基于阿秒光電子譜研究金屬光電子色散關(guān)系

潘子萌，劉 凱，馬子琦，廖 青

武漢工程大學(xué)光電信息與能源工程學(xué)院，湖北 武漢 430205

強(qiáng)場物理是過去二十多年興起的前沿學(xué)科，主要研究超強(qiáng)超短激光與物質(zhì)相互作用。隨著激光器的發(fā)展與進(jìn)步，激光的脈沖寬度逐漸變窄，激光脈沖的功率越來越大［1-3］。利用先進(jìn)激光技術(shù)獲得的超快強(qiáng)激光脈沖與物質(zhì)相互作用，成為了研究物質(zhì)基本性質(zhì)的一種重要手段。

阿秒物理學(xué)（1as = 1× 10-18s）研究飛秒和亞飛秒時(shí)間尺度上的超短激光脈沖與原子分子或固體相互作用時(shí)發(fā)生的電子動(dòng)力學(xué)超快現(xiàn)象。強(qiáng)激光場聚焦在氣體或固體介質(zhì)上會(huì)產(chǎn)生高次諧波，高次諧波是一種非微擾的高階非線性過程［4-8］。結(jié)合精確可控制的近紅外（near-infrared，NIR）場，由高次諧波轉(zhuǎn)換的極紫外（extreme-ultraviolet，XUV）阿秒脈沖已成功用于研究物質(zhì)中電子的動(dòng)力學(xué)過程。具體的技術(shù)思路是：XUV 阿秒脈沖和NIR 脈沖分別作為泵浦光和探測光，在精確控制兩種激光脈沖之間的相對延時(shí)后共同與物質(zhì)相互作用，通過觀測阿秒光電子譜圖以實(shí)現(xiàn)對電子運(yùn)動(dòng)的實(shí)時(shí)探測。近十多年來，阿秒光電子譜技術(shù)已被廣泛應(yīng)用于研究固體與原子目標(biāo)中的時(shí)間分辨光電子發(fā)射［9］。

在激光與固體相互作用的過程中，束縛態(tài)電子在吸收光子后從固體表面出射，通常利用經(jīng)典輸運(yùn)模型來解釋從阿秒光電子譜圖中提取的光電子發(fā)射時(shí)間。2015 年瑞士U.Keller 研究組開展了基于能量依賴的Ag（111）和Au（111）金屬表面發(fā)射時(shí)間的研究，利用XUV 阿秒脈沖泵浦- NIR 激光脈沖探測技術(shù)首次觀測到凝聚態(tài)系統(tǒng)中的亞周期動(dòng)力學(xué)。他們的研究揭示了Ag（111）表面4d 能帶和Au（111）表面5d 能帶的發(fā)射時(shí)間極端依賴于光電子能量，與經(jīng)典輸運(yùn)模型的預(yù)測大不相同［10］。最近的理論研究發(fā)現(xiàn)光電子發(fā)射時(shí)間依賴于固體中的能量色散關(guān)系，并揭示了固體中光電子輸運(yùn)時(shí)間與可觀測到的光電子發(fā)射時(shí)間之間的尺度關(guān)系。通過光電子發(fā)射時(shí)間追溯到光電子在固體中積累的相位差，并且預(yù)測到負(fù)的光電子發(fā)射時(shí)間?；谏鲜霭l(fā)現(xiàn)，給出了一種時(shí)域的能量-動(dòng)量-色散成像方法［11］。但由于研究中的模型勢采用了均勻場，并不是真實(shí)金屬內(nèi)部勢能，因此需要對模型勢進(jìn)行修正以便深入研究固體中的能量色散關(guān)系。

本文構(gòu)建了非局域勢為周期性勢阱的單晶金屬表面模型，用于近似真實(shí)的金屬內(nèi)部勢能。改變XUV 阿秒脈沖和NIR 脈沖之間的相對延時(shí)，通過量子力學(xué)數(shù)值模擬計(jì)算得到了阿秒光電子譜圖。發(fā)現(xiàn)光電子發(fā)射時(shí)間取決于勢阱深度和穿越金屬厚度，并且光電子發(fā)射時(shí)間與穿越金屬厚度存在顯著的非線性關(guān)系。這一發(fā)現(xiàn)證實(shí)了金屬內(nèi)部的能量色散關(guān)系強(qiáng)烈依賴周期性勢阱的具體形式。

1 理論方法和模型

1.1 求解一維含時(shí)薛定諤方程

一維含時(shí)薛定諤方程，其解法具體如下。量子力學(xué)中描述粒子或系統(tǒng)隨時(shí)間演化的狀態(tài)都是用滿足含時(shí)薛定諤方程的波函數(shù)Ψ(t)來表示的（按原子單位處理）：

式中H表示系統(tǒng)的哈密頓算符，i為虛數(shù)單位。在笛卡爾坐標(biāo)下系統(tǒng)的哈密頓量H可以表示為：

這里H(t)是指作用在約化波函數(shù)Φ(t)=rΨ(t)上的哈密頓量，E(t) =EXUV(t)+EIR(t)為線偏振入射激光場。 其中EXUV(t)為XUV 激光場強(qiáng)度，EIR(t)為NIR 激光場強(qiáng)度。

求解含時(shí)薛定諤方程的步驟一般是先給設(shè)定初始波函數(shù)Φ(t= 0)，然后將初始波函數(shù)離散化，將時(shí)間演化算符作用在初始波函數(shù)上，經(jīng)過不斷的迭代演化就可以獲得任意時(shí)刻的末態(tài)波函數(shù)。即t時(shí)刻到t+ Δt時(shí)刻的含時(shí)演化波函數(shù)的關(guān)系表達(dá)為：

隨后經(jīng)過分裂算符方法，含時(shí)迭代得到末態(tài)波函數(shù)。

1.2 基于極紫外阿秒脈沖泵浦-近紅外激光脈沖探測的阿秒光電子譜技術(shù)

目前在阿秒時(shí)間尺度上探測電子的超快動(dòng)力學(xué)過程，主要方法有阿秒條紋相機(jī)技術(shù)和雙色雙光子干涉技術(shù)［5-6］。在原子的情況下，已經(jīng)證明了雙色雙光子干涉技術(shù)和阿秒條紋相機(jī)技術(shù)都能提供相同光電子發(fā)射過程的時(shí)間信息。阿秒相機(jī)條紋技術(shù)使用的泵浦脈沖為單個(gè)阿秒脈沖，由于單個(gè)阿秒脈沖頻譜分布較寬，無法區(qū)分不同光電子末態(tài)動(dòng)能對應(yīng)的干涉通道對光電子發(fā)射時(shí)間的影響。而雙色雙光子干涉技術(shù)使用XUV 阿秒脈沖鏈作為泵浦脈沖，阿秒脈沖鏈在頻譜上為分立的相鄰高次諧波，與觀測到的阿秒光電子譜圖中的一系列主峰相對應(yīng)。在NIR 探測場的作用下相鄰兩個(gè)主峰之間形成邊帶峰，不同主峰和邊帶峰對應(yīng)的干涉通道非常易于分辨。因此本文選取雙色雙光子干涉技術(shù)作為研究手段。

雙色雙光子干涉技術(shù)的具體原理是：XUV 阿秒脈沖鏈穿透金屬表面，金屬內(nèi)部的束縛態(tài)電子吸收兩相鄰的高次諧波，逃逸金屬表面時(shí)與紅外激光場作用，吸收較高次（較低次）諧波的電子波包放出（吸收）一個(gè)紅外光子，最終兩部分波包能量一致發(fā)生干涉而記錄傳播相位。改變XUV 阿秒脈沖與紅外脈沖之間的時(shí)間差，可以得到光電子末態(tài)動(dòng)能譜與XUV 阿秒脈沖—紅外脈沖時(shí)間差之間的函數(shù)關(guān)系，即所謂的雙色雙光子干涉譜［12-13］。

1.3 金屬中的電子能量色散對光電子發(fā)射時(shí)間的影響

首先以非局域勢為均勻場的單晶金屬表面模型為例。利用依賴于能量的有效電子質(zhì)量來表示金屬中的電子色散，解析地揭示了其中的尺度規(guī)律［11］，即金屬內(nèi)電子輸運(yùn)時(shí)間與光電子發(fā)射時(shí)間之間的線性關(guān)系：

其中ttr,2q+1表示在金屬內(nèi)部光電子傳播的時(shí)間，tpe,2q為從阿秒光電子譜圖中的邊帶峰擬合提取的光電子發(fā)射時(shí)間，t0,2q表示與樣本無關(guān)的偏移量。尺度因子α非常敏感地依賴于金屬內(nèi)有效電子質(zhì)量的比值R2q=me,2q-1/me,2q+1。紅外光子能量為ωIR，由高次諧波轉(zhuǎn)換的阿秒脈沖鏈中的2q- 1和2q+ 1 階諧波，對應(yīng)的光子能量分別為( 2q- 1)ωIR和( 2q+ 1)ωIR，所激發(fā)電子的有效質(zhì)量分別為me,2q-1和me,2q+1。除非另有說明，在本文中使用原子單位。

邊帶峰中心能量為kf2/2 =εi+ 2qωIR，εi記為系統(tǒng)的基態(tài)能量。吸收2q+ 1 階（2q- 1 階）諧波的電子波包放出（吸收）1 個(gè)紅外光子，兩部分電子波包能量一致發(fā)生干涉形成邊帶峰，不同干涉通道之間的總相位差為ΔΦ2q= Δξ2q(z) - Δφ2q- π -2ωIRτ。其中Δφ2q=φ2q+1-φ2q-1，π 表示紅外光子的發(fā)射和吸收過程之間的相對相位。假設(shè)初始位置為z= 0，邊帶峰的不同干涉通道之間的空間傳播相位差為：

其中，d為局域電子晶格吸引勢逐漸趨于零的區(qū)域，dW為金屬薄片厚度。金屬內(nèi)部的光電子動(dòng)量為，與此相對應(yīng)的光電子能 量 為ε2q±1=εi+( )2q± 1ωIR，有 效 電 子 質(zhì) 量me,2q±1表示色散對金屬內(nèi)部傳播的電子波包的影響。群速度，金屬內(nèi)電子輸運(yùn)時(shí)間ttr,2q+1=dwvg,2q+1。公式（4）中與樣本無關(guān)的偏移量為：

尺度因子為：

通過分離金屬中電子的激發(fā)過程和傳播過程，在圖1 中明確地演示了金屬內(nèi)部的非局域電子勢如何影響干涉測量的光電子發(fā)射時(shí)間。研究思路是：金屬內(nèi)部的束縛態(tài)電子吸收1 個(gè)XUV 光子躍遷到連續(xù)態(tài)，先穿過厚度為d的區(qū)域，勢能逐漸趨于穩(wěn)定；再穿過厚度為dw的金屬薄片到達(dá)表面，光電子吸收或放出1 個(gè)紅外光子后被探測器檢測到，紅外探測場被金屬中的電子屏蔽在金屬表面。

圖1 金屬模型勢能圖Fig.1 Potential energy diagram of metal model

2 結(jié)果與討論

單晶金屬由許多原子有序排列而成，金屬內(nèi)部局域的束縛態(tài)電子被激發(fā)到連續(xù)態(tài)后暴露在非局域的電子晶格彈性勢中［14-15］。為了更加接近真實(shí)的金屬內(nèi)部勢能，將金屬表面模型中均勻場改為周期性勢阱進(jìn)行討論。

如圖1 所示，d為局域電子晶格吸引勢逐漸趨于零的區(qū)域，dw為金屬薄片厚度。da,dc為金屬晶格參數(shù)，Zs為介于金屬薄片與真空之間的表面位置。在金屬薄片區(qū)域，實(shí)例A 描述金屬內(nèi)部光電子的自由傳播，實(shí)例B 描述光電子在周期性勢阱下的色散傳播過程。通過調(diào)整勢阱深度（勢壘高度）U可改變光電子色散。 選取Yukawa potential 的原子模型吸引勢作為系統(tǒng)的初始態(tài)，將局域電子晶格吸引勢逐漸趨于零的區(qū)域設(shè)為d= 15［16］，使得勢能趨于穩(wěn)定后光電子進(jìn)入金屬內(nèi)部。實(shí)例A（實(shí)例B）表示金屬內(nèi)部的束縛態(tài)電子吸收1 個(gè)能量為51ωIR（49ωIR）的XUV 光子躍遷到連續(xù)態(tài)，光電子到達(dá)金屬表面后放出（吸收）1 個(gè)能量為ωIR的紅外光子。最終兩部分光電子波包獲得相同的末態(tài)動(dòng)能從而發(fā)生干涉形成邊帶峰。

紅外探測場的波長設(shè)為800 nm，強(qiáng)度設(shè)為1 × 1011W/cm2。量子力學(xué)數(shù)值模擬中采用的空間網(wǎng)格步長為dx=0.1，時(shí)間步長為Δt= 0.01。計(jì)算得到的阿秒光電子譜圖如圖2（a）中所示，其中垂直短實(shí)線表示以延時(shí)τ= 0 為參考的光電子發(fā)射時(shí)間。擬合觀測到的阿秒光電子譜圖中的邊帶峰即可提取光電子發(fā)射時(shí)間［17］。

如圖2（b）中所示，在晶格常數(shù)為da= 3,dc=2 時(shí)，由上至下3 條實(shí)線分別表示勢阱深度（勢壘高度）分別為U=5、0、-5 eV 的情況下光電子發(fā)射時(shí)間隨穿越金屬厚度的變化。垂直虛線表示當(dāng)金屬厚度dw= 20 時(shí)，從阿秒光電子譜圖擬合提取的光電子發(fā)射時(shí)間。在本科研團(tuán)隊(duì)之前的研究中，模型采用了均勻場，忽略金屬內(nèi)部非局域的電子晶格彈性勢對電子的影響，把排成晶格的正離子近似當(dāng)作是均勻抹平的連續(xù)正電荷分布。而在本文中，將非局域勢改為更加接近真實(shí)金屬內(nèi)部勢能的周期性勢阱。圖2 中的實(shí)線說明光電子發(fā)射時(shí)間隨穿越金屬厚度的變化呈現(xiàn)顯著的非線性關(guān)系（虛線為一般線性關(guān)系，與實(shí)線形成對比），這與采用了均勻場的模型所表現(xiàn)出的線性關(guān)系有很大不同。

圖2 （a）勢能U=5 eV，勢能U=0 eV 和勢能U=-5 eV 時(shí)末態(tài)光電子譜圖；（b）光電子發(fā)射時(shí)間隨金屬厚度的變化Fig.2 （a）Final state photoelectron spectrograms at potential energies of 5 eV，0 eV and-5 eV；（d）variation of photoelectron emission time with metal thickness

光電子發(fā)射時(shí)間隨金屬晶格常數(shù)和勢阱深度的變化情況如圖3 所示，圖3 中虛線為各情況下一般線性關(guān)系，以作各種情況下的對比。當(dāng)勢阱深度為-10 eV 時(shí)，隨著金屬厚度的增大，光電子發(fā)射時(shí)間與穿越金屬厚度的非線性變化趨于平滑。減小勢阱深度直至-5 eV 時(shí)，光電子發(fā)射時(shí)間隨穿越金屬厚度的變化呈現(xiàn)顯著的非線性關(guān)系，說明金屬內(nèi)部的色散關(guān)系強(qiáng)烈依賴于周期性勢阱的深度。

圖3 光電子發(fā)射時(shí)間隨金屬晶格常數(shù)和勢阱深度的變化Fig.3 Variation of photoelectron emission time with metal lattice constant and potential well depth

3 結(jié) 論

在本科研團(tuán)隊(duì)之前研究工作基礎(chǔ)上將模型勢修正為與真實(shí)固體內(nèi)部相一致的周期性勢能，以便更廣泛地探究阿秒光電子發(fā)射時(shí)間與其能量色散之間的關(guān)系。通過數(shù)值模擬求解一維含時(shí)薛定諤方程，得到末態(tài)光電子能譜圖，并對能譜圖進(jìn)行擬合以提取光電子發(fā)射時(shí)間。結(jié)果顯示光電子發(fā)射時(shí)間強(qiáng)烈依賴于金屬勢能，尤其是與穿越金屬厚度存在顯著非線性關(guān)系。在以后工作中，可進(jìn)一步確定周期勢模型所對應(yīng)的能量色散關(guān)系，從而能夠更全面地分析光電子發(fā)射時(shí)間與能量色散的關(guān)系。