一類含Lipschitz非線性的廣義離散系統(tǒng)的預(yù)見控制

楊冬梅， 祝春霞

(東北大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110819)

所謂預(yù)見控制，就是把已知的參考信號和(或)其他可預(yù)見信號的未來值提前加以利用，以改善系統(tǒng)的控制效果.預(yù)見控制的相關(guān)研究始于1966年，在控制系統(tǒng)中，如果已知目標(biāo)信號或者干擾信號的未來信息，對控制系統(tǒng)施加一定的操作使其滿足一定要求，可以提高控制系統(tǒng)的性能[1].多年來，研究者從各個角度拓展了預(yù)見控制理論.文獻[2]針對一類線性廣義離散系統(tǒng)，運用廣義離散系統(tǒng)最優(yōu)控制相關(guān)的理論，結(jié)合二次型成本泛函，設(shè)計出廣義增廣誤差系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見控制器.文獻[3]利用離散提升技術(shù)，將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為形式上不含狀態(tài)時滯的系統(tǒng)，得到了對系統(tǒng)具有預(yù)見前饋補償?shù)淖顑?yōu)預(yù)見控制器.文獻[4]考慮了一類不確定廣義離散系統(tǒng)，構(gòu)造出擴大誤差系統(tǒng)，給出了預(yù)見控制器的存在條件及設(shè)計方法等等.

相比于正常系統(tǒng)，廣義系統(tǒng)有著更加廣泛的形式，且廣義系統(tǒng)模型存在于社會生產(chǎn)的諸多領(lǐng)域中.廣義系統(tǒng)與正常系統(tǒng)有許多不同之處，比如：對于齊次初值問題，正常系統(tǒng)滿足解的存在唯一性，但廣義系統(tǒng)的解可能不相容[5-6].

本文在文獻[7]的基礎(chǔ)上，將正常離散系統(tǒng)預(yù)見控制相關(guān)理論推廣到廣義離散系統(tǒng).在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的擾動下，正常離散系統(tǒng)可以有系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，但是廣義離散系統(tǒng)很難具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，因此，廣義系統(tǒng)的研究要比正常系統(tǒng)更加困難，所以本文的研究是一項很有意義的工作.與文獻[4]相比，本文考慮了一類不同的系統(tǒng)，且沒有采用文獻[4]中所提及的離散提升技術(shù).并且針對一類含有非線性項的廣義離散系統(tǒng)，其中，非線性部分滿足Lipschitz條件，基于預(yù)見控制的基本思想，研究此系統(tǒng)輸出跟蹤問題，并設(shè)計相應(yīng)的狀態(tài)反饋控制器.

1 問題描述

考慮廣義離散系統(tǒng)

(1)

其中，x(k)為n維狀態(tài)變量，u(k)為m維輸入向量，d(k)為q維干擾向量，y(k)為p維輸出向量，f(x(k))是一個非線性函數(shù)向量，E,A,B,C,D為常數(shù)矩陣.其中，矩陣E奇異.

假設(shè)1[5]設(shè)系統(tǒng)(1)正則，即存在常數(shù)s0使得

det(s0E-A)≠0.

假設(shè)2非線性項f(x(k))滿足Lipschitz條件：?γ>0,使得對于?x1,x2∈n，有

‖f(x1)-f(x2)‖≤γ‖x1-x2‖.

(2)

r(k+i)=r(k+lr),i=lr+1,lr+2,….

d(k+i)=d(k+ld),i=ld+1,ld+2,….

引理2[11]若L,G為適當(dāng)維數(shù)的實矩陣，G>0，則：

-LTG-1L≤-L-LT+G.

定義誤差信號:e(k)=y(k)-r(k).目標(biāo)是設(shè)計一個有預(yù)見作用的控制器，在有外部干擾影響的條件下，實現(xiàn)系統(tǒng)(1)的輸出y(k)仍然能夠穩(wěn)態(tài)、無差地跟蹤參考信號r(k)，即

2 擴大誤差系統(tǒng)的構(gòu)造

選取一階前向差分算子:Δx(k)=x(k+1)-x(k).對系統(tǒng)(1)中狀態(tài)方程的兩端取差分，

EΔx(k+1)=AΔx(k)+BΔu(k)+DΔd(k)+Δfk,

(3)

其中，Δfk=Δf(x(k))=f(x(k+1))-f(x(k)).

易知Δe(k)=Δy(k)-Δr(k)，由系統(tǒng)(1)輸出方程，Δe(k)=CΔx(k)-Δr(k).

由Δe(k)=e(k+1)-e(k)，

e(k+1)=e(k)+CΔx(k)-Δr(k).

(4)

結(jié)合式(3)和式(4)，

(5)

為了進一步引入?yún)⒖技案蓴_信號，分別定義新的向量:

xR(k)=[Δr(k)Δr(k+1) …Δr(k+lr)]T,

xD(k)=[Δd(k)Δd(k+1) …Δd(k+ld)]T.

由假設(shè)3和假設(shè)4，

xR(k+1)=ARxR(k),xD(k+1)=ADxD(k),

(6)

xR(k)∈p(lr+1)和xD(k)∈q(ld+1)分別包含參考和干擾信號的信息.

由式(5)和式(6)可得增廣系統(tǒng)：

(7)

(8)

3 狀態(tài)反饋預(yù)見控制器的設(shè)計

(9)

下面分析系統(tǒng)(9)穩(wěn)定的條件，并求解增益矩陣Kx.

注文中出現(xiàn)的對稱矩陣，其下三角部分均為“*”代替.

定理1設(shè)假設(shè)1～假設(shè)4成立，如果存在正定矩陣P、可逆矩陣G1、矩陣R以及常數(shù)γ>0，令Z=P-1,使得如下線性矩陣不等式(LMI)成立：

(10)

其中，

至此，若Ω≤0成立，則ΔV≤0，進而由Lyapunov穩(wěn)定性理論，可得閉環(huán)系統(tǒng)(9)是漸近穩(wěn)定的.下面證明，條件(10)的成立保證了Ω≤0.由引理2，

由Block-diag(-Z,-I)<0.結(jié)合引理1，

令Z-1=P，此不等式左端即為Ω，即Ω≤0.因此，系統(tǒng)(9)是漸近穩(wěn)定的.證畢.

4 數(shù)值仿真

例考慮系統(tǒng)(1)，有關(guān)系數(shù)矩陣為

非線性函數(shù)向量、干擾信號及參考信號依次取值如下：

本例取Lipschitz常數(shù)γ=0.01經(jīng)驗證f(x)滿足假設(shè)(2).其次，上式中r(k)、d(k)滿足假設(shè)3和假設(shè)4.通過Matlab對定理1中的LMI條件進行求解，得到一個預(yù)見控制器，作用于原廣義系統(tǒng)方程，即可得閉環(huán)系統(tǒng)的輸出.分別考慮不同預(yù)見作用的跟蹤效果，取lr=0,ld=0(無預(yù)見)、lr=1,ld=1、lr=7,ld=3三種情形.圖1為系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，圖2是控制輸入，圖3是跟蹤誤差.

圖1 輸出響應(yīng)

圖1可得，采用預(yù)見控制器的情況下(lr=1,ld=1;lr=7,ld=3)，閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)得到了一定程度的提升，其跟蹤參考信號r(k)的結(jié)果是更加令人滿意的.圖3顯示預(yù)見作用下的跟蹤誤差波動更小，表明其閉環(huán)系統(tǒng)有更好的跟蹤效果.且跟蹤誤差e(k)在有界范圍內(nèi)趨于0值.如圖2所示，控制量在有界的范圍內(nèi)，這也是合理的.

圖2 控制輸入

圖3 跟蹤誤差

5 結(jié) 論

本文針對一類含Lipschitz 的廣義離散時間系統(tǒng)，采用增廣誤差法，進行預(yù)見控制器的設(shè)計.首先，通過前向差分法，構(gòu)造出一個廣義增廣誤差系統(tǒng)，隨之跟蹤問題轉(zhuǎn)為鎮(zhèn)定問題.然后，基于Lyapunov方法，得到了增廣誤差系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器的求解辦法.最后，通過一個算例驗證了該方法的可行性.