簡諧振動的運動方程推導及應用①

于洪杰

(齊齊哈爾工程學院基礎部,黑龍江 齊齊哈爾 161005)

0 引 言

機械振動現(xiàn)象在自然界、工程技術和日常生活中普遍存在,如機器開動時各部分的微小顫動、心臟的跳動等現(xiàn)象都具有明顯的振動特性[1]。機械振動也為學生學習地震學、建筑力學等后續(xù)專業(yè)課程提供必要的基礎知識。而簡諧振動可以說是機械振動中最基本的振動,其他復雜的機械振動可以視為多個簡諧振動的合成[2]。為了研究機械振動現(xiàn)象的基本機理,闡明機械振動的一般規(guī)律,需要應用簡諧振動的運動方程,進一步分析和求解相關問題,將振動現(xiàn)象及機理應用到專業(yè)學習過程中,而在教育教學過程中,各類教材中對于簡諧振動的運動方程推導較少,導致學生只知道方程的形式,不能很好的理解方程的推導過程。本文采用三種方法對簡諧振動的運動方程進行推導,同時結合實際問題闡述簡諧運動方程的簡單應用,對各高校教師教育教學及大學生自主學習具有一定指導及借鑒作用。

1 簡諧振動的運動方程推導

1.1 根據(jù)牛頓第二定律推導簡諧振動的運動方程

以彈簧振子系統(tǒng)為例,根據(jù)胡克定律,物體所受的彈性力F 與物體相對平衡位置的位移成正比[3],比例系數(shù)k 為彈簧勁度系數(shù)F =-kx ,由牛頓第二定律F =ma ,可得ma=-kx

方程中x 表示簡諧振動過程中物體離開平衡位置的位移,A 代表簡諧振動物體離開平衡位置的最大距離,稱為振幅,ωt+φ表征任意時刻物體振動狀態(tài),稱為相位,φ為t=0時刻物體振動狀態(tài),稱為初相。

1.2 根據(jù)機械能守恒定律推導簡諧振動的運動方程

利用 “機械能守恒定律”對簡諧振動方程進行推導時,可以將小球與彈簧作為研究的對象[4]。該模型中除了彈簧彈力外,其他的力都不做功,可以通過機械能守恒定律對簡諧振動運動方程進行推導。

對于簡諧振動,取平衡位置為坐標原點,如果從平衡位置開始計時,則振動位移方程為x =Asinωt;如果從振動端點開始計時,則振動位移方程為x=Acosωt[5]。實際應用過程中,可以根據(jù)實際需要來選擇合適的位移方程進行解決問題。

1.3 根據(jù)簡諧振動動力學方程的解推導簡諧振動的運動方程

則x=A(cosφcosωt+sinφsinωt),即得簡諧振動的運動方程x=Acos(ωt+φ)

從推導中可以分析出,簡諧振動的位移是時間的余弦函數(shù),簡諧振動物體的速度和加速度也是按正弦或余弦函數(shù)隨時間變化;在LC 振蕩回路的中,電容器電量、儲存的電場能等物理量也是按正弦函數(shù)隨時間作周期性變化的[6]。

2 簡諧振動運動方程的應用

2.1 已知簡諧振動參量求受力問題

在實際工程中,經(jīng)常會涉及到如圖1 所示模型:輕彈簧上端與木板相連,木板上安裝質量為m=1.0kg的物體,設木板沿豎直方向作簡諧振動,其振動的周期T =0.5s,振動幅度A =3.0×10-2m 。求:當木板運動到最低點時,物體對木板的作用力大小。

圖1 簡諧振動模型實際應用I

受力分析如圖1所示,根據(jù)牛頓第二定律可得

由于物體是隨板一起作簡諧運動,根據(jù)前面推導的簡諧振動的運動方程x=Acos(ωt+φ),對方程求二階導數(shù)可得加速度

則FN =mg+mgω2cos(ωt+φ),重物在最低點時,相位ωt+φ=0

2.2 已知運動情況求簡諧振動參量

輕質彈簧的勁度系數(shù)為k,上端與質量為m的平板相連?，F(xiàn)有一質量為m的物體由平板上方h高自由下落,同時與平板發(fā)生非彈性碰撞。求振動的振幅、周期及初相。(以平板開始運動時刻為計時起點,向下為正方向)

圖2 簡諧振動模型實際應用II

平板和物體做簡諧振動,以平衡位置為坐標原點,向下為正方向,初始條件

3 實驗結論

大學物理教材中一般采用動力學方程直接給出簡諧振動的運動方程,學生知其然而不知其所以然。通過3種方法求解簡諧振動的運動方程,不同方法在求解過程中循序漸進地培養(yǎng)學生邏輯思維能力。根據(jù)求解的簡諧振動運動方程,結合實際工程問題模型,從已知簡諧振動參量求受力問題和已知運動情況求簡諧振動參量兩個角度對簡諧振動方程進行實際應用,提高學生解決實際問題的能力,對后續(xù)專業(yè)課程的學習起到很好的作用。