淺析閉路復(fù)積分的計(jì)算方法

崔漢哲 上海電機(jī)學(xué)院

一、引言

《復(fù)變函數(shù)》是高校中眾多理工科專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)必修課。對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的理工科學(xué)生而言，它為后續(xù)眾多的專業(yè)課程——如《電路學(xué)》,《信號(hào)與系統(tǒng)分析》,《數(shù)字信號(hào)處理》等等——提供了重要的數(shù)學(xué)工具，是必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)。

《復(fù)變函數(shù)》課程的具體教學(xué)內(nèi)容，主要是復(fù)變量函數(shù)的微積分。詳細(xì)而言，即是將《高等數(shù)學(xué)》課程中關(guān)于實(shí)變函數(shù)微積分的各類定義、定理和諸多數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)推廣到復(fù)變函數(shù)（自變量和因變值都為復(fù)數(shù)的函數(shù)）之上。在該過(guò)程中，有些內(nèi)容在實(shí)變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)上是較類似的，如函數(shù)極限的定義和計(jì)算、連續(xù)函數(shù)的概念與判斷準(zhǔn)則等。這體現(xiàn)了實(shí)變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)在某些方面的相通，也顯示了相關(guān)數(shù)學(xué)概念和結(jié)構(gòu)的普適性。但與此同時(shí)，另外一些內(nèi)容在實(shí)變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)上就有較大的甚至是本質(zhì)上的區(qū)別，如解析函數(shù)的定義與性質(zhì)等。這就說(shuō)明了復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)在本質(zhì)上的區(qū)別，凸顯了學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的必要性。而閉路復(fù)積分的計(jì)算方法，恰恰就屬于后者。

顧名思義，微分學(xué)和積分學(xué)共同構(gòu)成了微積分的主體內(nèi)容。而各種類型積分的定義和計(jì)算是積分學(xué)的主要組成部分，也是教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)所在。閉路復(fù)積分是積分曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)完全重合的積分，是復(fù)積分的主要類型。在《復(fù)變函數(shù)》課程中，閉路積分的定義與計(jì)算方法，在篇幅上占據(jù)了非常大的比重。如教材[1]第三章的幾乎全部（第一節(jié)到第四節(jié)）和第五章的三分之一（第二節(jié)）。之所以如此的一個(gè)主要原因是，計(jì)算閉路復(fù)積分所要用的各種定理和方法相當(dāng)多，計(jì)有：參數(shù)方程法、柯西積分定理（或稱柯西―古薩基本定理）、閉路變形原理、復(fù)合閉路定理、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、留數(shù)定理等。這和實(shí)變函數(shù)中的情形構(gòu)成了鮮明的對(duì)比。在那里，閉路積分僅僅是從屬于第二類曲線積分的一個(gè)子類型，教學(xué)篇幅限于《高等數(shù)學(xué)》下冊(cè)教材正文中的幾個(gè)甚至一個(gè)較簡(jiǎn)單的例子，所用的定理和方法也遠(yuǎn)不如《復(fù)變函數(shù)》課程中豐富。更重要的是，閉路復(fù)積分的計(jì)算方法幾乎都是復(fù)變函數(shù)所獨(dú)有的，并不是實(shí)變函數(shù)積分方法的簡(jiǎn)單復(fù)制和推廣。因此，如何教好這部分內(nèi)容，對(duì)《復(fù)變函數(shù)》課程的教學(xué)有著重要意義。

根據(jù)筆者的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生（特別是非數(shù)學(xué)專業(yè)的理工科學(xué)生）在學(xué)習(xí)閉路復(fù)積分時(shí)所碰到的主要困難，如上一節(jié)所述，一是內(nèi)容新，二是方法多——都是相對(duì)于實(shí)變函數(shù)的積分而言。對(duì)于具體的積分實(shí)例，初學(xué)者往往難以快速和準(zhǔn)確判斷應(yīng)該用何種方法、哪個(gè)定理求解。這就要求教師在教學(xué)中，要特別注重不同定理和方法之間的聯(lián)系和比較。結(jié)合具體實(shí)例的講解，提綱挈領(lǐng)，分門別類，因地制宜，以使學(xué)生能對(duì)閉路復(fù)積分的內(nèi)容能有整體的把握和理解。

事實(shí)上，在計(jì)算閉路復(fù)積分的眾多方法和定理中，是暗含了一條主線的。隨著教學(xué)進(jìn)程的深入和展開(kāi)，后繼內(nèi)容往往都是前述內(nèi)容的深化和推廣。例如，參數(shù)方程法中某些簡(jiǎn)單的積分實(shí)例，經(jīng)由閉路變形原理推廣后，就成為一個(gè)常用的重要公式。而將該重要公式中的被積函數(shù)略加變化，就成為了重要的柯西積分公式。高階導(dǎo)數(shù)公式則是柯西積分公式的推廣。更進(jìn)一步，留數(shù)定理則是復(fù)合閉路定理、柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式的綜合與深化。這就要求教師在講授新的教學(xué)內(nèi)容時(shí)，要與已授內(nèi)容相結(jié)合，指明新舊定理之間的邏輯關(guān)系和具體區(qū)別。站在新定理的角度回看之前的實(shí)例，能體會(huì)到新定理的威力，也能清楚舊定理的局限，進(jìn)而明確不同定理的具體對(duì)象和適用范圍，從而真正掌握方法，不至于迷失在諸多紛繁復(fù)雜的定義和公式之中。以下根據(jù)教學(xué)進(jìn)程，結(jié)合實(shí)例展開(kāi)具體論述。

二、閉路積分的計(jì)算方法

（一）參數(shù)方程法

該方法是由復(fù)積分的定義直接推導(dǎo)而來(lái)，是計(jì)算所有類型復(fù)積分的最基本方法。對(duì)于初學(xué)者而言，重要的不是從積分定義推導(dǎo)該方法的過(guò)程，而是將該方法用于具體積分的計(jì)算。因此首先要從概念上明確“參數(shù)方程”所指為何。顧名思義，參數(shù)方程即為復(fù)積分的積分曲線的參數(shù)方程。本方法用一句話概括，即將參數(shù)方程寫出后，直接代入所求復(fù)積分中，將該復(fù)積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的實(shí)變函數(shù)定積分進(jìn)行計(jì)算。在《復(fù)變函數(shù)》課程中主要學(xué)習(xí)如何從復(fù)積分轉(zhuǎn)換為定積分，最后計(jì)算定積分的方法是《高等數(shù)學(xué)》課程中的已學(xué)內(nèi)容。

需要提醒學(xué)生注意的有以下幾點(diǎn)。1.積分曲線的參數(shù)方程要寫成復(fù)數(shù)表達(dá)式。如學(xué)生直接寫復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程有困難，則可先利用平面解析幾何的知識(shí)寫出實(shí)數(shù)形式的參數(shù)方程x=x(t)，y=y(t)，再由便得復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程。2.被積函數(shù)f(z)中的z用參數(shù)方程z=z(t)代換之后，微分同樣要做代換，即。3.積分曲線是有方向的曲線段，端點(diǎn)有起點(diǎn)和終點(diǎn)之別。最后定積分的上下限取決于曲線段的起終點(diǎn)，與參數(shù)的大小無(wú)關(guān)。具體而言，積分下限對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)，積分上限對(duì)應(yīng)曲線終點(diǎn)。二者不能混淆。

復(fù)積分的參數(shù)方程法，本質(zhì)上和實(shí)變函數(shù)第二類曲線積分（即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分）的計(jì)算方法是相同的。作為學(xué)習(xí)復(fù)積分的第一種方法，學(xué)生在復(fù)習(xí)已學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，是能夠較快掌握的。而該方法要求首先寫出積分曲線段的參數(shù)方程，因此它的適用范圍，便是積分曲線為規(guī)則曲線的情形。對(duì)于閉路積分而言，當(dāng)積分曲線為圓周或圓弧時(shí)，可試用參數(shù)方程法求積分。

解：積分曲線為圓周。故先寫出參數(shù)方程為z=z0+reiθ,θ:0→2π。代入原積分，化簡(jiǎn)得。為應(yīng)用牛頓―萊布尼茲公式，分兩種情況分別計(jì)算原函數(shù)，最后得。

例1是一系列重要結(jié)論的開(kāi)端。后文將其推廣成為重要公式后，在閉路復(fù)積分的計(jì)算中時(shí)經(jīng)常會(huì)用到。因此除了要求學(xué)生掌握計(jì)算方法之外，例1的結(jié)論也應(yīng)記住。特別要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，區(qū)分例1的兩種不同情況，不應(yīng)死記硬背n的取值，而應(yīng)弄清此時(shí)被積函數(shù)的具體形狀。

（二）柯西積分定理

柯西積分定理又稱柯西―古薩基本定理，在閉路復(fù)積分的計(jì)算中占有中心地位。首先它本身可用來(lái)計(jì)算某些特定的閉路積分。而它的一系列推論，如閉路變形原理、復(fù)合閉路定理等，則可用來(lái)計(jì)算更復(fù)雜的一些閉路積分。另外，柯西積分定理從本質(zhì)上刻畫了解析函數(shù)的特性，是溝通復(fù)變函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)的基本橋梁。

柯西積分定理是說(shuō)，若被積函數(shù)f(z)的所有奇點(diǎn)均位于積分閉曲線C之外，則閉路積分。因此在計(jì)算任何類型的閉路復(fù)積分時(shí)，首先要找出被積函數(shù)的所有奇點(diǎn)，確定它們和積分閉曲線的相對(duì)位置關(guān)系，即確定積分閉曲線之內(nèi)是否有或者有幾個(gè)被積函數(shù)的奇點(diǎn)。這是計(jì)算閉路復(fù)積分的一條鐵律。如果被積函數(shù)在積分閉曲線之內(nèi)和之上處處解析，那么根據(jù)柯西積分定理，可直接得出積分值即為0。這種情況下不需要任何計(jì)算步驟。

柯西積分定理最簡(jiǎn)單的一個(gè)應(yīng)用是如下的

【例2】若f(z)在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)處處解析，則對(duì)于任何閉曲線C，積分顯然滿足柯西積分定理的條件，于是。具體教學(xué)時(shí)，教師可用該例幫助學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)習(xí)的解析函數(shù)的內(nèi)容。例如，可讓學(xué)生嘗試自己寫出一些常見(jiàn)解析函數(shù)的具體實(shí)例。

另一個(gè)常用例子是例1的推廣。

（三）閉路變形原理

一般而言，柯西積分定理的條件過(guò)于理想和簡(jiǎn)化。在實(shí)踐應(yīng)用中需要計(jì)算閉路積分時(shí)，積分閉曲線大多都包含了被積函數(shù)的若干奇點(diǎn)。此時(shí)柯西積分定理的條件不再成立，需要用其它方法計(jì)算。閉路變形原理就是其中之一。

閉路變形原理是說(shuō)，只要從一條積分閉曲線1C連續(xù)變形到另一條積分閉曲線C2的過(guò)程中不經(jīng)過(guò)被積函數(shù)f(z)的任何奇點(diǎn)，那么當(dāng)1C和C2的方向相同時(shí)，就有。利用該原理，可將原閉路積分的不規(guī)則曲線變形為規(guī)則曲線，再用參數(shù)方程法計(jì)算其值。

事實(shí)上，我們可將之前的例1用閉路變形原理推廣成一個(gè)重要公式，在以后閉路復(fù)積分的計(jì)算中會(huì)經(jīng)常用到。

解：本例的積分閉曲線和例1的共同點(diǎn)在于都包圍z0，唯一區(qū)別是現(xiàn)在曲線的形狀任意。而利用閉路變形原理，可將積分曲線C變形為以z0為圓心、某正數(shù)r為半徑的正向圓周，積分的值不變。于是由例1的結(jié)論可得。

值得一提的是，在今后閉路積分的計(jì)算中，閉路變形原理本身并不經(jīng)常被直接用到。更常用的是例4的重要公式。原因是當(dāng)被積函數(shù)為有理分式時(shí)，都可用化部分分式的方法，將被積函數(shù)化簡(jiǎn)為例4中的情形。因此從理論上講，例4解決了絕大部分有理函數(shù)閉路積分的計(jì)算問(wèn)題。而在部分教材中，該重要公式只是在課文中一筆帶過(guò)，甚至沒(méi)有作為專門的定理或例題。因此教師在教學(xué)時(shí)更有必要通過(guò)多個(gè)實(shí)例的講解，強(qiáng)調(diào)該公式在計(jì)算應(yīng)用中的重要意義。

（四）復(fù)合閉路定理

將閉路變形原理推廣，就得到復(fù)合閉路定理：若積分閉曲線C中包含被積函數(shù)的孤立奇點(diǎn)z0,z1,...,zn，則可在C中作小的簡(jiǎn)單閉曲線C0,C1,...,Cn，分別僅圍繞孤立奇點(diǎn)z0,z1,...,zn，成立。

當(dāng)積分閉曲線C中僅包含被積函數(shù)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)時(shí)，復(fù)合閉路定理就成為閉路變形原理。由此可得復(fù)合閉路定理的適用范圍，是被積函數(shù)在積分閉曲線之內(nèi)的孤立奇點(diǎn)多于一個(gè)的情形。教師在講授該定理時(shí)，應(yīng)結(jié)合直觀的圖像，使學(xué)生明白它和閉路變形原理的區(qū)別，以免概念上的混淆。另外需要強(qiáng)調(diào)的是，被積函數(shù)的位于積分曲線之外的孤立奇點(diǎn)，對(duì)積分值沒(méi)有任何影響，因此不需要作小的閉曲線圍繞它們。需要考慮的僅僅是積分閉曲線之內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這里是學(xué)生極易犯的錯(cuò)誤之一。

解：被積函數(shù)的兩個(gè)孤立奇點(diǎn)1與 -1 都在C之內(nèi)，因此可用復(fù)合閉路定理。在C內(nèi)分別作正向的閉曲線1C僅圍繞1，C2僅圍繞 -1 。由復(fù)合閉路定理，原積分。再化部分分式，得原積分。最后用例4的重要公式與柯西積分定理分別計(jì)算其中的四個(gè)積分，得原積分==0。

一般有理函數(shù)的閉路積分都可用例6的方法計(jì)算。再進(jìn)一步分析，例6用了復(fù)合閉路定理后，為計(jì)算有理函數(shù)的積分，需要化部分分式。但也不妨一開(kāi)始就化部分分式，可直接得。也即如果要用部分分式的方法，可以直接用，沒(méi)有必要先用復(fù)合閉路定理再化部分分式（這樣會(huì)導(dǎo)致最后需要計(jì)算的積分個(gè)數(shù)較多）。如果事先用了復(fù)合閉路定理，那么往往要和下面的柯西積分公式相結(jié)合，計(jì)算會(huì)比較簡(jiǎn)便。

（五）柯西積分公式

柯西積分公式和之前的柯西積分定理，名稱僅二字之差，但所計(jì)算的積分類型是較不同的。柯西積分公式是說(shuō)，，這里積分曲線C為圍繞z0的任意簡(jiǎn)單閉曲線，取正向。而f(z)的所有奇點(diǎn)都位于C之外。換言之，f(z)在積分曲線C之內(nèi)和之上是處處解析的。

在教學(xué)時(shí)，公式的證明是次要的。教師需要向?qū)W生著重指出，柯西積分公式是例4的重要公式在n=0情形的推廣。兩者的唯一區(qū)別就在于被積函數(shù)的分子項(xiàng)，從例4的常數(shù)函數(shù)變?yōu)楝F(xiàn)在的一般函數(shù)f(z)。也即若此時(shí)的f(z)≡1，那么柯西積分公式就成為例4。而對(duì)積分曲線的要求是相同的。另外柯西積分公式也從本質(zhì)上刻畫了解析函數(shù)的特性，即解析函數(shù)的函數(shù)值可以寫成曲線積分的表達(dá)式。但從應(yīng)用的角度看，柯西公式的價(jià)值首先體現(xiàn)在計(jì)算閉路積分上。

另外由柯西積分公式的具體內(nèi)容可知，它的適用范圍，也是積分閉曲線C僅僅包圍被積函數(shù)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。且應(yīng)用公式之前，需要先將被積函數(shù)恒等變形成的形狀，驗(yàn)證公式的條件都滿足以后，才可寫出公式的結(jié)論。

解：在C內(nèi)分別作C1僅圍繞1，作C2僅圍繞 -1，均取正向。由復(fù)合閉路定理得原積分。以下用柯西積分公式計(jì)算這二個(gè)積分。

為此首先需要將被積函數(shù)變形為柯西公式中的形狀。注意到C1圍繞1 但不圍繞 -1，于是，也即在柯西公式中，z0=1，f(z)=。這時(shí)公式的條件都滿足，直接得到。類似可得。于是原積分=πi-πi=0。

（六）高階導(dǎo)數(shù)公式

高階導(dǎo)數(shù)公式在解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)和閉路積分之間建立了聯(lián)系。從計(jì)算的角度出發(fā)，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)是用高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算閉路復(fù)積分。教師應(yīng)向?qū)W生比較其與柯西積分公式的區(qū)別和聯(lián)系，指出它們的唯一不同即在于被積函數(shù)的分母。如果分母是一次冪函數(shù)，那就是柯西積分公式；如果分母的冪次大于一次，則為高階導(dǎo)數(shù)公式。換言之，若在高階導(dǎo)數(shù)公式中令n=0，則該公式即成為柯西公式。而其余條件：對(duì)積分曲線段的要求，被積函數(shù)分子項(xiàng)所滿足的條件，二者都是相同的。由此學(xué)生也就可以明確高階導(dǎo)數(shù)公式的適用范圍與具體使用步驟。

另外，既然柯西積分公式是高階導(dǎo)數(shù)公式的特例，在學(xué)習(xí)過(guò)程完成后，可將這兩個(gè)公式視為一個(gè)整體。事實(shí)上，在較高階的專業(yè)教材中，往往將它們統(tǒng)稱為“柯西積分公式”，如教材[2]。但從初學(xué)者的角度出發(fā)，特別是對(duì)非數(shù)學(xué)專業(yè)的理工科學(xué)生而言，還是應(yīng)將它們分開(kāi)學(xué)習(xí)。循序漸進(jìn)，由淺入深，先易后難，才能收到良好的學(xué)習(xí)效果。

解：積分曲線中只包含被積函數(shù)的一個(gè)奇點(diǎn)1,因此由高階導(dǎo)數(shù)公式，得原積分。

（七）留數(shù)定理

留數(shù)定理是說(shuō)，沿正向曲線的閉路復(fù)積分的取值等于被積函數(shù)在曲線內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)之和。即，這里z0,z1,...,zn為f(z)在積分閉曲線C內(nèi)的所有孤立奇點(diǎn)。留數(shù)定理溝通了復(fù)變函數(shù)的微分學(xué)、積分學(xué)和級(jí)數(shù)理論，是《復(fù)變函數(shù)》課程的一個(gè)帶有總結(jié)性質(zhì)的重要定理。從計(jì)算閉路積分的角度看，它也是對(duì)前述各方法的一個(gè)小結(jié)。教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)著重指出，留數(shù)定理是前述各定理與方法的推廣。學(xué)生不應(yīng)孤立的將其看成全新的方法，而是應(yīng)趁學(xué)習(xí)留數(shù)定理的時(shí)機(jī)，系統(tǒng)總結(jié)閉路積分的各種計(jì)算方法，弄清它們彼此之間的聯(lián)系，最終達(dá)到融會(huì)貫通的學(xué)習(xí)效果。

例如，柯西積分定理是留數(shù)定理的特例：若被積函數(shù)f(z)的所有奇點(diǎn)均位于積分閉曲線C之外，那么根據(jù)留數(shù)定理，此時(shí)沒(méi)有任何留數(shù)需要計(jì)算，自然等于0。這正是柯西積分定理的結(jié)果。

而復(fù)合閉路定理實(shí)質(zhì)是留數(shù)定理的一種等價(jià)敘述方式:當(dāng)閉曲線Ci僅僅圍繞孤立奇點(diǎn)zi時(shí)，根據(jù)留數(shù)的定義與性質(zhì)，f(z)在zi處的留數(shù)處恰為積分，于是。這正是復(fù)合閉路定理。

而留數(shù)定理也是柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式的推廣。例如在柯西積分公式的條件下，對(duì)于被積函數(shù)，若f(z0)≠0，則z0是的一級(jí)極點(diǎn)，。若f(z0)=0，則z0是的可去奇點(diǎn)，。不論何種情況，均有，即為柯西積分公式。高階導(dǎo)數(shù)公式的情形與此類似。學(xué)生如能清楚說(shuō)明留數(shù)定理和前述方法的聯(lián)系，并能根據(jù)閉路積分的具體情形選取合適的計(jì)算方法，那么可以說(shuō)，對(duì)《復(fù)變函數(shù)》課程內(nèi)容的理解就上了一個(gè)臺(tái)階。

以下用一個(gè)一題多解的實(shí)例，作為閉路復(fù)積分眾多計(jì)算方法的小結(jié)。

解一：積分曲線中包含被積函數(shù)的兩個(gè)孤立奇點(diǎn)1與0,因此由復(fù)合閉路定理，，這里正向閉曲線C1僅圍繞1，正向閉曲線C2僅圍繞0。再由柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式，得。

解二：注意到被積函數(shù)的分母為多項(xiàng)式，因此類似化部分分式的方法，先得。于是。再由柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式，得。

解三：積分曲線中包含被積函數(shù)的兩個(gè)孤立奇點(diǎn)1 與0,因此也可直接用留數(shù)定理，得。

三、小結(jié)

閉路復(fù)積分的計(jì)算在《復(fù)變函數(shù)》課程的教學(xué)內(nèi)容中占有重要地位。在教學(xué)中若能注重比較不同定理和方法的區(qū)別，使學(xué)生明確它們之間的邏輯關(guān)聯(lián)，并根據(jù)積分的不同類型選擇相應(yīng)的計(jì)算方法，則可收到事半功倍的教學(xué)效果。