涉及Δλ算子的Kirchhoff方程基態(tài)解的存在性①

陳佳， 李麟

1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400067； 2.經(jīng)濟社會應(yīng)用統(tǒng)計重慶市重點實驗室，重慶 400067

我們知道Kirchhoff方程考慮的是橫向振動產(chǎn)生的弦長變化，具有較好的物理意義，同時吸引了大量學(xué)者們的關(guān)注． 文獻[1]在R3中通過變分方法得到當(dāng)非線性項f滿足次臨界條件時Kirchhoff方程解的集中行為以及存在性結(jié)果． 隨后，文獻[2]考慮了具有臨界增長的非線性項f的Kirchhoff方程的正解的多重性和集中性． 文獻[3]運用單調(diào)性和全局緊性引理討論了Kirchhoff方程正基態(tài)解的存在性，并且推廣了文獻[1]中的結(jié)果． 文獻[4]討論了非線性項f無緊性條件下Kirchhoff方程的基態(tài)解． 文獻[5]考慮了具有一般位勢的Kirchhoff方程的Nehari-Pohozaev型基態(tài)解． 對于Kirchhoff方程基態(tài)解的存在性問題已經(jīng)得到廣泛的研究，但對于f滿足超線性條件時基態(tài)解的結(jié)果還很少． 受文獻([1-9])的啟發(fā)，本文主要考慮如下的Kirchhoff方程的基態(tài)解：

(1)

其中a，b是正常數(shù)，λ=(λ1?x1u，…，λN?xNu)，并且Δλ是強退化橢圓算子，具體形式為

關(guān)于該算子更多的性質(zhì)，參見文獻[10-13]． 這里非線性項f滿足以下條件：

|f(x，t)|≤c0(|t|+|t|p-1) ?(x，t)∈R3×R3

(f3)存在μ>4 使得f(x，t)t≥μF(x，t)，?(x，t)∈R3×R．

位勢V(x)滿足如下條件：

首先，定義空間

E={u： |λu|2+V(x)u2dx<+∞}

顯然，E是Hilbert空間，具有內(nèi)積

和范數(shù)

其次，我們在E上定義方程對應(yīng)的能量泛函

(2)

不難得到J∈C1(E，R)，具有導(dǎo)數(shù)

(3)

注1本文主要在R3中討論Kirchhoff方程基態(tài)解的存在性，最大的困難在于全空間 R3中我們無法得到嵌入緊性． 因此，為了找到J的臨界點，我們將通過Nehari流形的方法尋找最小能量解，并且該解就是方程的解．

N={u∈E{0}： 〈J′(u)，u〉=0}

引理1設(shè)條件(f1)-(f3)和(V)成立，則任意的(PS)序列{un}是有界的．

(4)

(4)式意味著{un}在E上有界．

引理2設(shè)條件(f1)-(f3)和(V)成立，則N≠?，并且存在常數(shù)k>0，使得?u∈N，J(u)>k．

|F(x，t)|≤εt2+Cεtp?x∈R3

(5)

由文獻[14]的引理2.2有

顯然這是矛盾的，所以u0≠ 0．又根據(jù)文獻[6]的引理2.2和條件(f1)，可以得到

(6)

因此

(7)

從而得到

所以〈J′(u0)，v〉=0，u0≠0，得到N≠?．

下面證明J(u)>k． 因為對每一個u∈N都有〈J′(u)，u〉=0，所以由(5)式可以得到

因此，存在常數(shù)γ>0，任取u∈N，使得‖u‖2≥γ．又根據(jù)條件(f3)，可以推出

所以存在常數(shù)k>0，使得?u∈N，J(u)>k．

定理1設(shè)條件(f1)-(f3)和(V)成立，則方程(1)存在一個基態(tài)解．

這就意味著u∈N，有J(u)=m． 所以u∈E是J的基態(tài)解．