“長(zhǎng)×寬”為什么等于“長(zhǎng)方形的面積”

□郜舒竹 李 娟

我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”屬于圖形與幾何領(lǐng)域中圖形測(cè)量的內(nèi)容。中華人民共和國(guó)教育部于2022 年4 月21 日頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《2022年版課標(biāo)》）中，將這一內(nèi)容安排在第二學(xué)段（3~4 年級(jí)），學(xué)段目標(biāo)描述為“經(jīng)歷平面圖形的周長(zhǎng)和面積的測(cè)量過(guò)程，探索長(zhǎng)方形周長(zhǎng)和面積的計(jì)算方法”[1]。為了將“經(jīng)歷”與“探索”的活動(dòng)落實(shí)到教材編寫(xiě)以及教學(xué)實(shí)踐中，首先需要明晰長(zhǎng)方形面積“測(cè)量過(guò)程”的意義以及主要環(huán)節(jié)。其核心問(wèn)題是：“長(zhǎng)×寬”為什么等于“長(zhǎng)方形的面積”？

一、“測(cè)線算面”的歷史傳承

從歷史發(fā)展的角度看，平面圖形面積的測(cè)量與計(jì)算源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，距今約4000 年（公元前1900 年）的古巴比倫時(shí)期留存下來(lái)的紙草書(shū)中就有記載，基本的做法是用圖形邊界線的長(zhǎng)短及其運(yùn)算粗略地估計(jì)面積的大小。比如對(duì)于任意四邊形，就用相對(duì)邊長(zhǎng)度平均值的乘積表達(dá)這個(gè)四邊形的面積。[2]

圖1 四邊形示意圖

像這樣利用平面圖形邊界線長(zhǎng)度計(jì)算圖形面積的想法和做法流傳至今，對(duì)平面圖形面積大小進(jìn)行估計(jì)或計(jì)算，首先要測(cè)量平面圖形邊界線的長(zhǎng)度，然后通過(guò)計(jì)算得到平面圖形的面積。這樣從測(cè)量長(zhǎng)度到計(jì)算面積的過(guò)程與方法，我們簡(jiǎn)稱(chēng)為“測(cè)線算面”。

線段長(zhǎng)度的測(cè)量相對(duì)直接、便捷，用一根小棍或線繩，甚至身體上的臂長(zhǎng)、腳長(zhǎng)、步行時(shí)的步幅等，都可以實(shí)現(xiàn)對(duì)長(zhǎng)度的測(cè)量。我國(guó)歷史上的長(zhǎng)度單位“寸、尺、丈”以及英制長(zhǎng)度單位“Foot”等，都具有這樣的具身性。平面圖形面積的測(cè)量相對(duì)于長(zhǎng)度，就不具有這樣直接、便捷的特征。因此自然的想法和做法就是利用“測(cè)線算面”獲得面積。

從方向的角度看，線段的長(zhǎng)短僅從前后、左右、上下、高低、深淺這樣單一方向就可以確定，因此是一維測(cè)量。而長(zhǎng)方形面積的大小僅從單一方向無(wú)法確定，需要通過(guò)兩個(gè)不同方向的測(cè)量共同確定，如果橫向測(cè)量的是長(zhǎng)度，那么縱向的測(cè)量就是寬度，因此長(zhǎng)方形面積的測(cè)量是二維的。

從“量綱（Dimension）”的角度看，長(zhǎng)度與面積作為幾何中的量，維度不同，自然就屬于不同的類(lèi)型。如果把米、分米、厘米等描述長(zhǎng)度的單位叫作“基本單位（Primary Unit）”，那么平方米、平方分米、平方厘米等描述面積的單位，就成為從基本單位構(gòu)造出來(lái)的導(dǎo)出單位或“衍生單位（Derived Unit）”[3]。因此從課程體系來(lái)說(shuō)，“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”這一課程內(nèi)容，是從一維測(cè)量的認(rèn)知跨越到二維測(cè)量認(rèn)知的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，是從基本單位構(gòu)造導(dǎo)出單位的認(rèn)知起點(diǎn)，在課程內(nèi)容體系中具有承上啟下、不可或缺的重要地位。

長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)”和“寬”，從“形（Form）”的角度看是線段，從“量（Magnitude）”的角度看是線的長(zhǎng)度，這里的長(zhǎng)度，不是用數(shù)表達(dá)的，而是直覺(jué)中的長(zhǎng)短。因此，作為運(yùn)算的“長(zhǎng)×寬”具有雙重意義，第一是將一維的線段變成了二維的長(zhǎng)方形，也即“變線為面”；第二是“變長(zhǎng)度為面積”，兩個(gè)同類(lèi)的量（長(zhǎng)度）相乘，衍生了不是長(zhǎng)度的另外一類(lèi)量（面積）。

因此“長(zhǎng)×寬”中的運(yùn)算符號(hào)“×”具有質(zhì)變的功能，這樣的功能是加、減運(yùn)算所不具備的，長(zhǎng)度與長(zhǎng)度相加或相減的結(jié)果還是同類(lèi)的長(zhǎng)度，不可能改變?yōu)榉情L(zhǎng)度的其他量。凡此都體現(xiàn)出作為乘法運(yùn)算的“長(zhǎng)×寬”等于長(zhǎng)方形的面積，并非自然而然、順理成章的，需要對(duì)“長(zhǎng)度×長(zhǎng)度”的意義做進(jìn)一步的理解。

二、“長(zhǎng)度×長(zhǎng)度”未必是面積

人們?nèi)粘＝?jīng)驗(yàn)中所說(shuō)的“遠(yuǎn)近、高低、長(zhǎng)短、寬窄、深淺”等，都屬于“長(zhǎng)度（Length）”的范疇，長(zhǎng)度這一概念源于對(duì)線段的感知與想象。將空間中兩個(gè)位置不同的對(duì)象（比如兩棵樹(shù)），想象為兩個(gè)“點(diǎn)（Point）”，這里所說(shuō)的點(diǎn)不是真實(shí)存在的對(duì)象，是人心智中生成的對(duì)象，是想象出來(lái)的思維對(duì)象。羅馬尼亞著名數(shù)學(xué)教育家、數(shù)學(xué)教育心理學(xué)會(huì)（PME）創(chuàng)始人菲茨拜因（Efraim Fischbein，1920—1998），把這樣想象出來(lái)的對(duì)象叫作“比喻概念（Figural Con?cept）”[4]，其意義為借此說(shuō)彼。比喻概念具有無(wú)中生有的想象性或虛擬性特點(diǎn)，是對(duì)具體對(duì)象的抽象，把一棵樹(shù)視為一個(gè)點(diǎn)，忽略了形狀、大小、高低、材質(zhì)等因素，只保留了空間位置的屬性?！?022 年版課標(biāo)》把這樣的認(rèn)知過(guò)程歸屬為“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”。

為了描述這樣想象出來(lái)的點(diǎn)之間的關(guān)系，自然就生成了線段的概念，這樣的線段未必是真實(shí)存在的，同樣是想象出來(lái)的比喻概念，借以描述兩個(gè)空間位置之間的關(guān)系。通過(guò)這種線段的諸多比較，就可以意識(shí)到長(zhǎng)與短的相對(duì)關(guān)系。線段長(zhǎng)與短的差異，是客觀存在、可感知的現(xiàn)象，像這樣客觀存在，具有程度差異，并且可合可分的現(xiàn)象，稱(chēng)為幾何中的“量”，也叫作“廣延量（Extensive Quantity）”[5]。

這時(shí)并沒(méi)有指定一個(gè)類(lèi)似于“厘米”的確定的單位，因此這時(shí)的長(zhǎng)度并不能用數(shù)表達(dá)，只能通過(guò)直覺(jué)比較不同長(zhǎng)度的長(zhǎng)短。如果需要用語(yǔ)言表達(dá)某條線段的長(zhǎng)度，可以用類(lèi)似于字母的符號(hào)，比如線段AB 的長(zhǎng)度為a，這里的字母a 表達(dá)的不是數(shù)，而是作為量的長(zhǎng)度（如圖2）。

圖2 線段長(zhǎng)度示意圖

作為量的長(zhǎng)度之間的關(guān)系決定了其作為數(shù)學(xué)研究對(duì)象的邏輯基礎(chǔ)。如果說(shuō)一條線段與另外一條線段長(zhǎng)度相等，那么就排除了不相等的情況。同樣，如果一條線段比另外一條線段長(zhǎng)，那么兩條線段長(zhǎng)度就不可能相等。簡(jiǎn)單說(shuō)，兩條線段的長(zhǎng)度a與b之間的關(guān)系只能是下面三種情況之一：a=b；a>b；a

圖3 長(zhǎng)度可加性示意圖

同樣“a-b（假定a>b）”可以表示從“a”中截取“b”后剩余部分的長(zhǎng)度，也可以是a比b多出來(lái)的部分。除了加、減運(yùn)算，還可以用“比（Ratio）”描述長(zhǎng)度a與長(zhǎng)度b的關(guān)系。按照歐幾里得《幾何原本》中對(duì)比的定義，如果a>b，用b 重復(fù)量a，重復(fù)若干次后，可以超出a的長(zhǎng)度，就說(shuō)a與b之間存在著比。[7]這是純粹的量之間相互比較的過(guò)程，類(lèi)似于算術(shù)中的除法運(yùn)算。

總之，線段長(zhǎng)度的運(yùn)算可以有加、減和類(lèi)似于除法的比，其中的運(yùn)算所指對(duì)象不是數(shù)，而是作為線段長(zhǎng)度的量，因此運(yùn)算的意義不是針對(duì)數(shù)的計(jì)算，而是針對(duì)量的“操作（Operation）”，線段的拼接、分割、重復(fù)度量等都可以視為這樣的操作。這樣的操作具有具身性和可感知性，是伴隨著人“拼接、分離、重復(fù)”等動(dòng)作而發(fā)生的，是具有實(shí)際意義的。

接下來(lái)的問(wèn)題是：作為量的長(zhǎng)度是否可以定義類(lèi)似于算術(shù)中的乘法運(yùn)算？也即“長(zhǎng)度×長(zhǎng)度”是否具有實(shí)際意義？17世紀(jì)法國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes，1596—1650）認(rèn)為，幾何中線段長(zhǎng)度的乘法是可以定義的，兩條線段長(zhǎng)度相乘的結(jié)果仍然是線段的長(zhǎng)度。[8]

圖4中一個(gè)大三角形內(nèi)有一個(gè)小三角形，兩條虛線相互平行。利用兩個(gè)三角形的相似關(guān)系可以知道，大三角形與小三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度之比相等，即“c∶b=a∶1”。歷史上，人們將“乘”的運(yùn)算視為“造（Produce）”的過(guò)程，“a×b=c”中的a 和b 通過(guò)運(yùn)算“造”出一個(gè)新的量c，這個(gè)造出來(lái)的c 需要滿足一個(gè)比例關(guān)系，即“c 與a 的比，等于b 與1 的比”?；蛘?，“c與b的比，等于a與1的比”。笛卡爾利用平行線之間的比例關(guān)系，得到“c∶b=a∶1”，進(jìn)而通過(guò)比例的基本性質(zhì)得到“a×b=c”，也就是長(zhǎng)度分別為a與b 兩條線段的乘積，得到另外一條長(zhǎng)度為c 的線段，表示為“a×b=c”。

圖4 長(zhǎng)度乘積示意圖

由此看出，兩條線段長(zhǎng)度的乘積，未必得到平面圖形的面積。也就是說(shuō)，如果把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬看作兩條線段，二者長(zhǎng)度的乘積等于長(zhǎng)方形面積，并不是自然而然的。

三、“厘米×厘米”的窘境

如果指定一條固定線段的長(zhǎng)度作為單位，這時(shí)任何一條線段的長(zhǎng)度相對(duì)于這個(gè)單位的比就成為用數(shù)表達(dá)的長(zhǎng)度。比如把固定線段的長(zhǎng)度“1 厘米”當(dāng)作長(zhǎng)度單位，另外一條線段的長(zhǎng)度包含3個(gè)1厘米，那么這條線段的長(zhǎng)度就可以用數(shù)表示為“3厘米”，其意義是包含有3 個(gè)1 厘米，或?qū)? 厘米長(zhǎng)度的線段拉長(zhǎng)為原來(lái)的3倍。

像“3厘米”這樣用數(shù)表達(dá)量的方式，不同于單獨(dú)寫(xiě)出的數(shù)“3”?！?”只是個(gè)“數(shù)字符號(hào)（Numeral）”，不確定“1”的意義，就無(wú)法確定“3”的意義。而“3厘米”對(duì)應(yīng)的單位是“1厘米”，由于1厘米具有確定的意義，3厘米也隨之具有確定的意義了。類(lèi)似于“3 厘米”這樣，用帶有確定單位的數(shù)表達(dá)量的方式，我國(guó)歷史上叫作“名數(shù)（Denominate Number）”，與之相對(duì)的叫作“不名數(shù)（（Indenominate Num?ber））”或“無(wú)名數(shù)”。

由中國(guó)圖書(shū)公司出版的《最新算術(shù)教科書(shū)》中，對(duì)名數(shù)與不名數(shù)的描述分別是“凡數(shù)系以單位之名者，曰名數(shù)。不系以單位之名者，曰不名數(shù)”[9]。因此所謂名數(shù)就是帶有單位的數(shù)，不名數(shù)就是不帶單位的數(shù)①在我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)話語(yǔ)體系中，通常把“名數(shù)”叫作“量”，把“不名數(shù)”叫作“數(shù)”。這樣的說(shuō)法并不準(zhǔn)確，無(wú)論是名數(shù)還是不名數(shù)，都是數(shù)，任何數(shù)都是與單位的比。量是一種客觀存在，即便沒(méi)有數(shù)，量也是存在的，數(shù)是人用來(lái)描述量所發(fā)明的語(yǔ)言。概括地說(shuō)，量是客觀的現(xiàn)象或事實(shí)，對(duì)量的認(rèn)知是通過(guò)觀察獲得“發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程；數(shù)是主觀的生成，對(duì)數(shù)的認(rèn)知是依據(jù)想象進(jìn)行“發(fā)明”的過(guò)程。。由于名數(shù)具有具體的實(shí)際意義，因此在國(guó)外許多文獻(xiàn)中也叫“具體數(shù)（Concrete Number）”，不名數(shù)相對(duì)于名數(shù)更加抽象，也叫“抽象數(shù)（Abstract Number）”[10]。

如果用厘米作為長(zhǎng)度單位，那么“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”中的長(zhǎng)和寬，都可以表示為以厘米為單位的名數(shù)，因而使得“長(zhǎng)×寬”成為兩個(gè)以厘米為單位的名數(shù)的乘積，簡(jiǎn)寫(xiě)為“厘米×厘米”，其結(jié)果成為以“平方厘米”為單位的名數(shù)。此時(shí)“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”中的乘法運(yùn)算，成為兩個(gè)相同長(zhǎng)度單位名數(shù)的運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果產(chǎn)生了一個(gè)不同于長(zhǎng)度單位的新的單位，命名為“平方厘米（Square Centime?ter）”，意為“邊長(zhǎng)為1厘米的正方形”。

在之前二年級(jí)認(rèn)識(shí)乘法時(shí)，是把乘法理解為“相同加數(shù)求和”或“求一個(gè)數(shù)的幾倍”的運(yùn)算。比如“3×2”，其中的“3”和“2”具有不同的意義，如果“3”表示“3 個(gè)蘋(píng)果”，那么“2”就不能表示“2 個(gè)蘋(píng)果”，人的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)中并不存在“蘋(píng)果×蘋(píng)果”的實(shí)際意義?！?個(gè)蘋(píng)果×2”中的“2”，可以是數(shù)數(shù)過(guò)程的“次數(shù)”，也可以是每個(gè)盤(pán)子中有3個(gè)蘋(píng)果的“盤(pán)數(shù)”等，是表示將“3 個(gè)蘋(píng)果”重復(fù)的次數(shù)，可以統(tǒng)稱(chēng)為“倍”。像這樣表示倍的數(shù)，相對(duì)于表示蘋(píng)果的個(gè)數(shù)而言，并不指向具體的對(duì)象，具有抽象的意義，可以看作是不名數(shù)或抽象數(shù)，因此“倍”的實(shí)質(zhì)是給乘法運(yùn)算中的不名數(shù)賦予了一個(gè)統(tǒng)一的名稱(chēng)，表達(dá)重復(fù)的次數(shù)，相當(dāng)于英文中的“Time”。

二年級(jí)學(xué)生對(duì)于乘法算式先入為主的經(jīng)驗(yàn)是“名數(shù)×不名數(shù)”，或“具體數(shù)×抽象數(shù)”。把這樣的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于長(zhǎng)度的測(cè)量，“3厘米×2”的意義是把“3厘米”長(zhǎng)度的線段看作一個(gè)整體，用這個(gè)3 厘米長(zhǎng)度作為單位，去測(cè)量另外一條更長(zhǎng)的線段，測(cè)量動(dòng)作重復(fù)了2次，測(cè)量的結(jié)果包含了2個(gè)3厘米，其中“3厘米×2”中的兩個(gè)因數(shù)“3”和“2”意義不同，前者“3”是名數(shù)或具體數(shù)，后者“2”是不名數(shù)或抽象數(shù)。

如果一個(gè)長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)度，也就是長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度分別為3厘米和2厘米，那么按照“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”，這個(gè)長(zhǎng)方形面積應(yīng)當(dāng)寫(xiě)為“3厘米×2厘米”。其中的3和2都帶有共同的單位“厘米”，都是具體的名數(shù)。沿用前面乘法的經(jīng)驗(yàn)，“將3 厘米重復(fù)2厘米次”，顯然是說(shuō)不通的。

英國(guó)19 世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家?jiàn)W古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan，1806—1871）在《代數(shù)學(xué)原本（Elements of Algebra）》一書(shū)前言中，把這樣“厘米×厘米”的情況稱(chēng)為“荒誕的（Absurd）”[11]。美國(guó)數(shù)學(xué)教育家、著名數(shù)學(xué)期刊《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》創(chuàng)始人本杰明·富蘭克林·芬克爾（Benjamin Franklin Finkel，1865—1947）甚至認(rèn)為，將長(zhǎng)方形的面積寫(xiě)為“長(zhǎng)×寬”是“錯(cuò)誤的（Wrong）”，數(shù)學(xué)中沒(méi)有相應(yīng)的法則做出這個(gè)判斷。如果“厘米×厘米=平方厘米”（原文中用的是“英尺”）正確，那么也應(yīng)當(dāng)有“美元×美元=平方美元”，這顯然是不合邏輯的。[12]

綜上可以看出，從線段長(zhǎng)度“量”與“數(shù)”的意義以及二年級(jí)學(xué)生對(duì)乘法的認(rèn)識(shí)中，無(wú)法直接得到“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”這一等式，其中“×”的意義與之前的經(jīng)驗(yàn)“不一致（Inconsistence）”。把“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”中的“長(zhǎng)”與“寬”看作線段的長(zhǎng)度，無(wú)法與之前所熟悉的乘法意義形成一致性的認(rèn)識(shí)，這就使得“測(cè)線算面”的認(rèn)知過(guò)程出現(xiàn)了障礙。

四、“長(zhǎng)×寬”的意義改變

美國(guó)19世紀(jì)數(shù)學(xué)家阿爾伯特·泰勒·布萊德索（Albert Taylor Bledsoe，1809—1877）在《數(shù)學(xué)哲學(xué)》一書(shū)中，對(duì)長(zhǎng)方形面積公式做過(guò)如下解釋?zhuān)阂粋€(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度分別為5 英尺和4 英尺，5 英尺與4英尺兩個(gè)名數(shù)相乘并不直接等于長(zhǎng)方形面積。首先將兩個(gè)以英尺為單位的名數(shù)改變?yōu)闆](méi)有單位的不名數(shù)5 和4，而后對(duì)兩個(gè)不名數(shù)實(shí)施乘法計(jì)算“5×4=20”，這個(gè)乘積20仍然是不名數(shù)，不代表長(zhǎng)方形，也不是長(zhǎng)方形面積，但這個(gè)20恰好與長(zhǎng)方形中邊長(zhǎng)為1英尺的小正方形個(gè)數(shù)相等，如果把邊長(zhǎng)為1 英尺的正方形的面積命名為“1 平方英尺”，那么長(zhǎng)方形面積恰好等于20個(gè)1平方英尺，而且這樣的過(guò)程普遍適用于所有長(zhǎng)方形的情況。[13]

這一解釋實(shí)際上是用邊長(zhǎng)為1 英尺的小正方形對(duì)長(zhǎng)方形進(jìn)行密鋪，先橫向看每行有5個(gè)小正方形，再縱向看一共有4行（或先縱向看每列有4個(gè)小正方形，再橫向看共有5列），因此小正方形個(gè)數(shù)為“5×4=20”。這時(shí)是將數(shù)字“5”視為橫向的“5 個(gè)小正方形”，而不是5英尺；其中的數(shù)字“4”也不是4英尺，而是將每一行的“5 個(gè)小正方形”看作整體，稱(chēng)之為“1 行”，共有4 個(gè)這樣的整體，也就是4 行（如圖5）。

圖5 長(zhǎng)方形面積示意圖

這就表明長(zhǎng)方形面積公式中“長(zhǎng)×寬”的意義，不是兩條線段長(zhǎng)度的乘積，而是行數(shù)與列數(shù)的乘積，簡(jiǎn)寫(xiě)為“行×列”。首先確定邊長(zhǎng)為1英尺的正方形面積為1平方英尺；其次沿著一個(gè)方向數(shù)出“5個(gè)1 平方英尺”，或1 平方英尺放大為原來(lái)的5 倍，也即“1 平方英尺×5”；最后將“5 平方英尺”沿著另一方向重復(fù)4 次。這樣的過(guò)程與“5 英尺×4 英尺”的意義不同，其中的因數(shù)5是將“1平方英尺”重復(fù)5次，因數(shù)“4”是將“5平方英尺”重復(fù)4次，因此因數(shù)5和4都具有不名數(shù)的意義。按照布萊德索的觀點(diǎn)，“5 英尺×4 英尺”的真實(shí)意義是兩次乘法運(yùn)算的合成，可以表示為：

·1平方英尺×5=5平方英尺

·5平方英尺×4=20平方英尺

美國(guó)紐約州皮爾森教育公司于2019年出版的《中小學(xué)數(shù)學(xué)發(fā)展性教學(xué)》一書(shū)的第10 版中，沿用了布萊德索的解釋?zhuān)貏e強(qiáng)調(diào)長(zhǎng)方形面積公式“長(zhǎng)×寬”中的長(zhǎng)與寬，表示的不是長(zhǎng)度?！伴L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”并非表達(dá)長(zhǎng)度與長(zhǎng)度的乘積等于面積，而是行數(shù)與列數(shù)的乘積等于面積，即“長(zhǎng)方形的面積=行×列”。[14]這時(shí)“×”的意義與“相同加數(shù)求和”或“求一個(gè)數(shù)的幾倍”就具有了一致性。

對(duì)于長(zhǎng)為5 厘米、寬為4 厘米的長(zhǎng)方形，首先確定邊長(zhǎng)為1 厘米的正方形面積為“1 平方厘米”，長(zhǎng)度為5厘米的邊上就對(duì)應(yīng)了“5個(gè)1平方厘米”的小正方形。這一行中小正方形個(gè)數(shù)就是1 平方厘米的5 倍。而后將這一行的5 個(gè)小正方形在行的方向上排成4 行，成為一行“5 平方厘米的4 倍”（如圖6）。

圖6 長(zhǎng)方形面積的行列說(shuō)

這種行列說(shuō)改變了“長(zhǎng)”與“寬”線段及其長(zhǎng)度的意義，強(qiáng)調(diào)其方向的意義，即作為面積單位的小正方形在兩個(gè)不同方向延展的意義，因此長(zhǎng)方形面積的測(cè)量過(guò)程可以概括為以下三個(gè)步驟。

·確定作為面積單位的小正方形。

·沿著同一方向延展面積單位，從而確定包含面積單位的“行（或列）”。

·把這樣的“行（或列）”看作整體，沿著另一方向延展，進(jìn)而確定“行數(shù)（或列數(shù)）”。

“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”的解釋?zhuān)瑢⑵渲谐朔ㄟ\(yùn)算的意義與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)建立起了一致性的聯(lián)系。這一解釋的前提是把長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度表示為整數(shù)，基于對(duì)面積單位進(jìn)行“數(shù)數(shù)（Count）”的認(rèn)知活動(dòng)。因此行列說(shuō)并不能涵蓋長(zhǎng)方形面積公式的全部意義，隨著數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中數(shù)系的拓展，這一公式的意義與作用也會(huì)隨之進(jìn)化與拓展。行列說(shuō)僅適用于對(duì)長(zhǎng)方形面積公式的初步認(rèn)識(shí)。

五、進(jìn)一步的問(wèn)題

綜上所述，面積本質(zhì)上是一類(lèi)幾何中的廣延量，表現(xiàn)為有限平面區(qū)域的大小。區(qū)別于單一方向一維線段的長(zhǎng)度，面積的測(cè)量需要用二維的眼光，即不同方向的觀察與操作。沿襲歷史上“測(cè)線算面”的傳統(tǒng)，自然的想法和做法是建立平面圖形的面積與其邊界線長(zhǎng)度之間的關(guān)系，并且能夠運(yùn)用算術(shù)中的計(jì)算實(shí)現(xiàn)用長(zhǎng)度計(jì)算面積的目的。

對(duì)于長(zhǎng)方形而言，其形狀和大小隨著長(zhǎng)和寬長(zhǎng)度的給定而確定，這樣的關(guān)系使得利用長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度計(jì)算長(zhǎng)方形的面積成為可能。為了實(shí)現(xiàn)這樣的可能性，就需要確定面積單位，而后從長(zhǎng)和寬兩個(gè)方向用面積單位鋪滿長(zhǎng)方形，進(jìn)而長(zhǎng)方形就成為已作為面積單位的正方形組成的“行列結(jié)構(gòu)（Arrays）”，行列結(jié)構(gòu)中的行數(shù)與列數(shù)的乘積恰好等于面積單位的個(gè)數(shù)，從而得到長(zhǎng)方形的面積。

測(cè)量過(guò)程的第一步是確定作為面積單位的正方形，是實(shí)現(xiàn)面積測(cè)量與計(jì)算的起點(diǎn)?！?022 年版課標(biāo)》學(xué)段目標(biāo)中的“測(cè)量過(guò)程”自然應(yīng)當(dāng)包括這樣確定面積單位的過(guò)程。如果用長(zhǎng)度為1 厘米的線段表示長(zhǎng)度單位，那么以上測(cè)量過(guò)程的第一步就是確定邊長(zhǎng)為1 厘米的正方形面積為面積單位，確定面積單位的過(guò)程實(shí)質(zhì)是人為地作出了三項(xiàng)規(guī)定。

第一，作為面積單位的圖形是正方形。

第二，作為面積單位的正方形邊長(zhǎng)是1厘米。

第三，面積單位表示為1平方厘米或1厘米2。

數(shù)學(xué)課程中諸如此類(lèi)的內(nèi)容具有“人為規(guī)定”的屬性[15]，區(qū)別于通過(guò)演繹推理所獲得的“必然真（Necessary Truth）”的判斷，確定單位往往具有未必如此的“任意性（Arbitrary）”特點(diǎn)[16]。針對(duì)這樣的內(nèi)容，自然期望學(xué)生能夠用差異的眼光觀察、多元的思維思考、個(gè)性的語(yǔ)言表達(dá)。因此教科書(shū)編寫(xiě)以及教學(xué)過(guò)程中僅有“是什么”的問(wèn)題是不夠的，還需要有“為什么是……”以及“為什么不是……”的思考與交流[17]。如：

·作為面積單位的圖形為什么是正方形？而不是其他圖形？

·作為面積單位的正方形，為什么邊長(zhǎng)是“1”，而不是其他數(shù)？

·為什么把“1平方厘米”表示為“1厘米2”？

《2022 年版課標(biāo)》倡導(dǎo)要讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題”的全過(guò)程，因此對(duì)于長(zhǎng)方形面積的教學(xué)目標(biāo)僅指向“會(huì)計(jì)算”是不夠的，要讓諸如此類(lèi)的問(wèn)題融入教材的教學(xué)內(nèi)容以及實(shí)際教學(xué)中，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)親身經(jīng)歷面積測(cè)量的全過(guò)程。為此就需要對(duì)這些問(wèn)題作進(jìn)一步的思考和研究，在此基礎(chǔ)上，努力為學(xué)生設(shè)計(jì)出更加豐富、有效的認(rèn)知活動(dòng)，真正實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)。