發(fā)散光束對消光法顆粒粒徑測量影響

肖新宇，熊兵，陳軍，楊薈楠，蘇明旭

（1 上海理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，上海市動力工程多相流動與傳熱重點(diǎn)實驗室，上海 200093）

（2 中國航發(fā)四川燃?xì)鉁u輪研究院，成都 610500）

0 引言

在顆粒測量方法［1-3］中消光法測量原理簡單、操作簡便，易實現(xiàn)儀器設(shè)備微型化，如利用光纖和光譜儀即可測得攜帶粒徑信息的消光譜并反演顆粒粒徑分布［4-5］。消光法的理論基礎(chǔ)為Lambert-Beer（LB）定律和Mie 散射理論，前者反映了光束在介質(zhì)中的透射和衰減特性，后者描述單個均質(zhì)球形顆粒的光散射規(guī)律。通過測量離散狀態(tài)顆粒系的消光譜再結(jié)合Mie 理論構(gòu)建消光系數(shù)矩陣，可反演出顆粒粒徑分布［6-7］。該方法通?；谄叫腥肷涔鈼l件，但在一些特定應(yīng)用場景中入射光束并非嚴(yán)格平行，例如高斯光束照射或某些發(fā)光二極管（Light Emitting Diode，LED）光源條件。此外，測量空間狹小時往往采用光纖傳遞發(fā)射和接收信號，因其具有一定的發(fā)散和接收角，按平行入射光假設(shè)處理會導(dǎo)致誤差。

關(guān)于非平行光束消光和光散射問題，劉福水等［8］搭建一套非平行光二維測試系統(tǒng)準(zhǔn)確獲得擴(kuò)散火焰中的碳煙濃度分布，解決了平行光消光法在碳煙測試中的波束偏移問題。馮冰等［9］利用蒙特卡羅方法［10-12］（Monte Carlo Method，MCM）模擬大氣氣溶膠對高斯光束的側(cè)向散射，獲得側(cè)向散射光強(qiáng)和散射系數(shù)曲線并與實驗結(jié)果對比驗證。周田華等［13］基于蒙特卡羅仿真分析光束發(fā)散參數(shù)對接收光場分布的影響，通過光束預(yù)聚焦處理一定程度上抵消水體傳輸引起的光束擴(kuò)散，增強(qiáng)了接收光信號功率。CHEN J 等［14］基于Mie理論推導(dǎo)了發(fā)散光束入射下探測面上散射光空間分布的解析表達(dá)式，通過不同發(fā)散角模擬和實驗的散射光強(qiáng)分布曲線驗證了其適用于不同發(fā)散角下小粒徑測量。WANG Z 等［15］基于蒙特卡羅偏振輻射傳輸模型，研究了激光束發(fā)散對來自均勻平面平行水云的激光雷達(dá)多次散射偏振信號的影響。VALI Z 等［16］基于蒙特卡羅模型，研究平面光束、高斯光束和球面光束的發(fā)散度對清澈水域鏈路對中的影響，發(fā)現(xiàn)提高發(fā)射器波束發(fā)散度可以減小發(fā)射和接收器未對中的影響，并且存在一個最佳發(fā)散角可平衡橫向偏移、功率損耗和信號帶寬之間關(guān)系。LI M 等［17］設(shè)計一種基于梯度散射的光纖擴(kuò)散器，利用蒙特卡羅方法模擬了不同的非對稱因子和光纖發(fā)射角下光纖擴(kuò)散器在水和空氣中的發(fā)射性能。NICO S 等［18］基于統(tǒng)計消光法在線測量顆粒通過光束運(yùn)動產(chǎn)生的光強(qiáng)波動，根據(jù)統(tǒng)計的波動信號計算出顆粒平均粒徑和顆粒濃度，并設(shè)計一種空間頻率濾波器有效減小了顆粒多次散射對信號測量的影響。

不過，上述研究均未涉及多波長條件的消光法測量問題，消光法由于借助了不同波長下消光譜信息，而非散射光的空間分布信息，其特點(diǎn)和前述研究不同。為此，作者借助蒙特卡羅方法和標(biāo)準(zhǔn)顆粒的測量從數(shù)值和實驗角度研究發(fā)散光束對消光法顆粒粒徑測量的影響。

1 測量方法

1.1 消光法原理

如圖1 所示，一束直徑遠(yuǎn)大于被測顆粒粒徑，強(qiáng)度為I0，波長為λ的平行單色光入射到一含有測顆粒群的介質(zhì)時，由于顆粒對光的散射和吸收，透射光I的強(qiáng)度為

圖1 消光法測量原理示意Fig.1 Schematic of light extinction measurement

式中，τ是介質(zhì)濁度，L為光程。對于球形被測顆粒，且各顆粒光散射滿足不相關(guān)單散射，單位體積內(nèi)N個粒徑為D的單分散顆粒系濁度τ為

式中，Cext和kext分別為消光截面和消光系數(shù)，是入射光波長λ、被測顆粒粒徑D、顆粒相對于介質(zhì)的相對折射率m的函數(shù)。將式（2）代入式（1）可得

理論上，通過LB 定律建立正演模型并計算消光系數(shù)矩陣，對所測消光譜反演可得顆粒粒徑分布信息。不過，該模型的適用前提需滿足平行光入射條件，而實際測量如采用非平行入射光源，仍依照LB 模型會帶來一定誤差。對于發(fā)散光入射情形，引入蒙特卡羅方法，將入射光束離散化處理成離散光子，通過統(tǒng)計不同方位接收器接收到的光子數(shù)即可模擬不同發(fā)散角范圍下的消光特性，進(jìn)而分析對消光譜和粒徑反演的誤差。

1.2 蒙特卡羅仿真流程

蒙特卡羅方法是以概率統(tǒng)計為基礎(chǔ)的隨機(jī)模擬方法，將光在顆粒離散介質(zhì)中的散射過程視為光子與顆粒的碰撞過程，且每次散射只與前一次散射有關(guān)［19］。通過跟蹤大量的光子軌跡模擬光在散射介質(zhì)中傳播的整個物理過程，統(tǒng)計出各個方位接收器接收到的光子數(shù)，并可獲得邊界逃逸、前向透射、散射的光子數(shù)。

圖2 為模擬發(fā)散光束穿過散射介質(zhì)的傳播模型，散射介質(zhì)厚度為L，介質(zhì)到發(fā)射和接收器距離都為S。假設(shè)光束在z=0 平面沿著z軸方向傳播，發(fā)散角為θ。光子的初始出射坐標(biāo)(x0，y0，z0)為（0，0，0），初始出射方向余弦(ux0，uy0，uz0)表示為

圖2 發(fā)散光束仿真模型Fig.2 Simulation model of the divergent beam

式中，θ0和φ0為發(fā)散光子的初始散射角和方位角，光子在初始發(fā)散角范圍內(nèi)均勻分布。結(jié)合初始方向余弦可計算得光子剛進(jìn)入測量區(qū)坐標(biāo)為，并以此坐標(biāo)作為起算坐標(biāo)。光子與顆粒碰撞相鄰的兩次散射之間的隨機(jī)自由步長可表示為

式中，rl是［0，1］范圍內(nèi)均勻分布隨機(jī)數(shù)，消光效率Kext可由Mie 散射理論計算。 結(jié)合起算坐標(biāo)、初始方向余弦以及相鄰散射間的隨機(jī)自由步長，光子首次發(fā)生散射的坐標(biāo)(x1，y1，z1)可以表示為

光子與顆粒碰撞后的空間散射角分布可以由Henyey-Greenstein 相函數(shù)［20］確定，對相函數(shù)抽樣，散射角θ1的抽樣表示為

式中，rθ1是另一個［0，1］范圍內(nèi)隨機(jī)數(shù)，g是不對稱因子。再結(jié)合初始方向余弦以及發(fā)生散射后的散射角、方位角得到新的方向余弦為

據(jù)此，由每一次散射后的方向余弦以及隨機(jī)自由步長可以確定每次光子與顆粒碰撞的坐標(biāo)，直至判定光子是否被吸收、從邊界逃逸還是被接收。依據(jù)反照率a（a=Csca/Cext，散射截面與消光截面的比值）判定光子是否被吸收，當(dāng)隨機(jī)數(shù)rα≥a時光子被吸收，反之被散射。假設(shè)接收器直徑為d，接收角為ψ，當(dāng)光子z軸方向坐標(biāo)zi≥2S+L，停止對光子跟蹤并修正坐標(biāo)得zi=2S+L，此時判定光子被接收的條件為

記錄接收光子數(shù)目n，并重復(fù)下一個光子歷程，直到完成所有光子計算，統(tǒng)計各個物理過程的光子數(shù)得到散射介質(zhì)的消光特性。消光譜可表示為

式中，n為接收光子總數(shù)，nset為設(shè)定光子數(shù)。

2 數(shù)值模擬

2.1 光子去向統(tǒng)計

按照前述模型編制計算程序，通過統(tǒng)計每個物理過程的光子數(shù)可得顆粒系的散射和吸收特性。算例選取顆粒粒徑D=0.2 μm、相對折射率m=1.196、體積濃度Cv=4×10-5、介質(zhì)厚度L=10 mm，接收器尺寸d=0.8 mm。光子在散射介質(zhì)中傳輸過程的分類如圖3，可以看出在給定粒徑下，隨著波長增大透射光子數(shù)逐漸增多。按光散射理論，波長增大時亞微米區(qū)顆粒的無因次參數(shù)α（α=πd/λ）減小，消光系數(shù)減小，再結(jié)合蒙特卡羅方法計算隨機(jī)自由步長的公式分析，波長增大導(dǎo)致隨機(jī)步長增大，光子準(zhǔn)直透射的概率增加。無因次參數(shù)減小，光子與顆粒碰撞后的角散射特性趨于均勻，圖中前后向散射的光子數(shù)逐步接近。同時，光子準(zhǔn)直透射的概率增大，發(fā)生散射、吸收以及邊界逃逸的光子數(shù)逐漸減小。

圖3 光子去向統(tǒng)計Fig.3 Statistics of photon events

2.2 程序驗證

為驗證蒙特卡羅計算程序的正確性，設(shè)定光子準(zhǔn)直出射（發(fā)散角為零），將蒙特卡羅方法計算的準(zhǔn)直透射光消光譜與LB 模型預(yù)測對比驗證，并由圖4 給出在不同粒徑下消光譜ln(I0/I)隨波長λ的變化規(guī)律。算例選取粒徑D為0.2、2.88 μm、m=1.196、Cv=4×10-5、L=10 mm，為減小復(fù)散射對計算結(jié)果影響，粒徑0.8 μm 時選取體積濃度Cv=2×10-5。由圖中曲線可以看出蒙特卡羅和LB 模型計算結(jié)果吻合較好，其在不同的粒徑下消光曲線的變化趨勢均非常接近。綜合考慮計算效率以及計算結(jié)果穩(wěn)定性，數(shù)值計算光子數(shù)選取105。

圖4 蒙特卡羅和LB 模型消光譜對比Fig.4 Comparison of extinction spectra of Monte Carlo and LB models

2.3 不同接收器尺寸和接收角消光譜

圖5（a）為粒徑D=0.8 μm、接收角ψ=25°、光子準(zhǔn)直入射時，不同接收器尺寸下消光譜ln(I0/I)隨波長λ的變化規(guī)律。從圖中不同接收器尺寸下的消光譜曲線可以發(fā)現(xiàn)，接收器尺寸越大對應(yīng)消光值越小，這是由于大尺寸接收器接收的透射和散射光能越多所致。圖5（b）為不同接收角下消光譜ln(I0/I)隨波長λ的變化規(guī)律，在光子準(zhǔn)直入射情況下，接收角度從10°～30°變化對于消光譜的影響較小。

圖5 不同接收器尺寸和接收角消光譜對比Fig.5 Comparison of extinction spectra with different receiver sizes and different reception angles

2.4 不同發(fā)散角范圍消光譜

圖6 是接收器尺寸d=0.8 mm、接收角ψ=25°，三種粒徑顆粒不同發(fā)散角下消光譜ln(I0/I)隨波長λ的變化規(guī)律。從圖6（b）、（c）可以看出消光值隨發(fā)散角遞增，因發(fā)散角增大使得光子發(fā)生散射后穿過介質(zhì)時愈加偏離接收器中心，導(dǎo)致接收器接收到的散射光能更少。同理，發(fā)散角增大光子在與顆粒碰撞發(fā)生越界的概率越大，也會導(dǎo)致消光作用增強(qiáng)。再通過與圖6（a）對比發(fā)現(xiàn)，粒徑D=0.2 μm 時發(fā)散角增大消光值會略微增大但是曲線無明顯差異，經(jīng)分析可知該粒徑下透射光子占主導(dǎo)，發(fā)散角的變化所導(dǎo)致接收的散射光能變化對于總接收光能的影響甚微。從單顆粒光散射特性可知此粒徑下顆粒的無因次參量α很小，光子與顆粒碰撞后散射呈均勻分布，相較于大粒徑顆粒前向接收散射光能占比更小。模擬選取接收尺寸為0.8 mm，如接收尺寸增大，則發(fā)散角的變化對消光曲線的影響應(yīng)更明顯。

圖6 不同發(fā)散角范圍的消光譜對比Fig.6 Comparison of extinction spectra at different divergence angles

3 實驗與結(jié)果

3.1 實驗系統(tǒng)

實驗系統(tǒng)如圖7，實驗采用波長范圍為0.4～0.7 μm，輸出功率為0～1 mW 可線性調(diào)節(jié)的LED 光源，如海光電科技生產(chǎn)的SEED3000 型光譜儀（可測光譜范圍為0.341～1.064 μm，波長數(shù)目為2 048），多模發(fā)射和接收光纖直徑為0.8 mm，發(fā)射和接收角均為25°，發(fā)射和接收光纖的距離Z=100 mm。LED 光源發(fā)出具有一定發(fā)散角（60°）的白光光束，發(fā)散光束通過焦距為25 mm、孔徑為25.4 mm 的傅里葉光學(xué)透鏡匯聚成平行準(zhǔn)直光束，照射在光程L=10 mm 的四通光樣品池上。樣品池置于發(fā)射、接收光纖之間，控制光束完全照射到樣品池壁面，經(jīng)過顆粒的散射吸收發(fā)生衰減后，攜帶顆粒粒徑信息的光能被光纖接收并傳遞至光譜儀，將10 次連續(xù)采集的實驗數(shù)據(jù)取平均后計算消光譜。為測得發(fā)散光束消光譜，首先通過調(diào)節(jié)透鏡與光源距離使光束匯聚，控制第一個光闌孔徑取光束最均勻部分，再調(diào)節(jié)第二個光闌孔徑（可調(diào)節(jié)范圍為1.5～30 mm），根據(jù)兩個光闌間距和孔徑限定其發(fā)散角分別為5°、10°、15°、20°，進(jìn)行實驗。

圖7 消光實驗系統(tǒng)示意圖Fig.7 Schematic of light extinction experiment system

3.2 消光譜和顆粒粒徑分布反演

實驗用標(biāo)準(zhǔn)顆粒為中國石油大學(xué)研制標(biāo)稱直徑分別為0.2、0.8、2.88 μm 的三種聚苯乙烯乳膠微球。分別測得每種顆粒在平行光及不同發(fā)散角入射條件下的透射光能，經(jīng)處理得如圖8 所示的消光譜曲線。對于粒徑D=0.2 μm 顆粒，發(fā)散角變化對消光譜影響不明顯，但是對D=0.8 μm 和D=2.88 μm 的顆粒，隨著發(fā)散角增大消光譜有明顯的變化，其變化趨勢和數(shù)值模擬結(jié)果基本一致。消光法LB 模型中透射光是指理論準(zhǔn)直出射光束（未發(fā)生散射），但由于實際光程所限部分前向小角散射光也會被接收，這與單顆粒散射特性相關(guān)并和光波長、顆粒粒徑及入射光角度等參數(shù)關(guān)聯(lián)，進(jìn)而對獲取的消光值大小與光譜曲線產(chǎn)生影響。

圖8 實驗測得不同發(fā)散角下的消光譜Fig.8 The experimental extinction spectra at different divergence angles

在400～700 nm 波長范圍內(nèi)等間距的選取50 個波長的消光譜，采用DFP（Davidon-Fletcher-Powell）算法［21-22］反演得到粒徑分布結(jié)果。如圖9 所示，對0.2 μm 顆粒，發(fā)散角變化對反演結(jié)果影響不明顯，粒徑分布曲線較為穩(wěn)定，對粒徑0.8、2.88 μm 顆粒，隨著發(fā)散角增加反演結(jié)果誤差越大，粒徑分布曲線整體發(fā)生偏移。

圖9 不同發(fā)散角下反演顆粒粒徑分布Fig.9 Inversed particle size distributions at different divergence angles

3.3 顆粒粒徑誤差

圖10 為不同發(fā)散角下，由數(shù)值模擬和實驗消光譜反演的索太爾（Sauter）平均直徑與標(biāo)稱值的誤差。從圖中可以看到平行光入射時，反演結(jié)果誤差較小，隨發(fā)散角增大模擬和實驗消光譜的反演結(jié)果與標(biāo)稱值誤差整體增加。發(fā)散角在5°范圍內(nèi)三種粒徑的反演結(jié)果誤差均在4.62%以內(nèi)，但發(fā)散角增至20°時，對于粒徑為0.8 μm 的顆粒模擬和實驗反演結(jié)果誤差達(dá)10.29%和12.75%；對于粒徑為2.88 μm 的顆粒模擬和實驗反演結(jié)果誤差達(dá)-7.64%和-9.55%，此時發(fā)散光束將嚴(yán)重影響測量結(jié)果。

圖10 不同發(fā)散角下模擬和實驗平均粒徑結(jié)果誤差Fig.10 Errors of mean sizes at different divergence angles in simulations and experiments

3.4 顆粒粒徑反演修正

為修正發(fā)散光束對消光法粒徑測量結(jié)果的影響，在粒徑0.05～5 μm、入射光波長0.4～0.7 μm 區(qū)間各線性分50 檔，用蒙特卡羅程序計算不同發(fā)散角下的消光值并構(gòu)建系數(shù)矩陣代替Mie 理論計算的消光系數(shù)矩陣，代入反演算法。對粒徑0.8 μm 的顆粒在發(fā)散角為5°、10°、15°、20°下實驗消光譜反演，修正前后反演結(jié)果與誤差如表1?？梢娊?jīng)修正后，不同發(fā)散角下粒徑的反演結(jié)果誤差在2.00%內(nèi)，表明該方法可減小入射光束發(fā)散對測量結(jié)果造成的誤差。

表1 修正前后不同發(fā)散角下顆粒反演結(jié)果和誤差（D=0.8 μm）Table 1 Inversed results and errors at different divergence angles before and after correction（D=0.8 μm）

4 結(jié)論

采用蒙特卡羅方法模擬發(fā)散光束下發(fā)散角變化對消光法粒徑測量的影響，搭建基于發(fā)散光束的消光法實驗平臺，針對三種不同粒徑的聚苯乙烯乳膠球標(biāo)準(zhǔn)顆粒進(jìn)行實驗，測得不同發(fā)散角條件下的消光譜，并反演出顆粒粒徑分布。結(jié)果表明：不同發(fā)散角下實驗消光譜的變化趨勢與數(shù)值模擬結(jié)果基本一致；顆粒粒徑反演誤差整體上隨發(fā)散角增大而增加，在20°發(fā)散角下粒徑為0.2、0.8、2.88 μm 的顆粒測量結(jié)果誤差分別為4.25%、12.75%、-9.55%。對粒徑0.8 μm 的顆粒在發(fā)散角為5°、10°、15°、20°的實驗消光譜反演修正，反演誤差在2.00%以內(nèi)，該方法可實現(xiàn)對于此類問題的誤差修正。