思維呼應，指向策略教學的數(shù)學感悟
——解決問題策略的意識培養(yǎng)與思維建構

●于正軍

數(shù)學意識是學生在解決實際問題過程中自發(fā)形成的數(shù)學直觀、數(shù)學感悟、數(shù)學理解等數(shù)學思維活動的一種認知自覺和學習動機，是數(shù)學思維與學習行為發(fā)生的“起跑狀態(tài)”。因此，在解決問題策略教學中促進學生思維發(fā)展與方法感悟，需要引領學生在分析問題、解決問題的過程中不斷實現(xiàn)策略意識的喚醒、遞升、舒展和建立，繼而以策略的認知感知概念意義，以策略的眼光分析數(shù)量關系，以策略的思維探索數(shù)學方法，以策略的語言建構思維模型，不斷促進學生經歷解決問題中策略意識與數(shù)學方法的思維呼應，從而深度激活學生的思維經驗，以滋生策略思維，感悟策略思想方法。筆者以蘇教版教材五年級上冊“一一列舉的策略”一課教學為例，解析解決問題策略教學中學生的意識培養(yǎng)與思維建構，旨在創(chuàng)新與建構解決問題策略教學的課堂結構和應有范式。

一、策略意識的喚醒——思維起跑的姿態(tài)

對解決問題策略概念意義的感悟與理解，需要教師從學科核心素養(yǎng)的視角重新審視解決問題策略單元的課題意義。教材所編寫的課題意義表征為“解決問題的策略”，并非“策略解決問題”。此課題凸顯出來的學科素養(yǎng)指向的教學目標理應是對策略意識及其思想方法的感悟，而非機械運用數(shù)學策略解決問題。所以，課堂上教師要有意引領學生對策略認知的思維交流，才能不斷轉變“應用題”教學的課堂固有范式和創(chuàng)新解決問題策略的課堂教學結構，促進學生對策略認知的意義感知和策略意義的意識感悟，激發(fā)學生形成積極探索策略的認知意識和心理需求，激活學生原有的思維經驗，繼而喚醒學生的策略意識，引發(fā)學生思維起跑。

在一線教師的常態(tài)課堂上，教師引出例題主題圖（見圖1），并引導學生用擺一擺、畫一畫、寫一寫等學習方法探索出結果后，順勢揭示：像這樣一個一個列舉出各種可能結果的方法，在數(shù)學上就叫做“一一列舉的策略”。如此把教材中的數(shù)學概念直接講給學生，忽視了學生對策略認知的直接感知，抑制了學生策略意識的喚醒，阻礙了學生在自主探索過程中意識建立與方法建構的思維呼應，從而導致學生對策略意義無法感知，策略思維無從起步。

圖1

因而，在學生經歷自主探索后，教師需要及時回歸策略視角與兒童認知，引領學生對各自解題方法的思維交流和意識回應。

（1）你們是怎么想到要動手擺一擺、畫一畫、寫一寫呢？此時學生在課堂上自言自語：不好列算式解答，也無法直接算出所求問題的結果。

（2）有的人用小棒圍長方形，有的人在作業(yè)紙上畫長方形，而有的人直接寫出相應長方形的面積，為什么你們方法不同卻都能求出最終的結果呢？課堂上聰明的孩子開始插話：不管是擺一擺、畫一畫還是寫一寫，其實大家都是把幾種可能的結果依次整理出來。教師順勢補充：是的，雖然大家的操作方法不同，其中的思維方法和數(shù)學道理是一樣的。

看來大家想到的這些方法對于解決像“王大叔圍花圃”這樣的實際問題非常方便和適用，也非常巧妙，很具針對性。你們覺得這么好的數(shù)學方法應該取一個什么名字呢？教師在學生自由取名字的基礎上整理、規(guī)范學生的數(shù)學表達，繼而引出“一一列舉策略”的數(shù)學概念。學生經過如此對“一一列舉策略”的概念進行有意義的建構，自然經歷策略意義的形成過程，感知策略的數(shù)學意義，體會策略與數(shù)學方法的應然聯(lián)系，學生的思維方能起跑，意識才被喚醒。如此通過學生已有的經驗方法促進對策略意識的思維回應，學生的策略思維被及時激活，進一步激發(fā)出學生深度觸摸和感知“一一列舉策略”的概念意義，自然點燃學生探索策略思維方法的數(shù)學熱情和心理需求。

二、策略意識的遞升——思維滋生的方向

數(shù)學策略在兒童的思維表征上凸顯的是一種基于方法又高于方法的認知視角和思考角度。所以，促進學生策略意識的逐步遞升需要教師引領學生以策略的眼光審視數(shù)量關系，驅動學生滋生策略思維，探索策略方法，培養(yǎng)策略意識，從而自然避免用常態(tài)的數(shù)學眼光涉獵已知條件和所求問題，產生出“應用題”教學的解題思維。否則，學生就無法感知這些數(shù)量概念中隱含的策略思維元素，而滑入“應用題”教學的課堂模式，偏離了解決問題策略教學主題的應有目標，抑制了學生策略意識與思維的素養(yǎng)培養(yǎng)。

因此，引領學生觀察主題圖中“22 根”“1 米”“面積最大”等數(shù)量概念時，要警惕常態(tài)的數(shù)學眼光形成的淺表性思維認知阻礙了學生深度思維的腳步。

（1）“22 根”常態(tài)眼光表現(xiàn)為：圍成長方形的周長是22 米；而策略眼光理應為：22 根柵欄可以圍多種不同的長方形。此眼光隱藏的策略意識指向學生的思維感悟：由于可以圍成多種不同的長方形，那么究竟有幾種呢？必然驅動學生產生要一個一個列舉出來的心理欲望和思維沖動，學生“一一列舉的策略”意識開始喚醒。

（2）“1 米”常態(tài)眼光表現(xiàn)為：用1 米的柵欄去圍長方形，圍成的長方形的長和寬是整米數(shù)；而策略眼光理應為：既然是用1 米的柵欄去圍，圍成長方形的長和寬一定是可數(shù)長度，圍成長方形的個數(shù)必然是有限的。此眼光隱藏的策略意識指向學生的思維感悟：既然圍成這些不同的長方形的個數(shù)是有限的，就可以把這些有限的長方形一個一個列舉出來，為“一一列舉策略”意識的初步建立提供了有限的數(shù)學思維方法可能。如果圍成長方形的數(shù)量是無限的，那么“列舉”的數(shù)學方法在學生內心深處無法生根發(fā)芽，“一一列舉的策略”意識也無從起步。

（3）“面積最大”常態(tài)眼光表現(xiàn)為：圍成長方形的形狀盡可能要方一點；而策略眼光理應為：像這樣圍長方形，如果換成用可以任意彎曲的線或繩子來圍，從數(shù)學極限思維的角度，所圍成的長方形的個數(shù)必然是無限的，既然是無限的，不存在“面積最大或最小”的數(shù)學概念的可能。此眼光隱藏的策略意識指向學生的思維感悟：像這樣用22 根1 米的柵欄圍長方形，所指向的數(shù)學問題的價值必然是求面積最大或最小，從而使學生感悟到“一一列舉策略”所對應的實際問題的已知條件與所求問題之間的必然聯(lián)系，學生內心深處的思維應然朝向“一一列舉策略”方向逐漸滋生。

唯有如此，引領學生以策略的眼光審視例題中的條件與問題之間的數(shù)量關系，學生自然會自主感知實際問題中隱藏的策略思維，形成策略意識與數(shù)學方法的思維呼應，進一步點燃學生積極探索策略方法的內在需求與積極情感。

三、策略意識的舒展——思維發(fā)展的路徑

在探索策略方法的過程中，學生的策略意識一旦得以舒展，自然會產生與數(shù)學方法的思維呼應，促進認知經驗瞬間被激活，驅動學生以解決問題的策略眼光和思維視角分析數(shù)量關系，生成策略方法。因此，策略教學需在學生以策略的眼光審視數(shù)量關系的基礎上，進一步引發(fā)學生策略意識的舒展而生發(fā)思維路徑，觸發(fā)學生獨立想象與深度思維，自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學方法，促進數(shù)學感悟和策略思想的自發(fā)形成。

如此，在學生審視數(shù)量關系的基礎上，需及時圍繞主題圖中“22 根、1 米、面積最大”三個關鍵數(shù)量概念引領學生的策略意識得以進一步舒展，促進學生積極思維，展開想象，自主探索策略方法。

（1）從“22 根”你能想到什么？師：用22 根木條圍長方形你們會嗎？生齊說：會。師：大家都說會，看來你們心中都已經有了圍成的樣子，你心中所圍成的長方形和其他同學一樣嗎？生齊說：不一定。師：看來用22 根這樣的木條圍一個長方形一定不止圍一個，是嗎？生：是的，可以圍好幾個。

（2）從“1 米”你又能想到什么？師：22 根1 米長的小棒連接起來一共有多長？生：22 米。師：用這樣的小棒圍與用22 米長的線或繩子圍效果一樣嗎？生開始遲疑，教師順勢引導學生小組交流。生小組匯報：不一樣，用22 根1 米長的小棒圍長方形，圍成的長方形的長與寬都必須由整根的小棒連接，即長與寬都是整米數(shù)，所以這樣圍成的長方形的個數(shù)是有限的。而用22 米長的線或繩子圍長方形，圍成的長方形的長與寬的長度可能是整數(shù)，也可能是一個無限小數(shù)，這樣圍成的長方形有無數(shù)個。

（3）從“面積最大”你還想到了什么？師：剛才大家說用22 根1 米長的小棒去圍長方形能圍好幾種，說明圍成的這幾種長方形的大小、形狀可能不一樣，是什么一樣什么不一樣呢？生：周長一樣，面積不一樣。師：是的，看來圍成幾種長方形，就會有幾種不同的面積，說明這些面積有大有小。

通過如此伴隨策略意識的思維數(shù)量關系分析，學生從“想22 根”自然經歷圍成多種長方形的思維路徑，從“想1 米”自然經歷圍成多種長方形的個數(shù)是有限的思維路徑，從“想面積最大”自然經歷圍多種長方形就會產生多種大小不同面積的思維路徑，從而使學生的思維自發(fā)經歷“長方形數(shù)量多且有限”“多種長方形即多種大小不同面積”的策略特點的形成過程，并自主感悟“求面積最大”是此類題型特征所彰顯出來的數(shù)學應用價值和策略方法的思維方向，有效助推學生逐步建構“一一列舉策略”的思維特征，內心自然產生“一一列舉策略”的數(shù)學方法的認知需求，促進學生深刻體驗和感悟“一一列舉策略”的思想方法在解決實際問題中的應有價值和應然作用。

四、策略意識的建立——思維建模的內驅

學生在解決實際問題的過程中，其策略意識的真正建立標志著學生的數(shù)學認知與知識結構已經形成數(shù)學方法上的思維呼應。即不同實際問題的知識結構特征在學生腦海里自然產生相應策略思維的條件反應，從而驅動學生主動建構解決問題的思維圖式，并以策略的語言建構解決問題的數(shù)學方法思維模型，形成解決問題策略思想的數(shù)學感悟。

因而，在引領學生經歷探索策略的數(shù)學活動后，不能機械套用教材中回顧反思的提示語（見圖2）要求學生直接交流列舉方法的體會和感受。如此照搬教材中的提示語引導學生進行回顧反思，不能促進學生主動培養(yǎng)策略意識以及形成主動探索策略的主觀愿望，缺失了對實際問題數(shù)量關系結構的整理與概括，阻礙了學生對“一一列舉策略”的數(shù)學方法與實際問題的知識結構特征的思維呼應以及策略思維模型的自主建構。由此，需要及時激發(fā)學生對策略的數(shù)學意義和形成過程進行回顧與反思，助推學生基于實際問題的知識結構特點的認知自行進行策略方法的數(shù)學建模，完善學生對具體實際問題、數(shù)量關系、結構特點的分析與概括，形成“一一列舉策略”意識的條件反應和數(shù)學方法的思維建構，繼而激活學生的“一一列舉策略”思維，生成解決實際問題“專業(yè)”的數(shù)學方法的思維模型。

圖2

故而，策略意識的建立是解決問題策略教學的靈魂，是學生探索策略方法、形成策略技能的數(shù)學認知基礎和思維方法前提。教學時，理應從策略方法的思維建模角度加以啟迪。

（1）本節(jié)課所解決的實際問題有什么特點？引導學生交流得出此類題型實際問題的結果有多種可能，需要在多種可能中尋找所求答案。

（2）在以前的學習中，哪些知識也具備這樣的結構特點？課堂上引導學生說出諸如：數(shù)的組成、找一個數(shù)的因數(shù)、由幾個數(shù)字組成的所有幾位數(shù)……學生如此重拾知識記憶與數(shù)學語言表達的過程，既是對數(shù)學列舉方法及其對應思維關系的結構特征整理與建構的過程，更是對“一一列舉策略”思維方法進行語言概括和自主建模的過程。如此回顧與反思，方能順應學生的學習需求和思維現(xiàn)實。因為學生在經歷探尋關鍵數(shù)量和關鍵問題的過程中，必然會了解觀察和解析實際問題的基本結構，產生思維上的認識、判斷和甄別，促使學生的認知思維經歷從“結構特征”到“策略方法”自然生長與建模的過程，是題型特征所凸顯的一種數(shù)學方法必然和兒童心理認知的思維應然。同時，便于促進策略意識與數(shù)學方法的“思維觀照”，形成解決問題策略過程中學生數(shù)學思維的“上下呼應”，凸顯解決問題策略教學的“策略味”，弱化課堂教學的“應用味”，增強學生積極的探索精神和數(shù)學感悟能力。

綜上所述，在小學階段，策略的數(shù)學意義，留在兒童腦海里的認知特征表征為思維方法的“一一對應性”，直觀地表達為：有針對性的數(shù)學方法。如此的思維與方法的對應性和針對性促使學生的數(shù)學思考始終行走在“策略”與“解決問題”之間。因此，策略的教學唯有引領學生自主形成策略的意識，學生才能自發(fā)探索策略的方法，并自行運用策略的語言概括策略思維的數(shù)學方法模型，促使學生在解決問題的過程中既掌握實際問題結構的具體特征，又養(yǎng)成有針對性地選擇策略的數(shù)學意識和思維習慣，從而自然實現(xiàn)從為什么要列舉到怎樣列舉的“思維呼應”，實現(xiàn)學生對策略思想方法的深切感悟和深度理解。