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    隨機(jī)系統(tǒng)的Fuzzy系統(tǒng)逼近

    2022-07-01 01:37:56李洪興
    關(guān)鍵詞:概率密度論域概率分布

    李洪興

    (1. 北京師范大學(xué)珠海校區(qū) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 珠海 519085; 2. 大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024)

    1 隨機(jī)系統(tǒng)產(chǎn)生的背景

    考察圖1所示的單輸入單輸出開環(huán)系統(tǒng)S,輸入變量x在輸入論域X中取值,輸出變量y在輸出論域Y中取值.如果該系統(tǒng)S是個確定性系統(tǒng),可以采用常規(guī)方法建立系統(tǒng)S的數(shù)學(xué)模型(如用機(jī)理建模法建立微分方程模型),再用解析方法或數(shù)值方法獲得該模型的解y(x),這樣則認(rèn)為已經(jīng)掌握了該系統(tǒng).這時該系統(tǒng)S可以簡單地理解為一個函數(shù)關(guān)系,記為s,即

    圖1 單輸入單輸出開環(huán)系統(tǒng)

    s:X→Y,xy?s(x).

    (1)

    這樣,可以將該系統(tǒng)形式化地記為s=S(X,Y).

    (2)

    用隨機(jī)的觀點(diǎn)看上述問題有這樣的含義,在X中隨機(jī)抽取一點(diǎn)x丟入系統(tǒng)S的輸入通道,進(jìn)入系統(tǒng)后,在系統(tǒng)的輸出通道應(yīng)有一個輸出y(x)與之對應(yīng),但y(x)在Y中取哪一個元素?zé)o法預(yù)先知道,這意味著對該系統(tǒng)S來說存在兩個隨機(jī)變量ξ和η,它們分別定義在概率空間(X,B1,P1)和(Y,B2,P2)上,其中B1和B2分別為X與Y上的Borelσ-域,P1和P2分別為B1和B2上的概率測度.

    其中φ取自一類Borel可測函數(shù)空間.熟知,條件數(shù)學(xué)期望即可滿足此要求[1],即應(yīng)置

    (4)

    注 1.1根據(jù)(4)式,要證(3)式當(dāng)且僅當(dāng)證明:對于上述任何Borel可測函數(shù)φ,均有

    事實(shí)上,

    E[(η-φ(ξ))2]=

    E{[(η-E(η|ξ))+(E(η|ξ)-φ(ξ))]2}=

    E[(η-E(η|ξ))2]+E[(E(η|ξ)-φ(ξ))2]+

    2E[(η-E(η|ξ))(E(η|ξ)-φ(ξ))].

    顯然有E[(η-E(η|ξ))(E(η|ξ)-φ(ξ))]=0,從而

    E[(η-φ(ξ))2]=

    E[(η-E(η|ξ))2]+E[(E(η|ξ)-φ(ξ))2]≥

    ξ:Ω→R, (x,y)ξ(x,y)?ξ(x),

    η:Ω→R, (x,y)η(x,y)?η(y),

    這樣,(ξ,η)便成為聯(lián)合概率空間(Ω,F,P)上的二維隨機(jī)向量.這時,任取x∈X,當(dāng)ω∈{ω∈Ω|ξ=x}時有

    (5)

    如果掌握(ξ,η)的全部概率信息,特別能知道(ξ,η)的概率密度f(x,y),則(5)式從形式上變?yōu)榫唧w可操作的計算式

    (6)

    這里自然要求?x∈X,滿足條件

    顯然在實(shí)際計算中,(6)式應(yīng)為

    (7)

    (8)

    2 單輸入單輸出連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)的Fuzzy推理意義

    為了方便,須明確幾個概念.給定某個論域X,A={Ai|1≤i≤n}為X上的一族正規(guī)Fuzzy集,即?i∈{1,2,…,n},有?xi∈X使得μAi(xi)=1,其中xi叫做Ai的峰點(diǎn);當(dāng)然,峰點(diǎn)不必唯一.A為X的一個Fuzzy劃分,如果滿足條件

    (9)

    不難驗(yàn)證具有這樣特性的Fuzzy集滿足Kronecker性質(zhì)[4-6]

    μAi(xj)=δ

    此外,為了證明下面的主要定理,先給出3個引理.這3個引理均與含參積分有關(guān).

    引理 2.1設(shè)f(x,y)為X×Y上的二元連續(xù)函數(shù),其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實(shí)區(qū)間,對于如下的含參積分

    來說必有這樣的結(jié)論:任意取定ε>0,總存在一個與參數(shù)x無關(guān)的公共的δ>0,使得對于Y的任意劃分a2=y0

    λ=max{Δyi|i=1,2,…,n}<δ,

    其中

    Δyi?yi-yi-1,i=1,2,…,n,

    且ξi在[yi-1,yi]中任取.

    證明任意取定ε>0,令δk=1/k,k=1,2,….可證一定存在一個k使δ=δk滿足該引理的結(jié)論.若不然,則對每個k,存在xk∈X,并存在Y的劃分

    a2=y(k)0

    λk?max{Δy(k)i|i=1,2,…,nk}<δk,

    但|I(x注意{xk}為有界點(diǎn)列,必有收斂的子序列{xkj},使得

    xkj→x*∈X,j→∞.

    注意到δkj→0(j→∞),有

    這是明顯的矛盾,這便證明了該引理.

    引理 2.2設(shè)f(x,y)為X×Y上的二元連續(xù)函數(shù),其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實(shí)區(qū)間,對于如下含參積分

    λ=max{Δyi|i=1,2,…,n}<δ?

    證明首先,注意到

    因此存在I(x)的最小點(diǎn)x0∈X,使得有

    I(x)≥I(x0), ?x∈X.

    取ε=I(x0),由引理2.1知,存在δ>0,使得對于Y的任意劃分

    a2=y0

    λ<δ?

    這時有

    I(x0)-ε=0

    對一切x∈X一致地成立,故該引理的結(jié)論為真.

    根據(jù)引理2.2并采用類似引理2.1的證明方法立即可以得到下面的引理2.3.

    引理 2.3設(shè)f(x,y)為X×Y上的二元連續(xù)函數(shù),其中

    X=[a1,b1],Y=[a2,b2]

    均為有限實(shí)區(qū)間,滿足條件

    任意取定ε>0,總存在一個與參數(shù)x無關(guān)的公共的δ>0,對于Y的任意劃分

    a2=y0

    只要λ=max{Δyi|i=1,2,…,n}<δ,則對所有x∈X一致地成立

    其中Δyi?yi-yi-1,且ξi在[yi-1,yi]中任取.

    定理 2.1任意給定一個連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)

    其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實(shí)區(qū)間.如果?x∈X有

    則存在一組Fuzzy推理規(guī)則:

    IfxisAi,thenyisBi,i=1,2,…,n,

    (10)

    證明作區(qū)間Y上的劃分

    P:a2=y0

    記γ?(y1,y2,…,yn),以及

    Δyi=yi-yi-1,i=1,2,…,n,

    λ=max{Δyi|i=1,2,…,n},

    于是

    其中已經(jīng)規(guī)定

    μ

    (11)

    根據(jù)劃分P構(gòu)造n+1個Y上的Fuzzy集Bj,j=0,1,…,n,要求諸Bj組成Y的一個Fuzzy劃分且在Y上連續(xù).這相當(dāng)于把諸清晰點(diǎn)yj,j=0,1,…,n模糊化,比如Bj可取“三角波”型隸屬函數(shù)[7-9](見圖2):

    圖2 由Bj形成的一組Fuzzy 劃分

    μ

    μ

    j=1,2,…,n-1;

    μ

    再構(gòu)造Ai(i=1,2,…,n)如下

    μAi(x)?f(x,y

    (12)

    置A?{Ai|1≤i≤n},B?{Bi|1≤i≤n},視A、B為語言變量,它們分別在自身中取值,于是可形成Fuzzy推理規(guī)則組(10)式,將按CRI算法來構(gòu)造一個Fuzzy系統(tǒng),過程如文獻(xiàn)[10].

    首先由(10)式中第i條Fuzzy推理規(guī)則形成一個X×Y上的Fuzzy關(guān)系Ri?Ai×Bi,隸屬函數(shù)為

    ?(x,y)∈X×Y,

    μRi(x,y)=μAi(x)∧μBi(y).

    ?(x,y)∈X×Y,

    μ

    任取A∈F(X),通過R應(yīng)獲得Fuzzy推理結(jié)果B∈F(Y),這相當(dāng)于由Fuzzy關(guān)系R誘導(dǎo)一個從F(X)到F(Y)的Fuzzy變換,記為“°”,即

    °:F(X)→F(Y),AB=°(A)?A°R.

    隸屬函數(shù)規(guī)定為:?y∈Y,

    μ

    (13)

    對任意指定的輸入x′∈X,為能使用(13)式,需將x′Fuzzy化,可以規(guī)定單點(diǎn)Fuzzy集A′∈F(X):

    μA′(x)?χ{x′}(x).

    (14)

    代入(13)式得到Fuzzy推理結(jié)果B′∈F(Y):?y∈Y,

    μ

    (15)

    B′是個Fuzzy集,故需經(jīng)清晰化方法得到確切的量y′∈Y.由(15)式易知μB′(y)在Y上分段連續(xù),故滿足條件:

    μ

    μAi0(x′)∧μBi0(y),

    由此可知,μBi0(y)=0,a.e.,這與諸Bj為連續(xù)的正規(guī)Fuzzy集的規(guī)定相沖突.這樣一來,可令

    根據(jù)引理2.2有

    ?δ3>0,λ<δ3??x∈X,

    注意(16)式的Riemann和并注意Bi滿足Kronecker性質(zhì),有

    (17)

    其中已置

    μ

    從(17)式及引理2.3知?δ4>0,使得δ4<δ3,當(dāng)λ<δ4時,對所有的x∈X一致地有

    這樣一來可取δ=min{δ2,δ4}并注意(11)式,當(dāng)λ<δ時,對所有的x∈X一致地有

    注 2.1在定理的證明中,構(gòu)造Fuzzy集Ai采用了(12)式.其實(shí)亦可采用下式

    μAi(x)?f(x,yi)/M,i=1,2,…,n,

    (18)

    其中

    M?max{f(x,y)|(x,y)∈X×Y}.

    這時同樣可以證明該定理,證明細(xì)節(jié)從略.不過定理3.1的證明使用了這種證法.

    如果取r2=0.5,a1=0,a2=0,σ1=0.5,σ2=1.5,則上式為

    根據(jù)3σ原則,X與Y可近似地取為有限區(qū)間,如X按6σ1取有限區(qū)間[-3,3],Y按4σ2取有限區(qū)間[-6,6],根據(jù)定理2.1有

    其圖像見圖3.

    圖3 連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)的輸出曲線圖像

    圖4 Fuzzy集Bj的隸屬函數(shù)

    諸μAi(x)的表達(dá)式如(12)式

    μ

    其圖像見圖5.

    圖5 Fuzzy集Ai的隸屬函數(shù)

    來計算

    圖6 Fuzzy系統(tǒng)的輸出曲線

    圖7 h=1時與的比較

    y0=-6,y1=-5.5,y2=-5, …,y24=6.

    圖8 h=0.5時與的比較

    圖9 h=0.1時與的比較

    3 雙輸入單輸出連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)的Fuzzy 推理表示

    考慮圖10所示的雙輸入單輸出開環(huán)系統(tǒng)S,輸入變量x與y分別在輸入論域X和Y中取值,輸出變量z在輸出論域Z中取值.如果該系統(tǒng)S是個確定性系統(tǒng),可用機(jī)理建模法建立系統(tǒng)S的數(shù)學(xué)模型(如偏微分方程模型),再用某種方法獲得解z(x,y)后,則認(rèn)為掌握了該系統(tǒng).這時該系統(tǒng)S可以理解為一個二元函數(shù)關(guān)系,仍記為s,即

    圖10 雙輸入單輸出開環(huán)系統(tǒng)

    s:X×Y→Z,

    (x,y)z?s(x,y).

    (19)

    于是該系統(tǒng)可記為s=S(X×Y,Z).

    當(dāng)S是一個不確定性系統(tǒng)時,雖然很難得到“準(zhǔn)確的”函數(shù)關(guān)系(19),卻常??梢栽O(shè)法獲得一個近似的函數(shù)關(guān)系

    (x,y)

    (20)

    設(shè)X、Y、Z均為實(shí)數(shù)空間R上的可測集,ξ、η、ζ分別為定義在概率空間(X,B1,P1)、(Y,B2,P2)、(Z,B3,P3)上的隨機(jī)變量,其中B1、B2、B3分別為X、Y、Z上的Borelσ-域,P1、P2、P3分別為B1、B2、B3上的概率測度,取Ω?X×Y×Z以及

    F?B1×B2×B3,P?P1×P2×P3,

    其中F為B1、B2、B3的卡氏積生成的Borelσ-域,P為乘積概率測度.這樣便得到聯(lián)合概率空間(Ω,F,P).不換記號,重新把ξ、η、ζ定義為Ω上的隨機(jī)變量:

    ξ:Ω→R,

    (u,v,w)ξ(u,v,w)?ξ(u),

    η:Ω→R,

    (u,v,w)η(u,v,w)?η(v),

    ζ:Ω→R,

    (u,v,w)ζ(u,v,w)?ζ(w).

    這樣(ξ,η,ζ)便成為聯(lián)合概率空間(Ω,F,P)上的三維隨機(jī)向量.任取(x,y)∈X×Y,當(dāng)

    ω∈{ω∈Ω|ξ=x,η=y}

    時,可令

    (21)

    假如能知道(ξ,η,ζ)的連續(xù)概率密度f(x,y,z),那么條件數(shù)學(xué)期望(21)式具體化為

    (22)

    這里要求?(x,y)∈X×Y,滿足

    (23)

    為了下面證明主要定理的需要仍要先給出兩個引理.

    引理 3.1設(shè)f(x,y,z)為X×Y×Z上的三元連續(xù)函數(shù),其中,X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a3,b3]均為有限實(shí)區(qū)間,對于含雙參積分

    來說必有這樣的結(jié)論:任意取定ε>0,總存在一個與參數(shù)(x,y)無關(guān)的公共的δ>0,對于Z的任意劃分

    a3=z0

    只要λ=max{Δzi|i=1,2,…,n}<δ,那么I(x,y)的Riemann和必滿足條件:

    對所有的(x,y)∈X×Y一致地成立,其中,Δzi?zi-zi-1(i=1,2,…,n)且ξi在[zi-1,zi]中任取.

    證明任意取定ε>0,令δk=1/k,k=1,2,…,可證一定存在一個k使δ=δk滿足該引理的結(jié)論.事實(shí)上,倘若不然,則對每個k,存在(xk,yk)∈X×Y,并存在Z的劃分

    a3=z(k)0

    |I(xk,y

    注意{(xk,yk)}中{xk}為有界點(diǎn)列,必有收斂的子序列{xkj},使得xkj→x*∈X(j→∞).另外{ykj}也為有界點(diǎn)列,故也有收斂的子序列{ykjp},使得

    ykjp→y*∈Y,p→∞.

    注意到δkjp→0(p→∞),有

    0<ε≤

    這是明顯的矛盾,從而該引理的結(jié)論正確.證畢.

    引理 3.2設(shè)f(x,y,z)為X×Y×Z上的三元連續(xù)函數(shù),其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a3,b3]均為有限實(shí)區(qū)間,對于含雙參積分

    來說,如果?(x,y)∈X×Y有I(x,y)>0,則存在δ>0,使得對于Z的任意劃分:

    a3=z0

    λ=max{Δzi|i=1,2,…,n}<δ?

    其中Δzi?zi-zi-1(i=1,2,…,n).

    證明思路如同引理3.1,從略.此外,還有類似引理2.3的下述引理.

    引理 3.3設(shè)f(x,y,z)為X×Y×Z上的三元連續(xù)函數(shù),其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a3,b3]均為有限實(shí)區(qū)間,滿足條件

    任意取定ε>0,總存在一個與參數(shù)(x,y)無關(guān)的公共的δ>0,對于Z的任意劃分

    a3=z0

    只要λ=max{Δzi|i=1,2,…,n}<δ,便對所有(x,y)∈X×Y一致地成立

    其中,Δzi=zi-zi-1,i=1,2,…,n,并且ξi在閉區(qū)間[zi-1,zi]中任取.

    則存在一組Fuzzy推理規(guī)則

    If(x,y)isDithenzisCi,

    i=1,2,…,n,

    (25)

    證明作區(qū)間Z的一個劃分:

    a3=z0

    記Δzi?zi-zi-1(i=1,2,…,n),以及

    λ=max{Δzi|i=1,2,…,n},

    由此得到兩個Riemann和:

    由該定理?xiàng)l件及引理3.2,?δ1>0,當(dāng)λ<δ1時有

    于是

    其中已經(jīng)定義

    μDi(x,y)?f(x,y,zi)/M,

    (26)

    這里

    M?max{f(x,y,z)|(x,y,z)∈X×Y×Z},

    μ

    任意指定一個逼近精度ε>0,因f(x,y,z)連續(xù),故由引理3.3,?δ2>0,使得δ2<δ1,當(dāng)λ<δ2時,對所有的(x,y)∈X×Y一致地有

    利用分點(diǎn)zj(j=0,1,…,n)構(gòu)造n+1個Z上的Fuzzy集Cj(j=0,1,…,n),使得它們在Z上連續(xù)且組成Fuzzy劃分,比如仍可用“三角形”模糊化方法(參考圖2).置

    D={Di|1≤i≤n},

    C={Ci|1≤i≤n},

    視D、C為語言變量,可形成Fuzzy推理規(guī)則組

    If(x,y)isDithenzisCi,

    i=1,2,…,n.

    (27)

    μRi(x,y,z)=μDi(x,y)∧μCi(z).

    μ

    任取D∈F(X×Y),通過R應(yīng)獲得Fuzzy推理結(jié)果C∈F(Z),這里C?D°R,即

    μ

    對任何(x′,y′)∈X×Y,先作 Fuzzy化

    μD′(x,y)?χ{(x′,y′)}(x,y),

    再代入(28)式得推理結(jié)果C′∈F(Z),

    μC′(z)=μR(x′,y′,z)=

    易知μC′(z)>0.令

    (29)

    ?(x,y)∈X×Y

    及引理3.2,?δ3>0,當(dāng)λ<δ3時有

    ?(x,y)∈X×Y.

    注意(29)式的Riemann和,并注意Ci滿足Kronecker性質(zhì),有

    μ

    再由引理3.3,?δ4>0,使得δ4<δ3,當(dāng)λ<δ4時,對所有的(x,y)∈X×Y一致地有

    注 3.1在定理的證明中,構(gòu)造Fuzzy集Di采用了(26)式.其實(shí)亦可采用下式

    μ

    (30)

    按(30)式同樣可以證明該定理,證明細(xì)節(jié)從略.不過定理2.1的證明使用了這種證法.

    例 3.1給定連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)

    X=Y=Z=[0,2π],

    根據(jù)定理3.1有下式(其圖像見圖11):

    圖11 連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)的輸出曲面

    z0=0,z1=0.2π,z2=0.4π, …,

    z9=1.8π,z10=2π,

    然后作Fuzzy集Ci(i=0,1,…,10),見圖12.

    圖12 Fuzzy集Ci的隸屬函數(shù)曲線

    諸Di(x,y)的表達(dá)式(26)式

    μ

    其中M=1/4π3,Di(x,y)的圖像見圖13.來計算

    圖13 Fuzzy集Di的隸屬函數(shù)曲面

    圖14 Fuzzy系統(tǒng)的輸出曲面

    圖15 h=0.2π時的誤差曲面

    圖16 h=0.1π時的誤差曲面

    圖17 h=0.01π時的誤差曲面

    4 多輸入多輸出連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)的Fuzzy 推理表示

    現(xiàn)在考慮p個輸入q個輸出的開環(huán)系統(tǒng)S,輸入變量xi在輸入論域Xi中取值i=1,2,…,p,輸出變量yj在輸出論域Yj中取值j=1,2,…,q.如果該系統(tǒng)S是個確定性系統(tǒng),可用機(jī)理建模法建立系統(tǒng)S的數(shù)學(xué)模型,再用某種方法獲得該模型的一組解

    yj=yj(x1,x2,…,xp),j=1,2,…,q

    s

    (x1,x2,…,xp)yj?sj(x1,x2,…,xp),

    (31)

    再記s?(s1,…,sq),則(31)式可以更緊湊地寫為向量值函數(shù)形式

    (x1,x2,…,xp)(y1,y2,…,yq)=

    s(x1,x2,…,xp)=

    (s1(x1,x2,…,xp),…,sq(x1,x2,…,xp)).

    (32)

    于是該系統(tǒng)可記為

    當(dāng)S是一個不確定性系統(tǒng)時,雖然很難得到“準(zhǔn)確的”函數(shù)關(guān)系組(31),卻常??梢栽O(shè)法獲得一個近似的函數(shù)關(guān)系組

    (x1,x2,…,xp)y

    (33)

    (x1,x2,…,xp)(y1,y2,…,yq)=

    (34)

    仍考慮用條件數(shù)學(xué)期望來實(shí)現(xiàn)上述逼近的思想.

    Ω

    P

    這樣得到q個聯(lián)合概率空間

    (Ωj,Fj,Pj),j=1,2,…,q.

    不換記號,重新把諸ξi,i=1,2,…,p定義為每個Ωj,j=1,2,…,q上的隨機(jī)變量:

    ξi:Ωj→R,

    (u1,u2,…,up,vj)

    ξi(u1,u2,…,up,vj)?ξi(ui),

    而把ηj只重新定義在與其具有同樣指標(biāo)的Ωj上:

    ηj:Ωj→R,

    (u1,u2,…,up,vj)

    ηj(u1,u2,…,up,vj)?ηj(vj),

    這樣得到在(Ωj,Fj,Pj)上有定義的p+1維隨機(jī)向量(ξ1,ξ2,…,ξp,ηj),j=1,2,…,q.任取

    (x1,x2,…,x

    當(dāng)ωj∈{ωj∈Ωj|ξi=xi,i=1,2,…,p}時,可令

    E(ηj|ξ1=x1,x2,…,ξp=xp).

    (35)

    如果掌握了(ξ1,ξ2,…,ξp,ηj)的連續(xù)概率密度fj(ξ1,ξ2,…,ξp,ηj),j=1,2,…,q,那么條件數(shù)學(xué)期望(35)式具體化為

    j=1,2,…,q.

    j=1,2,…,q.

    (37)

    如果記

    F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq)?

    (f1(x1,x2,…,xp,y1),…,fq(x1,x2,…,xp,yq)),

    則可以把(37)式緊湊地寫為向量形式

    (39)

    注 4.1如果取

    則得到統(tǒng)一的聯(lián)合概率空間(Ω,F,P).不換記號,重新把諸ξi,i=1,2,…,p,ηj,j=1,2,…,q定義為Ω上的隨機(jī)變量

    ξi:Ω→R,

    (u1,u2,…,up,v1,v2,…,vq)

    ξi(u1,u2,…,up,v1,v2,…,vq)?ξi(ui),

    ηj:Ω→R,

    (u1,u2,…,up,v1,v2,…,vq)

    ηj(u1,u2,…,up,v1,v2,…,vq)?ηj(vj).

    獲得在(Ω,F,P)上有定義的p+q維隨機(jī)向量

    (ξ1,ξ2,…,ξp,η1,η2,…,ηq).

    當(dāng)知道(ξ1,ξ2,…,ξp,η1,η2,…,ηq)所服從的連續(xù)概率密度f(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq)時,(39)式更應(yīng)記為

    f1(x1,x2,…,xp,y1)=

    f2(x1,x2,…,xp,y2)=

    …,

    fq(x1,x2,…,xp,yq)=

    即fj(x1,x2,…,xp,yj),j=1,2,…,q不過是

    f(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq)

    的邊緣概率密度.于是(40)式很容易變?yōu)?38)式,但反之不然.好在知道諸邊緣概率密度fj(x1,x2,…,xp,yj),j=1,2,…,q之后對于構(gòu)造連續(xù)隨機(jī)逼近系統(tǒng)已足夠了.

    為了下面證明主要定理的需要仍要先給出兩個類似引理3.1和引理3.2那樣的引理.由于基本表述形式類似,從略.

    定理 4.1任意給定一個p輸入q輸出連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)(38),其中

    Xi=[ai,bi],i=1,2,…,p,

    Yj=[cj,dj],j=1,2,…,q

    均為有限實(shí)區(qū)間.如果滿足條件:

    ?(x1,x2,…,x

    則存在q組Fuzzy推理規(guī)則:

    If(x1,x2,…,xp)isAkjj,thenyjisBkjj,

    kj=1,2,…,nj,j=1,2,…,q,

    (41)

    其中,

    A

    kj=1,2,…,nj,j=1,2,…,q,

    證明記Aj?{Akjj|1≤kj≤nj}以及

    Bj?{Bkjj|1≤kj≤nj},j=1,2,…,q,

    那么上述q組Fuzzy推理規(guī)則可簡寫為

    Aj→Bj,j=1,2,…,q.

    按照定理3.1的方法由Aj→Bj,j=1,2,…,q可以構(gòu)造q個子Fuzzy系統(tǒng)

    j=1,2,…,q.

    它們分別能逼近q個子隨機(jī)系統(tǒng)

    j=1,2,…,q

    (42)

    Aj→Bj,j=1,2,…,q,

    (43)

    5 離散型隨機(jī)系統(tǒng)的Fuzzy推理表示

    先考慮單輸入單輸出不確定性系統(tǒng)s=S(X,Y).假定已經(jīng)知道有關(guān)系統(tǒng)S的一些概率信息,自然應(yīng)從隨機(jī)的角度去考察該系統(tǒng).設(shè)X、Y均為實(shí)數(shù)空間R上的可測集,輸入隨機(jī)變量ξ和輸出隨機(jī)變量η分別定義在概率空間(X,B1,P1)和(Y,B2,P2)上,其中B1和B2分別為X與Y上的Borelσ-域,P1和P2分別為B1和B2上的概率測度,如同第一節(jié)那樣構(gòu)造聯(lián)合概率空間(Ω,F,P),于是(ξ,η)便為(Ω,F,P)上的隨機(jī)向量.無妨認(rèn)為掌握的概率信息就是該系統(tǒng)的離散型概率分布

    {P(xi,yj)|1≤i≤n,1≤j≤m},

    其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2],以及

    a1≤x1

    y0?a2

    它視為系統(tǒng)S在得到輸入xi后的響應(yīng).這樣,若記

    注 5.1按通常的習(xí)慣,總把P(xi,yj)記為pij,即pij?P(xi,yj),這樣表達(dá)起來簡便,故下面采用簡便表達(dá)法.

    定理 5.1任意給定一個離散隨機(jī)系統(tǒng)

    其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實(shí)區(qū)間,一定存在一組Fuzzy推理規(guī)則:

    Δyj?yj-yj-1,j=1,2,…,m.

    證明首先考慮如何構(gòu)造Fuzzy推理規(guī)則組(45)式.Fuzzy集Bj∈F(Y)最易獲得,事實(shí)上只需按圖2 做成“三角波”型隸屬函數(shù),只不過將下標(biāo)n改為m即可.于是就得到語言變量

    B={Bj|1≤j≤m}.

    再來構(gòu)造Fuzzy集Aj∈F(X).先按圖2那樣構(gòu)造充當(dāng)基函數(shù)用的一組Fuzzy集αi∈F(X),i=1,2,…,n:

    μ

    μ

    i=2,3,…,n-1;

    μ

    用上述Fuzzy集αi(i=1,2,…,n)的加權(quán)平均來構(gòu)造Fuzzy集Aj,

    μ

    j=1,2,…,m,

    (46)

    其中權(quán)向量組{(a1j,a2j,…,anj)|1≤j≤m}待定.這樣形式地得到語言變量

    A={Aj|1≤j≤m},

    于是便形成了Fuzzy推理規(guī)則組(45)式:

    IfxisAj,thenyisBj,j=1,2,…,m.

    (47)

    因?yàn)棣藺j(xi)=aij,所以

    (48)

    比較(44)式與(48)式,可取

    aij=P(xi,yj)M/Δyj,

    ε?max

    則最終得到

    此外,任意取定精度ε>0,由(48)式知,?δ>0,當(dāng)λ<δ時,對所有xi,i=1,2,…,n有

    再考慮雙輸入單輸出不確定性系統(tǒng)s=S(X×Y,Z).設(shè)X、Y、Z均為實(shí)數(shù)空間R上的可測集,輸入隨機(jī)變量ξ、η和輸出隨機(jī)變量ζ分別定義在概率空間(X,B1,P1)、(Y,B2,P2)、(Z,B3,P3)上,其中B1、B2和B3分別為X、Y與Z上的Borelσ-域,P1、P2和P3分別為B1、B2和B3上的概率測度,可構(gòu)造聯(lián)合概率空間(Ω,F,P),于是(ξ,η,ζ)便為(Ω,F,P)上的隨機(jī)向量.已知離散型概率分布

    {P(xi,yj,zk)|1≤i≤n,1≤j≤m,1≤k≤p},

    其中,

    X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a2,b2],

    以及

    a1≤x1

    a2≤y1

    z0?a3

    (49)

    (50)

    定理 5.2任意給定一個離散隨機(jī)系統(tǒng)(50),其中,X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a2,b2]均為有限實(shí)區(qū)間,一定存在一組Fuzzy推理規(guī)則:

    If(x,y)isDk,thenzisCk,

    k=1,2,…,p,

    (51)

    ?i∈{1,2,…,n}, ?j∈{1,2,…,m},

    證明類似定理5.1的情況,從略.

    Ω

    P

    按照連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)的處理方法可構(gòu)造q個聯(lián)合概率空間

    (Ωj,Fj,Pj),j=1,2,…,q,

    使得諸ξi,i=1,2,…,p為在每個Ωj上有定義的隨機(jī)變量,ηj為只在與其具有同樣指標(biāo)的Ωj上有定義的隨機(jī)變量(j=1,2,…,q).這樣便得到在(Ωj,Fj,Pj),j=1,2,…,q上有定義的p+1維隨機(jī)向量(ξ1,ξ2<…,ξp,ηj),j=1,2,…,q.進(jìn)一步假設(shè)

    Xi=[ai,bi],i=1,2,…,p,

    Yj=[cj,dj],j=1,2,…,q

    均為有限實(shí)數(shù)區(qū)間.已知q組離散型概率分布

    {Pj(x1k1,x2k2,…,xpkp,yjlj)|1≤k1≤n1,…,

    1≤kp≤np;1≤lj≤mj},j=1,2,…,q,

    其中

    ai≤xi1

    cj≤yj1

    假定?(k1,k2,…,kp),有

    E(ηj|ξi=xiki,i=1,2,…,n)=

    (52)

    將它視為系統(tǒng)S在得到輸入(x1k1,x2k2,…,xpkp)后關(guān)于輸出變量yj的響應(yīng).再置

    {Pj(x1k1,x2k2,…,xpkp,yjlj)}(1≤ki≤ni,i=1,2,…,p;1≤lj≤mj),

    j=1,2,…,q).

    (54)

    定理 5.3任意給定一個p輸入q輸出離散隨機(jī)系統(tǒng)(54),其中

    Xi=[ai,bi],i=1,2,…,p,

    Yj=[cj,dj],j=1,2,…,q

    均為有限實(shí)區(qū)間,一定存在q組Fuzzy推理規(guī)則

    If(x1,x2,…,xp)isAkjj,thenyjisBkjj,

    kj=1,2,…,mj,j=1,2,…,q,

    其中,

    A

    kj=1,2,…,mj,j=1,2,…,q,

    {yjlj|1≤lj≤mj},j=1,2,…,q

    的分割間隔越小,逼近的精度越高.

    證明類似定理5.1及定理4.1的情況,從略.

    注 5.2如果取

    則得到統(tǒng)一的聯(lián)合概率空間(Ω,F,P).不換記號,重新把諸ξi(i=1,2,…,p)和ηj(j=1,2,…,q)定義為Ω上的隨機(jī)變量便得到在(Ω,F,P)上有定義的p+q維隨機(jī)向量

    (ξ1,ξ2,…,ξp,η1,η2,…,ηq).

    當(dāng)知道關(guān)于該不確定性系統(tǒng)S的隨機(jī)向量(ξ1,ξ2,…,ξp,η1,η2,…,ηq)所服從的離散概率分布

    {P(x1k1,x2k2,…,xpkp,y1l1,…,xqlq)|1≤k1≤n1,

    1≤k2≤n2,…,1≤kp≤np;1≤l1≤m1,

    1≤l2≤m2,…,1≤lq≤mq}

    時,(54)式更應(yīng)記為

    {P(x1k1,x2k2,…,xpkp,y1l1,y2l2,…,yqlq)}).

    (55)

    P1(x1k1,x2k2,…,xpkp,y1l1)=

    P2(x1k1,x2k2,…,xpkp,y2l2)=

    Pq(x1k1,x2k2,…,xpkp,yqlq)=

    即{Pj(x1k1,x2k2,…,xpkp,yjlj)},j=1,2,…,q不過是{P(x1k1,x2k2,…,xpkp,y1l1,y2l2,…,yqlq)}的邊緣概率分布.于是于是(55)式很容易變?yōu)?54)式.

    6 Fuzzy系統(tǒng)與隨機(jī)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中的還原性

    以單輸入單輸出開環(huán)系統(tǒng)s=S(X,Y)為例來討論Fuzzy系統(tǒng)與隨機(jī)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中的還原性問題,暫限于連續(xù)系統(tǒng),至于離散系統(tǒng)的討論是其特例,處理起來并不困難,這里X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實(shí)區(qū)間.

    先假定已知一個Fuzzy系統(tǒng)

    其中A={Ai|1≤i≤n}和B={Bi|1≤i≤n}分別為X與Y上的Fuzzy劃分,視A與B為語言變量便可構(gòu)成一組Fuzzy推理規(guī)則

    IfxisAi,thenyisBi,i=1,2,…,n.

    為了方便將這樣的Fuzzy推理規(guī)則組簡記為

    A→B,

    (56)

    其中θ為Fuzzy蘊(yùn)涵算子,滿足條件

    θ(a,1)=a,θ(a,0)=0, ?a,b∈[0,1].(58)

    再根據(jù)文獻(xiàn)[1],存在一個聯(lián)合概率空間(Ω,F,P),其中

    Ω=X×Y, F=F1×F2,P=P1×P2,

    隨機(jī)變量ξ與η分別定義在概率空間(X,F1,P1) 和 (Y,F2,P2)中;經(jīng)過將ξ與η重新定義在概率空間(Ω,F,P)后得到隨機(jī)向量(ξ,η),它服從由下列概率密度確定的概率分布

    H(2,n,θ,∨)=

    (59)

    根據(jù)(8)式又得到一個隨機(jī)系統(tǒng)

    它的輸入輸出函數(shù)關(guān)系為

    x1

    可構(gòu)造Fuzzy推理規(guī)則組

    M?max{f(x,y)|(x,y)∈X×Y}.

    注意到

    M=max{f(x,y)|(x,y)∈X×Y}=

    即MH(2,n,θ,∨)=1.易證?i∈{1,2,…,n},有

    μ

    自然得到B′=B.可見恢復(fù)了原本的Fuzzy推理規(guī)則組A→B.這是一方面的還原性.

    (60)

    其中,λ=max{Δyj|j=1,2,…,n},Ai采用(12)式或(18)式構(gòu)造,而Bi可取三角波形隸屬函數(shù)(見圖2).這時Fuzzy系統(tǒng)的輸入輸出函數(shù)一般為(注意比(16)式廣泛)

    這里Fuzzy蘊(yùn)涵算子θ仍要滿足條件(58)式.根據(jù)文獻(xiàn)[1],得到一個隨機(jī)系統(tǒng)

    這里H(2,n,θ,∨)的意義同前.以下分兩種情況考察還原性.

    情況1按(18)式規(guī)定

    Ai(x)?f(x,yi)/M,

    這時在Y的分點(diǎn)yj(j=1,2,…,n)上有

    f′(x,y

    α(n)f(x,yj),

    (61)

    對任意取定的劃分,n固定,故α(n)為常數(shù).(61)式說明在每個節(jié)點(diǎn)yj(j=1,2,…,n),f′(x,yj)除了一個常數(shù)因子α(n)外還原為f(x,yj).由于λ可任意減小,從而認(rèn)為f′(x,y)除了一個常數(shù)因子外近似地還原為f(x,y).

    情況 2按(12)式規(guī)定

    μ

    這時要求Y的分點(diǎn)yj(j=1,2,…,n)構(gòu)成Y的等距劃分,即Δyj=h,j=1,2,…,n.于是在Y的分點(diǎn)yj(j=1,2,…,n)上有

    f′(x,y

    β(h)fη|ξ=x(yj|x),

    (62)

    f

    為條件概率密度.根據(jù)上式,認(rèn)為f′(x,y)除了一個常數(shù)因子外近似地還原為條件概率密度

    fη|ξ=x(y|x).

    注 6.1從常數(shù)β(h)?h/H(2,n,θ,∨)的定義看,兩個參數(shù)h與n是相關(guān)的.因此β(h)也可寫成β(n),而不必寫成β(h,n).

    注 6.2注意f′(x,y)是個連續(xù)函數(shù),不難從(61)式看出,f′(x,y)相當(dāng)于在邊緣Y中有定義的結(jié)點(diǎn)組

    {(yj,α(n)f(x,yj))|j=1,2,…,n}

    上的插值函數(shù).在節(jié)點(diǎn)yj處,f′(x,y)嚴(yán)格地等于結(jié)點(diǎn)函數(shù)值α(n)f(x,yj).那么在非節(jié)點(diǎn)y處f′(x,y)對α(n)f(x,y)逼近的精度如何?這是個有趣的問題.另外,對于(62)式有類似的理解.

    注 6.3上述情況2只還原到條件概率密度fη|ξ=x(y|x),似乎不令人滿意.其實(shí)Fuzzy系統(tǒng)與隨機(jī)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換重在逼近程度優(yōu)劣,如果完全還原或近似還原固然結(jié)果漂亮.不過還原到條件概率密度fη|ξ=x(y|x),也說明透過fη|ξ=x(y|x)揭示了f′(x,y)與f(x,y)之間的緊密聯(lián)系.

    7 具有一維隨機(jī)變量的不確定性系統(tǒng)及其表示

    從本文及文獻(xiàn)[1]的內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象:所涉及的概率密度至少是二維的,即至少涉及二維隨機(jī)向量(ξ,η),其中ξ本質(zhì)上定義在輸入論域X,而η本質(zhì)上定在輸出論域Y.這并不奇怪,因?yàn)橐粋€不確定系統(tǒng)至少是一個單輸入單輸出系統(tǒng).

    然而在學(xué)習(xí)概率論時見過很多的隨機(jī)試驗(yàn)只涉及一個隨機(jī)變量ξ,如其有密度函數(shù),則是個一維密度函數(shù)f(x).

    自然會問:什么樣的不確定性系統(tǒng)只涉及一個隨機(jī)變量,或者具有一維概率密度?可以猜想,這樣的不確定性系統(tǒng)一定具有某種特殊性或具有某種意義的平凡性,而這樣的系統(tǒng)會有很多.所以只能就幾個典型情況來考察.

    典型情況 1(純粹確定性系統(tǒng)) 正如普通集可視為特殊的Fuzzy 集一樣,確定性系統(tǒng)亦可看作特殊的不確定性系統(tǒng).考慮一個特殊的開環(huán)系統(tǒng)s=S(X,Y),其中X=[a,b],Y={y0}為一個單點(diǎn)集.已經(jīng)知道符號s具有雙重含義,既抽象地代表一個系統(tǒng),又具體地表示該系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系,即

    s:X→Y,xy=s(x)?y0.

    a=x1

    將諸分點(diǎn)Fuzzy化,可按圖2構(gòu)造三角形Fuzzy集Ai∈F(X)(i=1,2,…,n)(注意要將圖2中的n+1個下標(biāo)0,1,…,n改為n個下標(biāo)1,2,…,n).從而得到X上的Fuzzy劃分

    A={Ai|i=1,2,…,n}.

    再作Y上的Fuzzy集

    Bi?Y={y0},i=1,2,…,n,

    這里IY表示集合Y的示性函數(shù)(也叫特征函數(shù),為了避免與概率論中隨機(jī)變量的特征函數(shù)相混淆,寧可稱其為示性函數(shù)).又得到

    B={Bi|i=1,2,…,n}.

    于是獲得Fuzzy推理規(guī)則組:A→B.這樣便得到了一個Fuzzy系統(tǒng)

    為了簡單,把Fuzzy蘊(yùn)涵算子θ取為常用的∧,有

    p(x,y)=p(x,y0)=

    這時該Fuzzy系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系應(yīng)該為

    f(x)?f(x,y0)=

    (63)

    這樣應(yīng)該存在概率空間(X,F,P)上的隨機(jī)變量

    ξ:X→R,xξ(x)

    服從概率密度為f(x)的概率分布,其中F為X上的 Borelσ-域.注意到,若令

    Ω?X×{y0},

    則F可視為Ω上的Borelσ-域,ξ視為定義在Ω上的隨機(jī)變量,即不換記號重新定義

    ξ:Ω→R,

    ω=(x,y0)ξ(ω)=ξ(x,y0)?ξ(x),

    只是形式上的表達(dá),因?yàn)閅為單點(diǎn)集,其測度為零,故?x∈X,

    從而

    無意義.不過這并不難處理.事實(shí)上,任取ε>0,易知

    p(x,y0)>0, ?x∈X,

    由此可知,?x∈X,有

    p(x,y0)ε>0;

    于是?x∈X,又有

    例 7.1考慮一個照明系統(tǒng),為了簡單,假定該系統(tǒng)只有一盞燈.通常在傍晚時將燈打開,假定開燈時刻介于a與b之間.令X=[a,b],視它為輸入論域,那么取x∈X,則表示在時刻x把燈的開關(guān)閉合,這時燈亮,可記為1,視1為輸出,自然取輸出論域?yàn)閅={y0}={1}.當(dāng)然燈用畢后要關(guān)上,而關(guān)閉動作不計其內(nèi).顯然輸入輸出關(guān)系為

    s:X→Y,

    xy=s(x)?y0=1.

    這當(dāng)然是個純粹的確定性系統(tǒng).有理由要問:既然這個系統(tǒng)是確定性系統(tǒng),那么為何出來個隨機(jī)變量ξ以及它服從的概率密度為f(x)的概率分布?這也不難解釋.如果把注意力集中在“究竟在X中的哪個時刻x把燈打開”,這又是個隨機(jī)性問題,而這與確定性的輸入輸出關(guān)系

    s:X→Y,xy=s(x)?y0=1

    并不矛盾.知道“傍晚在何時將燈打開”依賴許多因素,比如地區(qū)不同,開燈的時刻便不同.通過隨機(jī)實(shí)驗(yàn),可以大致知道在若干時刻附近,比如5點(diǎn)左右,6點(diǎn)左右,7點(diǎn)左右等有限種情況.一般化,可認(rèn)為在x1左右,x2左右,…,xn左右開燈.記a=x1,b=xn,將諸xi(i=1,2,…,n)Fuzzy化,得到諸Fuzzy集

    Ai∈F(X),i=1,2,…,n.

    再作Y上的Fuzzy集

    Bi?Y={y0},

    μBi(y)=χY(y)=χ{y0}(y),i=1,2,…,n,

    又得到B={Bi|i=1,2,…,n}.于是獲得Fuzzy推理規(guī)則組:A→B.這樣便得到了一個Fuzzy系統(tǒng)

    這便回到了獲得(63)式的渠道.往下就不說自明了.

    典型情況 2(純粹隨機(jī)系統(tǒng)) 考慮另外一個特殊的開環(huán)系統(tǒng)s=S(X,Y),其中X?{x0}為一個單點(diǎn)集,Y=[a,b].它的輸入輸出關(guān)系應(yīng)該為

    s:X→Y,x0y0=s(x0).

    然而,由于該系統(tǒng)的不確定性,x0對應(yīng)Y中哪一個y0無法預(yù)先確知.所以s=S(X,Y)是一個純粹的隨機(jī)系統(tǒng).當(dāng)輸入x0后,經(jīng)過統(tǒng)計處理有這樣幾種情況:輸出在y1左右,輸出在y2左右,…,輸出在yn左右.無妨假定

    a=y0

    將y0,y1,…,ynFuzzy化得到Fuzzy集

    Bi∈F(Y),i=0,1,…,n,

    且Bi為Y的Fuzzy劃分.再令

    Ai?X={x0},

    μAi(y)=χX(x)=χ{x0}(x),i=1,2,…,n,

    并記A={Ai|i=1,2,…,n},以及B={Bi|i=1,2,…,n}(注意這里不用B0),得到Fuzzy推理規(guī)則組A→B,于是獲得Fuzzy系統(tǒng)

    按CRI方法有

    p(x,y)=p(x0,y)=

    因?yàn)?y∈Y有p(x0,y)>0,所以

    g(y)?g(x0,y)=

    (64)

    注意

    該Fuzzy系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系應(yīng)該為

    這樣應(yīng)該存在概率空間(Y,F,P)上的隨機(jī)變量η,它服從概率密度為g(y)的概率分布,其中F為Y上的Borelσ-域.同樣,若令Ω?{x0}×Y,則F可視為Ω上的Borelσ-域,η視為定義在Ω上的隨機(jī)變量,而P亦可視為(Ω,F,P)上的概率.于是又得到隨機(jī)系統(tǒng)

    它的輸入輸出關(guān)系同樣為

    記Δyj?yj-yj-1(j=1,2,…,n),有

    (65)

    a=y0

    Δyj=h,j=1,2,…,n

    為等距時,又有

    (66)

    例 7.2考慮一個射擊系統(tǒng),為了簡單假定該系統(tǒng)只有一只槍.每一次試驗(yàn),即每一次操作,亦即每一次射擊打一發(fā)子彈,子彈記為x0(因?yàn)橥愋偷臉尨蛲愋偷淖訌?而同類型的子彈之間可不加區(qū)別,均記為x0),這樣得到該系統(tǒng)輸入論域X?{x0}.每一次射擊,子彈x0打向靶子理解為向該系統(tǒng)輸入,靶子上的彈著點(diǎn)是該系統(tǒng)對于輸入x0的響應(yīng),對于該響應(yīng)的測量有多種方式;這里取彈著點(diǎn)到靶心的距離y為系統(tǒng)的輸出.如果不算脫靶,彈著點(diǎn)到靶心的距離肯定有界,一個恰當(dāng)?shù)纳辖缬洖閎(比如靶心到靶邊緣的最大距離,在實(shí)際應(yīng)用中要比它小),下界顯然為a=0,于是又獲得輸出論域Y=[a,b].當(dāng)該系統(tǒng)獲得輸入x0后,其相應(yīng)的輸出y0不能預(yù)先確知,故這是一個純粹的隨機(jī)問題.假如考察一個具有n個人的射擊隊的團(tuán)體射擊水平,經(jīng)實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)每個射擊隊員的彈著點(diǎn)到靶心的距離分別為y1左右,y2左右,…,yn左右.無妨假定

    a=y0

    將y0,y1,…,ynFuzzy化得到Fuzzy集

    Bi∈F(Y),i=0,1,…,n,

    且Bi為Y的Fuzzy劃分.再令

    Ai?X={x0},

    μAi(x)=χX(x)=χ{x0}(x),i=1,2,…,n,

    并記A?{Ai|i=1,2,…,n},以及

    B?{Bi|i=1,2,…,n},

    現(xiàn)在考慮具有一維概率密度函數(shù)的隨機(jī)系統(tǒng)的Fuzzy推理表示及其對隨機(jī)系統(tǒng)的逼近問題.亦分兩種情況.

    典型情況 1*該情況與前述的典型情況1對偶.給定一個連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)

    這意味著存在概率空間(Ω,F,P)及定義在其上的隨機(jī)變量ξ服從概率密度為

    f(x)?f(x,y0)

    的概率分布,其中Ω?X×{y0}.從前面的討論已知該隨機(jī)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為

    其中假定?x∈X有f(x,y0)>0,可見

    作X的劃分a=x1

    Ai∈F(X),i=1,2,…,n,

    使其構(gòu)成X的Fuzzy劃分.再作

    Bi?Y={y0},

    μBi(y)=χY(y)=χ{y0}(y),i=1,2,…,n,

    置A?{Ai|i=1,2,…,n}以及

    B?{Bi|i=1,2,…,n},

    得到Fuzzy推理規(guī)則組A→B.于是便有Fuzzy系統(tǒng)

    因?yàn)锳?{Ai|i=1,2,…,n}為X的Fuzzy劃分,所以

    該Fuzzy系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為

    典型情況 2*該情況與前述的典型情況2對偶.給定一個連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)

    這意味著存在概率空間(Ω,F,P)及定義在其上的隨機(jī)變量η服從概率密度為

    g(y)=g(x0,y)

    的概率分布,其中Ω?{x0}×Y.注意到

    從前面的討論知該隨機(jī)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為

    定理 7.1任意給定一個連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)

    一定存在一組Fuzzy推理規(guī)則:A→B,其中,

    A={Ai|i=1,2,…,n},

    B={Bi|i=1,2,…,n},

    Ai∈F(X),Bi∈F(Y),i=1,2,…,n,

    證明首先作Y的劃分

    a=y0

    構(gòu)作三角形Fuzzy集

    令M?max{g(y)|y∈Y},再作分點(diǎn)yi,i=0,1,…,n的Fuzzy化:

    μ

    顯然Bi∈F(Y)(i=0,1,…,n).取

    Ai?{x0},i=1,2,…,n,

    A?{Ai|i=1,2,…,n},

    B?{Bi|i=1,2,…,n},

    得到Fuzzy推理規(guī)則組A→B.于是做成Fuzzy系統(tǒng)

    它的輸入輸出關(guān)系有下列表示:

    因?yàn)?/p>

    λ=max{Δyi=yi-yi-1|i=1,2,…,n}<δ,

    就同時有

    8 不確定性系統(tǒng)的統(tǒng)一性

    上一節(jié)的結(jié)論表明,Fuzzy系統(tǒng)與隨機(jī)系統(tǒng)相互轉(zhuǎn)換中還具有還原性.這意味著在系統(tǒng)的觀點(diǎn)下,Fuzzy系統(tǒng)與隨機(jī)系統(tǒng)是統(tǒng)一的,它們好像一個天平上的兩個等量的砝碼,各置該天平的托盤之一,其中一個砝碼舊一點(diǎn),而另一個砝碼新一點(diǎn).舊砝碼意指概率論;新砝碼則代表Fuzzy系統(tǒng)理論.它們各有側(cè)重,互為補(bǔ)充,絕不相互排斥.

    值得指出的是,面對一個不確定性系統(tǒng),在概率論中要想獲得關(guān)于該不確定性系統(tǒng)的概率分布是件相當(dāng)困難的事情;然而,對于該不確定性系統(tǒng),得到一組Fuzzy推理規(guī)則并不困難;由既得的Fuzzy推理規(guī)則組便可轉(zhuǎn)化為該不確定性系統(tǒng)的概率密度,這是件極有意義的事情.

    9 結(jié)論

    本文詳細(xì)討論了隨機(jī)系統(tǒng)的Fuzzy推理表示問題,揭示了隨機(jī)系統(tǒng)與Fuzzy推理之間有著緊密聯(lián)系.主要結(jié)果如下.

    1) 相對于不確定性系統(tǒng),給出了隨機(jī)系統(tǒng)的定義,它視為從隨機(jī)系統(tǒng)的角度對一個不確定系統(tǒng)的逼近.

    5) 面對一個不確定性系統(tǒng),在概率論中要想獲得關(guān)于該不確定性系統(tǒng)的概率分布是件相當(dāng)困難的事情;然而,對于該不確定性系統(tǒng),得到一組Fuzzy推理規(guī)則并不困難;由既得的Fuzzy推理規(guī)則組便可轉(zhuǎn)化為該不確定性系統(tǒng)的概率分布,從而概率論中成熟的工具便可發(fā)揮作用了,這是件極有意義的事情.

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