利用頻譜相位最大值自適應(yīng)定位全息正一級(jí)頻譜

黨長(zhǎng)營(yíng)，李建素*，趙鵬飛，許 泰

（1.中北大學(xué) 先進(jìn)制造技術(shù)山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030051；2.中北大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030051）

1 引 言

數(shù)字全息顯微術(shù)具有非侵入、全場(chǎng)、實(shí)時(shí)等優(yōu)勢(shì)，廣泛地應(yīng)用于MEMS檢測(cè)［1］、聚合物生長(zhǎng)［2］、疾病診斷［3-5］和粒子跟蹤［6-7］等領(lǐng)域。數(shù)字全息顯微術(shù)的光路結(jié)構(gòu)包括同軸全息和離軸全息。為了消除再現(xiàn)像中的零級(jí)衍射像和共軛像，同軸和離軸全息常用的方法分別是相移技術(shù)［8］和頻譜濾波技術(shù)［9-12］。其中，相移技術(shù)利用高精度壓電陶瓷實(shí)現(xiàn)參考光波的相移，能夠很好地去除零級(jí)衍射像和共軛像，但易受環(huán)境干擾，且受實(shí)時(shí)性要求的限制。頻譜濾波技術(shù)通過(guò)提取全息正一級(jí)頻譜，實(shí)現(xiàn)零級(jí)衍射像和共軛像的消除，且僅需要一幅全息圖，因此頻譜濾波技術(shù)具有一定的優(yōu)勢(shì)。在頻譜濾波技術(shù)中，準(zhǔn)確地提取全息頻譜的正一級(jí)頻譜是實(shí)現(xiàn)全息測(cè)量的關(guān)鍵技術(shù)之一。

近年來(lái)，為了滿足數(shù)字全息自動(dòng)測(cè)量的需求，自適應(yīng)頻譜濾波方法被提出［9-14］。這種方法主要包括區(qū)域分割和區(qū)域定位兩部分內(nèi)容。不同的自適應(yīng)頻譜濾波方法基于不同的原理實(shí)現(xiàn)區(qū)域分割，但區(qū)域定位常常以先驗(yàn)?zāi)０鍨V波窗或者已知參考光波傾斜角度作為先決條件［9-14］，來(lái)實(shí)現(xiàn)正一級(jí)頻譜的定位和自適應(yīng)提取。由此可知，實(shí)現(xiàn)正一級(jí)頻譜的自適應(yīng)和高精度定位是實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)和高精度的頻譜濾波的前提條件。2015年，Li等［12］提出一種基于區(qū)域增長(zhǎng)的自適應(yīng)頻譜濾波方法，該方法利用區(qū)域增長(zhǎng)實(shí)現(xiàn)正一級(jí)頻譜的識(shí)別和提取。它利用全息頻譜振幅的極大值作為區(qū)域增長(zhǎng)的中心，通過(guò)全息頻譜振幅的灰度直方圖獲得區(qū)域增長(zhǎng)的閾值，從而實(shí)現(xiàn)全息頻譜振幅的正一級(jí)頻譜的提取。全息頻譜振幅存在兩個(gè)極大值：一個(gè)是正一級(jí)頻譜振幅的極大值，一個(gè)是負(fù)一級(jí)頻譜振幅極大值。因此，Li等根據(jù)已知全息測(cè)量系統(tǒng)參考光波的傾斜角度來(lái)選擇正一級(jí)頻譜振幅的極大值，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)正一級(jí)頻譜的自適應(yīng)提取。2016年，He等［13］提出一種基于區(qū)域識(shí)別的自動(dòng)頻譜濾波方法，利用全息頻譜振幅的全局閾值作為初閾值，通過(guò)該閾值對(duì)全息頻譜圖進(jìn)行二值化，判斷二值化后圖像有幾個(gè)獨(dú)立區(qū)域。若區(qū)域個(gè)數(shù)不等于3，則以全局閾值的1%為步長(zhǎng)的增長(zhǎng)值，再次對(duì)頻譜圖進(jìn)行二值化，以此方式迭代，直到將頻譜圖分割為三個(gè)區(qū)域，停止迭代。之后，利用先驗(yàn)?zāi)０鍨V波窗來(lái)獲得目標(biāo)區(qū)域，最終實(shí)現(xiàn)正一級(jí)頻譜的提取，并完成自適應(yīng)頻譜濾波，但在該方法中，需要設(shè)定先驗(yàn)?zāi)０鍋?lái)定位目標(biāo)區(qū)域。2019年，Xiao等［14］提出一種基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)頻譜濾波。首先消除零級(jí)衍射像，再截取全息頻譜圖的1/2，以此消除零級(jí)衍射像和共軛像的干擾；之后將截取的1/2頻譜輸入卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，進(jìn)而獲得二值化后的濾波模板；然后將二值化后的濾波模板和截取的1/2頻譜卷積，從而實(shí)現(xiàn)離軸全息顯微術(shù)中正一級(jí)頻譜的提取。該方法的第一步即是截取包含正一級(jí)頻譜的1/2頻譜圖，但并未明確指出提取左側(cè)1/2頻譜振幅的依據(jù)。基于上述分析可知，常用的自適應(yīng)頻譜濾波方法過(guò)分依賴已知參考光波傾斜角度或者先驗(yàn)?zāi)０鍨V波窗，來(lái)實(shí)現(xiàn)正一級(jí)頻譜區(qū)域的定位，并未徹底實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)頻譜濾波。

為了解決上述問(wèn)題，本文理論分析了預(yù)放大全息的頻譜相位的分布特點(diǎn)，得到了頻譜相位的最大值與正一級(jí)頻譜區(qū)域的關(guān)系，提出了依據(jù)頻譜相位的最大值來(lái)定位正一級(jí)頻譜區(qū)域的思想，為全息自適應(yīng)頻譜濾波提供一種可自適應(yīng)判別和定位正一級(jí)頻譜區(qū)域的方法。

2 全息成像原理

數(shù)字全息顯微系統(tǒng)的坐標(biāo)關(guān)系如圖1所示，物體經(jīng)過(guò)顯微物鏡（MO）之后與平面參考光波在固態(tài)圖像傳感器（CCD）面干涉形成全息圖。

設(shè)相位型物體的光波分布為：

則通過(guò)顯微物鏡后的物光波分布可表示為：

式中：

qM表示物像關(guān)系，k是波數(shù)，k=2π/λ，λ是介質(zhì)中的光波長(zhǎng)；d1是物平面與顯微物鏡的距離，d2是顯微物鏡與CCD平面的距離。

圖1 預(yù)放大離軸全息坐標(biāo)示意圖Fig.1 Schematic diagram of off-axis pre-magnification configuration

參考光波在CCD面的復(fù)振幅分布為：

式中：α和β分別是參考光波沿x和y軸的夾角。

物光波和參考光波在CCD面干涉形成的全息圖強(qiáng)度分布可表示為：

式中：*是共軛項(xiàng)。對(duì)式（4）兩邊做傅里葉變換可到全息圖的頻譜分布為：

3 頻譜相位最大值定位正一級(jí)頻譜

3.1 頻譜相位最大值分析

在數(shù)字全息顯微術(shù)中，對(duì)全息圖做傅里葉變換可得到一個(gè)復(fù)振幅，求其幅值得到全息圖的頻譜振幅；對(duì)該復(fù)函數(shù)求反正切函數(shù)、相位解包裹之后獲得連續(xù)相位，稱為全息圖的頻譜相位。

以像面全息為例，對(duì)全息頻譜相位進(jìn)行分析，像面全息圖的強(qiáng)度分布為［16］：

式（7）由兩個(gè)強(qiáng)度項(xiàng)和兩個(gè)干涉項(xiàng)組成，其中干涉項(xiàng)包括一個(gè)二次相位因子，沿x和y方向的傾斜因子，以及一個(gè)相位常數(shù)。

對(duì)式（7）兩邊做傅里葉變換可得到像面全息圖的頻譜為：

式中：?為卷積符號(hào)。整理式（8）可得：

根據(jù)式（9）可得，頻譜的相位分布是二次相位函數(shù)與樣本傅里葉變換的卷積，平移量由決定。對(duì)式（9）求反正切，可獲得全息頻譜的相位分布為：

該頻譜相位是位于［-π，π］的主值區(qū)域中，可通過(guò)兩次離散余弦變換法［17］獲得連續(xù)的頻譜相位，并利用澤尼克擬合法［18］消除二次相位函數(shù)引入的二次相位因子。

全息頻譜的零級(jí)頻譜為δ函數(shù)，正一級(jí)頻譜和負(fù)一級(jí)頻譜是由二次相位函數(shù)、平移量函數(shù)和物體相位常數(shù)的傅里葉變換卷積而成的。其中，二次相位函數(shù)是顯微物鏡引入的二次相位因子的傅里葉變換。平移函數(shù)是參考光波引入的，目的是保證零級(jí)頻譜、正一級(jí)頻譜和負(fù)一級(jí)頻譜的分離，進(jìn)而保證零級(jí)衍射像、實(shí)像和共軛像的分離。在全息頻譜相位中，零級(jí)頻譜為脈沖函數(shù)，正一級(jí)頻譜對(duì)應(yīng)的（式（9）的第二項(xiàng)）相位值為正，因此頻譜相位的最大值必然處于正一級(jí)頻譜的中心；負(fù)一級(jí)頻譜對(duì)應(yīng)的（式（9）的第三項(xiàng)）相位值為負(fù)。

綜上所述，可利用頻譜相位的最大值來(lái)定位正一級(jí)頻譜的中心，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)正一級(jí)頻譜區(qū)域的定位。

3.2 利用頻譜相位最大值定位正一級(jí)頻譜

根據(jù)全息的頻譜振幅特點(diǎn)，可利用圖像閾值分割法將頻譜振幅分為3個(gè)區(qū)域，從左到右依次設(shè)為R1，R2和R3，如圖2所示。這3個(gè)區(qū)域包括正一級(jí)、負(fù)一級(jí)和零級(jí)頻譜。其中，R2區(qū)域?qū)?yīng)于零級(jí)頻譜，R1和R3為正一級(jí)或負(fù)一級(jí)頻譜，但具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系不能從頻譜振幅中識(shí)別出來(lái)。因此，常用的自適應(yīng)頻譜濾波方法需要依賴已知參考光波傾斜角或者先驗(yàn)?zāi)０鍨V波窗來(lái)實(shí)現(xiàn)區(qū)域R1或R3與正一級(jí)頻譜的對(duì)應(yīng)，最后提取出正一級(jí)頻譜。

本文利用頻譜相位的最大值來(lái)定位正一級(jí)頻譜區(qū)域。首先，計(jì)算頻譜相位的最大值與頻譜振幅3個(gè)區(qū)域重心的距離，得到3個(gè)距離值；然后，判斷3個(gè)距離中最小距離所對(duì)應(yīng)的區(qū)域，該區(qū)域即為正一級(jí)頻譜區(qū)域，從而實(shí)現(xiàn)正一級(jí)頻譜的自適應(yīng)定位。

圖2 全息頻譜振幅分布示意圖Fig.2 Schematic diagram for distribution of spectral amplitude in digital holography

設(shè)頻譜相位的最大值坐標(biāo)為Pmp（xmp，ymp），如圖2中星形符所示。設(shè)頻譜振幅的3個(gè)獨(dú)立區(qū)域的重心坐標(biāo)為Ci（xi，yi），i=1，2，3，則R1，R2和R3區(qū)域的重心坐標(biāo)分別為C1（x1，y1），C2（x2，y2）和C3（x3，y3），如圖2中圓圈所示。C1（x1，y1），C2（x2，y2）和C3（x3，y3）與Pmp的距離分別為D1，D2和D3，則Pmp與重心坐標(biāo)Ci的距離Di可表示為：

式中Di的單位為像素。

設(shè)頻譜相位最大值點(diǎn)坐標(biāo)與區(qū)域重心坐標(biāo)距離的最小距離為Ddesired，則有：

式中min為求最小值函數(shù)。

由式（11）和式（12）可知，找到Ddesired，也就找到與點(diǎn)Pmp距離最近的區(qū)域，即找到了正一級(jí)頻譜所處的區(qū)域，從而完成正一級(jí)頻譜區(qū)域的自動(dòng)定位，整個(gè)定位過(guò)程無(wú)須人工干預(yù)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

預(yù)放大數(shù)字全息系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)光路如圖3所示。He-Ne激光器發(fā)出的光經(jīng)過(guò)λ/2波片和偏振分光棱鏡（PBS）分為兩束，一束經(jīng)λ/2波片和擴(kuò)束鏡（Expander2）擴(kuò)束準(zhǔn)直后作為參考光波（R）；另一束經(jīng)擴(kuò)束鏡（Expander1）擴(kuò)束準(zhǔn)直后直接照射物體并被顯微物鏡（MO）放大后作為物光波（O），物光波與參考光波經(jīng)分光棱鏡合束后在CCD面干涉形成全息圖。M1和M2均為反射鏡。

圖3 預(yù)放大數(shù)字全息系統(tǒng)的光路Fig.3 Optical path of off-axis transmission digital holographic microscopy

以微孔陣列和相位臺(tái)階為樣本，獲得如圖4所示的全息圖及其頻譜圖。其中，微孔陣列的孔直徑為15μm、孔中心距為80μm、微孔深度為564 nm；相位臺(tái)階的長(zhǎng)為105μm、寬為30μm、深度為360 nm。對(duì)微孔陣列和相位臺(tái)階的全息頻譜相位求最大值，得到兩樣本的頻譜相位最大值點(diǎn)，如圖4（b）中星形符標(biāo)注，坐標(biāo)分別為（172，78）和（185，175），如圖4（c）所示。在頻譜相位中找到的最大值點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)頻譜振幅中的正一級(jí)頻譜的中心位置，如圖4（c）的星形符號(hào)所示。

為驗(yàn)證所定位的正一級(jí)頻譜的準(zhǔn)確性，以常用自適應(yīng)頻譜濾波方法［13］中的區(qū)域分割方法為例，進(jìn)行區(qū)域分割之后，再利用頻譜相位最大值來(lái)定位和提取正一級(jí)頻譜，并進(jìn)行數(shù)值重構(gòu)。首先，利用全局閾值分步迭代法［13］將微孔陣列和相位臺(tái)階的全息頻譜振幅分割為3個(gè)獨(dú)立的區(qū)域，如圖5（a）所示。利用式（11）可獲得圖4（c）中的正一級(jí)頻譜中心點(diǎn)坐標(biāo)與圖5（a）中的3個(gè)區(qū)域重心的距離，如表1所示。利用最小距離對(duì)應(yīng)區(qū)域的邊界實(shí)現(xiàn)正一級(jí)頻譜區(qū)域的提取，如圖5（b）所示。在表1中，R1，R2和R3區(qū)域的重心坐標(biāo)C1（x1，y1），C2（x2，y2）和C3（x3，y3），C3（x3，y3）與Pmp的距離分別為D1，D2和D3。

由表1可知，微孔陣列和相位臺(tái)階的兩個(gè)區(qū)域重心與頻譜相位最大值點(diǎn)的最小距離分別為0.5和7.2，均對(duì)應(yīng)其頻譜的R3區(qū)域，也就是說(shuō)微孔陣列的R3區(qū)域和相位臺(tái)階的R3區(qū)域?yàn)檎患?jí)頻譜。因此，可利用R3區(qū)域的輪廓提取正一級(jí)頻譜，之后采用角譜法進(jìn)行數(shù)值重構(gòu)，并利用澤尼克擬合方法消除相位誤差，最終得到微孔陣列和相位臺(tái)階的三維重構(gòu)，如圖5（c）所示。

為了分析三維重構(gòu)像的尺寸精度，取圖5（c）的一個(gè)橫截面如圖6所示。由圖6可知，微孔陣列的孔直徑為14.2μm、孔中心距為80.3μm、孔深度為554.9 nm、相應(yīng)的高度標(biāo)準(zhǔn)差為8.6 nm。由此表明，本文方法測(cè)量微孔陣列的橫向誤差在1μm以內(nèi)、高度標(biāo)準(zhǔn)偏差僅為1.5%；相位臺(tái)階長(zhǎng)108.7μm、寬30.9μm、深353.3 nm，相應(yīng)的高度標(biāo)準(zhǔn)差為15.1 nm。該方法測(cè)量相位臺(tái)階的橫向誤差為3.7μm、高度標(biāo)準(zhǔn)偏差為4.2%。從上述兩組實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，利用本文方法定位正一級(jí)頻譜是準(zhǔn)確的。最重要的是，利用該方法定位正一級(jí)頻譜區(qū)域后，自適應(yīng)頻譜濾波方法不再依賴先驗(yàn)?zāi)０鍨V波窗或參考光波傾斜角度等先驗(yàn)條件，提高了頻譜濾波的自適應(yīng)性。

圖5 頻譜濾波及三維重構(gòu)像Fig.5 Spatial filtering and 3D reconstruction profiles

圖6 重構(gòu)像的輪廓Fig.6 Reconstruction profile

進(jìn)一步地，為了分析本文所提方法對(duì)測(cè)量分辨率的影響，以USAF1951分辨率板為樣本，比較了本文方法與先驗(yàn)?zāi)０鍨V波窗［13］截取正一級(jí)頻譜法獲得的全息重構(gòu)圖像。圖3中的顯微物鏡放大率為10倍、數(shù)值孔徑為0.2，本文實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的橫向分辨率為1.54μm（Δx=0.61nmλ/N A），實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示（彩圖見(jiàn)期刊電子版）。圖7（a）記錄了分辨率板第6～9組的全息圖。圖7（b）中紅色濾波窗（Auto）為本文所提方法獲得的濾波窗、藍(lán)色圓形濾波窗（MB）為先驗(yàn)?zāi)０鍨V波窗。對(duì)以上兩種濾波窗截取的正一級(jí)頻譜進(jìn)行數(shù)值重構(gòu)，獲得的重構(gòu)圖像如圖7（c）和7（d）所示。從圖中可知，分辨率板的第6和7組靶線清晰，能被分辨出來(lái)。在圖7（c）中，第8組第2單元靶線，即線寬為1.74μm能被分辨，如圖7（e）所示。而在圖7（d）中，第8組第2單元靶線卻不能被分辨，如圖7（f）所示。為了更清晰地比較重構(gòu)圖像的質(zhì)量，圖8給出了分辨率板重構(gòu)圖像中第8組第2單元的靶線輪廓圖。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法的分辨率達(dá)到1.74μm，而利用先驗(yàn)?zāi)０鍨V波窗僅能分辨第8組第1單元的靶線，線寬為1.95μm。本文方法獲得的重構(gòu)像的分辨率更逼近實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的分辨率（1.54μm）。需要說(shuō)明的是，由于先驗(yàn)?zāi)０鍨V波窗不同，獲得的重構(gòu)結(jié)果也會(huì)不同。綜上所述，本文方法有效地避免了人為干擾因素的影響，能夠自適應(yīng)地獲得全息重構(gòu)圖像，且重構(gòu)圖像的分辨率逼近實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。

圖7 USAF1951分辨率板的重構(gòu)結(jié)果：（a）全息圖；（b）本文方法和先驗(yàn)?zāi)０鍨V波窗，Auto代表本文所提的自適應(yīng)濾波窗，MB代表先驗(yàn)?zāi)０鍨V波窗；（c）自適應(yīng)頻譜濾波窗獲得的三維重構(gòu)圖像；（d）先驗(yàn)?zāi)０鍨V波窗獲得的三維重構(gòu)圖像；（e）（c）圖的部分放大圖；（f）（d）圖的部分放大圖Fig.7 Reconstruction images of USAF 1951 resolution chart：（a）Hologram；（b）Filtering windows，MB and Auto represent filtering windows of the prior template filtering and adaptive spatial filtering of this paper，respectively；（c）and（d）are the reconstructed intensity images of adaptive spatial filtering and the prior template filtering，respectively；（e）Enlarged region labeled in（c）；（f）Enlarged region labeled in（d）

圖8 分辨率板第8組第2單元重構(gòu)靶線的一維輪廓Fig.8 One-dimensional intensity profiles of element 2 of group 8 in reconstructed intensity images

5 結(jié) 論

本文對(duì)全息頻譜進(jìn)行了理論分析，通過(guò)全息的頻譜相位的理論分析及其頻譜相位和頻譜振幅的分布特點(diǎn)，提出了利用頻譜相位的最大值定位正一級(jí)頻譜區(qū)域的方法。通過(guò)微孔陣列和相位臺(tái)階的重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，得到了微孔陣列的高度標(biāo)準(zhǔn)偏差僅為1.5%；相位臺(tái)階的高度標(biāo)準(zhǔn)偏差為4.2%，證明了本文方法能夠精確地定位正一級(jí)頻譜區(qū)域。此外，通過(guò)USAF1951分辨率板的重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，論證了本文方法獲得的重構(gòu)圖像比基于先驗(yàn)?zāi)０鍨V波窗獲得的重構(gòu)圖像的質(zhì)量更好，分辨率達(dá)到1.74μm。本文方法解決了自適應(yīng)頻譜濾波區(qū)域定位時(shí)依賴先驗(yàn)?zāi)０鍨V波窗或者參考光波傾斜角的問(wèn)題，避免了人為因素帶來(lái)的誤差影響，為全息自適應(yīng)頻譜濾波及自適應(yīng)測(cè)量等提供了方法和數(shù)據(jù)支撐。