的著作，詳細(xì)敘述建立方程的理論依據(jù)和具體程序，解題方法言簡意賅、通俗易懂。對以上幾本古代數(shù)學(xué)專著略有研究的話，對學(xué)生形成宏觀的數(shù)學(xué)觀有幫助，數(shù)學(xué)知識的推進(jìn)很多時候是因為現(xiàn)實生活的需求，古人對數(shù)學(xué)的研究更大程度上推動了當(dāng)時生產(chǎn)活動，在實際教學(xué)中，適當(dāng)?shù)刂v解一些數(shù)學(xué)趣聞，數(shù)學(xué)史話，體會數(shù)學(xué)在人類發(fā)展史上的作用。

教師只有把握了數(shù)學(xué)本質(zhì)，教學(xué)中才能做到“精中求簡”。唯有做好“精中求簡”的研究，才能真正提高教學(xué)質(zhì)量與效果，也唯有這樣，才能使得基礎(chǔ)數(shù)學(xué)易學(xué)、好懂、能懂、會用，從而真正減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，在“雙減”的同時“提質(zhì)”。

參考文獻(xiàn)：

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[2]姜榮富.返璞歸真 平易近人：讀張奠宙教授的文章有感[J].小學(xué)教學(xué)，2016（8）：8-10.

[3]陳麗萍.數(shù)學(xué)教材中的中國古典數(shù)學(xué)教學(xué)研究[D].大連：遼寧師范大學(xué)，2020.