□張冬萍
從《義務教育數(shù)學課程標準(2011 年版)》到《義務教育數(shù)學課程標準(2022 年版)》,課程總目標都強調(diào):“獲得適應未來生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?!逼渲小盎净顒咏?jīng)驗”的要求,進一步豐富了數(shù)學教育的內(nèi)涵。所謂“基本活動經(jīng)驗”就是在數(shù)學目標的指引下,通過對具體的事物進行實際操作、考察和思考,從感性向理性飛躍時所形成的認識(張奠宙,2008)?;净顒咏?jīng)驗的積累過程是學生主動探索的過程。學生有了這樣的基本活動經(jīng)驗,可以加深對數(shù)學知識的理解,發(fā)展創(chuàng)新意識,提高綜合運用能力。
在現(xiàn)行的小學數(shù)學教材中,有不少的教學內(nèi)容需要學生經(jīng)歷這種實驗探究過程,以實現(xiàn)積累“基本活動經(jīng)驗”的目標。如在《圓錐的體積》公式推導教學中,教師通常會帶領(lǐng)學生簡單開展操作、驗證的活動,即用圓錐裝沙三次,倒入與它等底等高的圓柱中,正好裝滿,所以圓錐體積等于與它等底等高圓柱體積的三分之一。這樣的教學存在以下問題。
問題一:圓錐體積的大小究竟與哪些因素有關(guān)?學生并不清楚,只是簡單套用公式。
問題二:為什么要“等底等高”,學生并不理解,只能硬記。
問題三:從實驗研究角度看,沒有體現(xiàn)“因變量”與“自變量”之間的關(guān)系,缺乏過程體驗,缺乏用多種路徑來推導體積計算方法,影響學生探究能力、應用能力的發(fā)展。
在小學數(shù)學實驗教學中,如何讓學生經(jīng)歷實驗探究過程呢?下面以《圓錐的體積》公式推導為例,談一談實驗教學的過程及其教學要點。
通過“觀察—猜想—比較”的學習過程,將兩組不同的對象進行比較,發(fā)現(xiàn)圓錐體積與高、底面積兩個因素有關(guān)。
【教學片段】
師(出示各種大小不一的圓錐):圓錐的體積有大有小,請大家猜想一下,圓錐體積的大小與什么有關(guān)?(生答)
師:觀察下列各組圓錐(分組出示),它們之間有什么聯(lián)系?每組中的圓錐哪個體積大?哪個體積?。繄A錐體積的大小與什么因素有關(guān)?(如圖1、圖2)
圖1
學生通過觀察、比較,發(fā)現(xiàn)第1組(如圖1)中的三個圓錐,它們的高相等,底面積大小不同,底面積越大,體積也越大,從中體會圓錐體積的大小與底面積大小有關(guān)。通過觀察、比較第2 組(如圖2)中的三個圓錐,它們的底面積大小相同,高不同,高越長,圓錐的體積也越大,進一步體會到圓錐體積的大小與它的高有關(guān)。通過這樣的觀察、比較,學生自主發(fā)現(xiàn)影響圓錐體積大小的因素是底面積與高。
【教學思考】
通過“高相等底不等”“底相等高不等”兩組圓錐實物的觀察、比較,學生能自主發(fā)現(xiàn)影響圓錐體積大小的因素是圓錐的底與高,為后續(xù)研究“圓錐的體積與它的底、高有什么關(guān)系”“為什么要等底等高”打下基礎(chǔ)。同時在這一過程中,通過控制兩個變量,進一步掌握實驗探究的基本方法,提高實驗探究的技能。
學生通過選擇不同的實驗,發(fā)現(xiàn)雖然過程各不相同,但得到的結(jié)論是一樣的。在交流、討論中感悟推導的道理。
【教學片段】
1.引導實驗,運用實驗結(jié)果推導計算方法
圓錐底面積大小、高的長短是決定體積大小的因素,那么它們之間有什么關(guān)系呢?或者說怎樣通過底面積、高求出圓錐的體積呢?教師請每個小組選擇5 個圓錐中的一個或幾個,以及對應圓柱,通過實驗的方法推導出圓錐體積計算的公式。
實驗提示:(1)把你所選的圓錐底面半徑看作r,圓錐高看作h,對應比較的圓柱,圓柱的底面半徑用含有r 的式子表示,圓柱的高用含有h 的式子表示。
(2)這5個圓錐體積計算方法推導的難度是不同的。
☆:①號 ☆☆:③⑤號 ☆☆☆:②④號
(3)在所選的圓錐中裝滿沙子,再倒入圓柱體中,根據(jù)倒的次數(shù),推導出圓錐體積計算公式。
學生實驗推導過程與方法。
方法1:用①號圓錐裝滿沙子,倒入圓柱容器,正好三次注滿。通過實驗發(fā)現(xiàn),所選圓錐體積是這個圓柱體積的三分之一,所選的圓錐與圓柱正好是等底等高(如圖3)。
圖2
方法2:用③號圓錐裝滿沙子,倒入圓柱容器,正好可以注滿3 個圓柱容器。所選圓錐是這個圓柱體積的3倍(如圖4)。
圖3
圖4
方法3:用⑤號圓錐裝滿沙子,倒入圓柱容器,正好一次就將圓柱注滿。所選圓錐的體積正好是這個圓柱的體積(如圖5)。
圖5
方法5:用④號圓錐裝滿沙子,倒入圓柱容器,一次能注滿圓柱容器的,或者3 次能注滿2 個圓柱容器。所選圓錐的體積是這個圓柱體積的(如圖7)。
圖6
圖7
關(guān)系表示
2.反饋交流中討論
在學生的反饋交流中,教師適時追問:“畫框部分是依據(jù)什么得到的?”使得學生進一步明確依據(jù)實驗結(jié)果進行推導的道理。
最后歸納得出:圓錐體積等于與它等底等高圓柱體積的三分之一。
【教學思考】
1.星級導學,激發(fā)學生的實驗探究熱情
用5 組不同的圓錐來推導體積計算方法,難度各不相同,其中用①號圖推導最簡單,也是最基本的,②④號最難。不同難度層次的實驗探究材料,能滿足不同認知水平學生的需求。筆者在一次教學實踐中,將全班分成10 個四人小組,讓學生自主選擇實驗探究材料,有5 組學生選用①號圖,3 組學生選用③號圖或⑤號圖,有2 組學生運用②號圖或④號圖,每個組都推導出圓錐體積計算公式,其中有一個組在選用①號圖完成任務后,又用④號圖實驗推導出計算公式。每個組都經(jīng)歷了實驗、推導的過程,使不同的學生有不同的發(fā)展,并通過交流反饋,共享其他組的研究成果,開闊了學生探究視野。
2.架設(shè)腳手架,為學生順利探究鋪路
三條實驗探究的提示語,尤其是第一條“把你選的圓錐底面半徑看作r,圓錐高看作h,對應比較的圓柱,圓柱的底面半徑用含有r的式子、表示圓柱的高用含有h的式子表示?!崩眠@樣的提示,學生可以減少實驗探究的盲目性,能成功地推導出體積計算公式,使得實驗探究過程更有效。
3.實驗過程交流,開拓學生探究視野
通過實驗探究過程的反饋交流,學生不僅展示了自己的研究成果,獲得了成功的喜悅,而且在聆聽其他同學的研究成果中,感悟到解決同一問題可以用不同的方式,真是“條條大路通羅馬”。無論用哪種方式,在推導計算方法時都要依據(jù)實驗結(jié)果,并與底面積、高建立聯(lián)系,進而推導出圓錐體積計算公式。
4.適時討論,加深對圓錐與圓柱關(guān)系的理解
在學生反饋中,教師追問“畫框部分是依據(jù)什么得到的”,使得學生進一步明確依據(jù)實驗結(jié)果進行推導的道理,并依據(jù)實驗結(jié)果,將體積與底面半徑、高建立聯(lián)系,進而得到圓錐體積的計算公式。
在對“這個公式中的πr2h 表示的是什么”并結(jié)合圖式進行解釋的過程中,學生認識到每一種推導方法中的“πr2h”都是對應的與所選的圓錐等底等高的圓柱體積,加深了對“等底等高”必要性的理解。
實驗探究活動結(jié)束后,教師應及時引導學生對探究過程、探究方法進行梳理。學生能在反思過程中,積累基本活動經(jīng)驗,感悟數(shù)學思想。
【教學片段】
師:想一想,剛才是如何運用實驗探究推導出圓錐體積的計算公式的?
生:猜想圓錐體積大小與什么有關(guān),觀察實物,驗證猜想。
生:通過倒沙子實驗操作,看一看所選的圓錐要幾次才能把圓柱容器注滿。
生:用實驗結(jié)果來推導出計算公式。
師:在推導圓錐體積計算公式時,要借助于什么物體來推導?
生:圓柱體。
師:推導圓錐體積公式我們都借助于圓柱,圓柱體積是我們已學的、已知的,把未知的圓錐轉(zhuǎn)化為已知的圓柱來找到計算體積的方法,這是我們數(shù)學中常用的思維方式——化歸思想,就是把新的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學過的內(nèi)容。在以后的學習中如果遇到新的內(nèi)容無法解決時,就可以試著轉(zhuǎn)化為以前學過的內(nèi)容,這樣往往就可以找到解決問題的途徑。
【教學思考】
在實驗探究教學中,有不少教師認為,當要探究的問題得到解決后,探究過程也就結(jié)束了,緊接著的就是應用探究結(jié)果解決問題。殊不知,對探究過程、探究方法的反思是積累基本活動經(jīng)驗的重要途徑。本課中,當學生得出結(jié)論后,教師引導學生反思“想一想,剛才是如何運用實驗方法推導出圓錐體積的計算公式的”,通過梳理探究過程與方法,讓學生進一步體會到探究中常常要對探究對象作出猜想,要通過實驗、推理、驗證等思維過程,判斷猜想是否正確,要依據(jù)實驗結(jié)果推導計算公式,運用化歸思想將未知的轉(zhuǎn)化為已知的,新內(nèi)容轉(zhuǎn)化為已學內(nèi)容。對于學生而言,經(jīng)歷了這些過程,獲得了一些實驗的經(jīng)驗,通過反思,逐漸積淀了一些比知識更為重要的數(shù)學思想,對今后的學習、工作都能起到積極的作用。
經(jīng)驗來自于經(jīng)歷,在實驗探究教學中,教師應多設(shè)計一些讓學生親身經(jīng)歷探究過程的環(huán)節(jié),學生在猜想、驗證、推理、交流中積累數(shù)學的基本活動經(jīng)驗,在教師追問中引發(fā)學生討論,充分理解數(shù)學的知識與方法,在引導反思探究過程中掌握一些基本的數(shù)學思想,堅持這樣做,“四基”的目標要求才能落到實處,才能真正發(fā)展學生解決問題的能力。