基于區(qū)間交叉效率DEA 和SMAA-2的畢達哥拉斯模糊偏好關(guān)系決策方法①

趙 玨, 劉金培, 劉迎鳳

(安徽大學(xué)商學(xué)院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

在決策過程中,決策者通常針對備選方案集給出方案兩兩比較后的偏好關(guān)系。但由于決策者所掌握的信息量有限,且決策環(huán)境不斷變化,決策者往往不能用精確值來表示其偏好關(guān)系。基于此,Yager 等[1]在 直 覺 模 糊 集(Intuitionistic fuzzy sets,IFSs)等的基礎(chǔ)上,首次提出了畢達哥拉斯模糊集(Pythagorean fuzzy sets,PFSs),這一方法不僅可以從隸屬度、非隸屬度、猶豫度三方面表示模糊信息,而且將隸屬度與非隸屬度的取值范圍由三角形擴充為四分之一圓,是處理不確定性問題的一個強有力工具。楊藝等[2]在此基礎(chǔ)上,提出了畢達哥拉斯模糊偏好關(guān)系(Pythagorean fuzzy preference relation,PFPR)的基礎(chǔ)框架。近年來,關(guān)于畢達哥拉斯模糊信息的決策問題已經(jīng)成為人們研究的熱點[1-4]。學(xué)者們通常對偏好關(guān)系進行一致性調(diào)整后推導(dǎo)出其權(quán)重向量并進行排序,然而,一致性調(diào)整的方法容易歪曲決策者給定的原始評價信息,使得結(jié)果可信度較弱。此外,交叉效率DEA 作為衡量相對效率的工具之一,通過決策單元交互評價,可以使得最終評價結(jié)果更具客觀性,且避免了對偏好關(guān)系進行一致性調(diào)整。但是,很少有研究將畢達哥拉斯模糊偏好關(guān)系與交叉效率DEA 進行結(jié)合。針對上述問題,提出了基于區(qū)間交叉效率DEA 和SMAA-2 的偏好關(guān)系決策方法,有效避免了決策信息的損失,具有較好的適用性與可行性。

1 預(yù)備知識

針對某一決策問題,設(shè)X={x1,x2,…,xn}為備選方案集,專家在進行決策的過程中,通常對備選方案進行兩兩比較,給出偏好關(guān)系矩陣R=(rij)n×n。

定義1[5,6]設(shè)X={x1,x2,…,xn}為備選方案集,若偏好關(guān)系R =(rij)n×n滿足

其中rij表示備選方案xi優(yōu)于xj的程度,則稱R 為加性偏好關(guān)系。若該矩陣滿足

則稱偏好關(guān)系R 滿足加性一致性。

為了表達決策者的不確定性偏好,區(qū)間模糊集、畢達哥拉斯模糊集的概念被提出。

定義2[2,7]論域X 上的區(qū)間模糊集(interval-valued fuzzy sets,IVFSs)定義如下:

其中l(wèi)A(x)與uA(x)分別表示元素x 隸屬于集合A 的隸屬度區(qū)間的下限與上限,且滿足0 ≤lA(x)≤uA(x)≤1。稱[lA(x),uA(x)]為區(qū)間模糊數(shù)(interval-valued fuzzy number,IVFN),一般用α=[lα,uα]表示。

定義3[2,7]設(shè)IVFN 的中心值為center(α),不確定性程度為len gth([lα,uα])=uα-lα。對于任意兩個IVFNα=[lα,uα]和β=[lβ,uβ],有如下IVFN 的比較規(guī)則:

(1)若center(α)＜center(β),則α ?IVβ ;

(2)若center(α)=center(β),則

若len gth(α)＞len gth(β),則α ?IVβ ;

若len gth(α)=len gth(β),則α=IVβ 。

2 決策方法

2.1 畢達哥拉斯模糊偏好關(guān)系的轉(zhuǎn)換

首先利用模糊數(shù)之間的替代關(guān)系,將畢達哥拉斯模糊數(shù)轉(zhuǎn)換為區(qū)間模糊數(shù),同時畢達哥拉斯模糊偏好關(guān)系也可轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的區(qū)間模糊偏好關(guān)系。

文獻[2]提出,可通過等式ζ(p)=ζ(＜ρ,σ＞)=[ρ2,1-σ2],將p 轉(zhuǎn)換成區(qū)間模糊數(shù),同時也可將加性一致性PFPR 轉(zhuǎn)換成加性一致性IVFPR,具體轉(zhuǎn)換關(guān)系如下表1所示。

表1 PFN、IVFN 之間的替換

根據(jù)定義3、7,易得如下定理1。

定理1[2](保序性)設(shè)pi =＜ρi,σi＞(i=1,2)為兩個畢達哥拉斯模糊數(shù),若兩個區(qū)間模糊數(shù)αi(i=1,2)滿足αi =[ρ2i,1-σ2i](i=1,2),則p1?Pp2?α1?IVα2。

定理1表明,轉(zhuǎn)換后的區(qū)間模糊數(shù)保持了原始畢達哥拉斯模糊數(shù)之間的序關(guān)系不變,說明模糊數(shù)之間的等價轉(zhuǎn)換保證了信息的一致性。

2.2 畢達哥拉斯模糊偏好關(guān)系的區(qū)間交叉效率DEA 模型

在自評價效率的基礎(chǔ)上,構(gòu)建區(qū)間交叉效率DEA 模型,提出畢達哥拉斯模糊偏好關(guān)系的區(qū)間交叉效率的算法。

由表2,構(gòu)建如下產(chǎn)出導(dǎo)向的CCR 模型(10),對決策單元DMUk(k=1,2,…,n)進行自評價效率計算[10],具體形式如下:

表2 基于=(ij)n×n =(＜ρij,σij ＞)n×n的投入產(chǎn)出表

表2 基于=(ij)n×n =(＜ρij,σij ＞)n×n的投入產(chǎn)出表

產(chǎn)出1 產(chǎn)出2… 產(chǎn)出n 虛擬投入

?

其中,ωk,μkr(r=1,2,…,n)分別表示虛擬投入變量與產(chǎn)出變量的權(quán)重值,對模型求解,得最優(yōu)權(quán)重解(ωk*,μk*1,μk*2,…,μk*n),即使得DMUk效率最大時的權(quán)系數(shù),以及DMUk的最優(yōu)自評價效率區(qū)間[hk-k*,hk+k*]。

由于自評價效率模型存在決策單元過分夸大自身優(yōu)勢、回避自身缺陷等主觀性偏差問題,因此引入交叉效率DEA 模型,通過將他評價效率與自評價效率相結(jié)合,提高結(jié)果的客觀性。此外,決策單元的信息尚未確定,這將影響自評價與他評價效率的評估,因此傳統(tǒng)的交叉效率模型并不適用于基于區(qū)間型數(shù)據(jù)的決策單元,基于此,建立以下模型,計算區(qū)間型交叉效率[11-13]。

首先,構(gòu)建模型(12),求解得最優(yōu)權(quán)重值(η*k,w*k1,w*k2,…,w*kn)以及目標(biāo)函數(shù)值α*kk,即DMUk的相對效率值,其中,區(qū)間聚合函數(shù)在此基礎(chǔ)上,構(gòu)建進取型交叉效率DEA 模型(13)。該模型以保持DMUk的最優(yōu)效率上限值為核心,目標(biāo)在于最小化所有備選方案的全部交叉效率的下限值,求解得輸入與輸出變量的最優(yōu)權(quán)重解uk*= (uk*1,uk*2,…,uk*n)T和vk*。因此,備選方案xk對xj的交叉效率評價值如公式(14)所示,θk-j與θk+j分別是他評價效率的區(qū)間下限與上限,即[θk-j*,θk+j*]表示方案xk對xj的評價值。

根據(jù)模型(10)、(12)以及(13),可獲得區(qū)間交叉效率矩陣Θ ,即

2.3 基于SMAA-2的區(qū)間交叉效率排序

SMAA 方法能夠在精確屬性值、決策偏好未知或較少的情況下解決多屬性決策問題,后改進的SMAA-2方法能夠考慮每個方案隨機排序的可接受度,這為決策者提供了一種基于多標(biāo)準(zhǔn)的指標(biāo)評價方法。

Step3 根據(jù)獲得的區(qū)間交叉效率矩陣,利用模型(16)等計算出各個方案的排名可接受度指數(shù)bri(i,r=1,2,…,n)以及總體可接受度指數(shù)ahi(i=1,2,…,n),進而根據(jù)總體可接受度指數(shù)進行排序,最終得到備選方案集的決策結(jié)果。

3 算例分析

“十四五”時期是我國推進生態(tài)文明建設(shè)的關(guān)鍵時期,作為碳排放總量世界第一的大國,我國工業(yè)總體上仍未走出發(fā)展模式困境,環(huán)境保護仍面臨能源約束、環(huán)境質(zhì)量要求提高等多重壓力。廣東省深圳市作為全國首批 “無廢城市”建設(shè)試點之一,需要進一步加快綠色發(fā)展轉(zhuǎn)型,全面推動高質(zhì)量發(fā)展?，F(xiàn)有4個推動產(chǎn)業(yè)綠色轉(zhuǎn)型發(fā)展的方案供選擇:x1:培育和發(fā)展節(jié)能環(huán)保產(chǎn)業(yè);x2:打造綠色產(chǎn)業(yè)鏈等,構(gòu)建綠色制造體系;x3:健全完善相關(guān)政策,深化碳交易在各領(lǐng)域的協(xié)同減排作用;x4:發(fā)展戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)和未來產(chǎn)業(yè),打造經(jīng)濟增長新引擎。

為更好地響應(yīng)國家政策號召,推動產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量發(fā)展,需要對這4個產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型方案進行決策,專家根據(jù)自身的知識儲備,給出4個備選方案的畢達哥拉斯模糊偏好關(guān)系矩陣如下:

根據(jù)表1,則畢達哥拉斯模糊偏好關(guān)系的等價 區(qū)間模糊偏好關(guān)系為:

根據(jù)模型(10)和公式(11),利用Matlab編程,計算得畢達哥拉斯模糊偏好關(guān)系的區(qū)間自評價效率值:

根據(jù)模型(12)和(13)的交叉效率DEA 算法,進一步計算得偏好關(guān)系的區(qū)間交叉效率值:

這里假設(shè)交叉效率值呈均勻分布,利用軟件JSMAA 1.0.3版[15]中SMAA-2的方法,得出如表3所示計算結(jié)果。各方案按第二欄的總體可接受度指數(shù)進行排序,具體排序為DMU2?DMU3?DMU1?DMU4,即方案1為最佳方案。

表3 總體可接受度指數(shù)及排名可接受度指數(shù)

4 結(jié) 語

針對畢達哥拉斯模糊偏好關(guān)系,本文將每個備選方案視為決策單元,提出一種新的基于區(qū)間交叉效率DEA 的決策方法。首先,將畢達哥拉斯模糊偏好關(guān)系轉(zhuǎn)換為區(qū)間模糊偏好關(guān)系,構(gòu)建方案自評價效率的求解模型。其次,構(gòu)建偏好關(guān)系的交叉效率DEA 算法模型,得到自評價與他評價相結(jié)合的區(qū)間效率矩陣。最后,采用SMAA-2方法,獲取所有備選方案的決策結(jié)果。本文提出的方法不需要對給定的偏好關(guān)系進行一致性調(diào)整,減少決策信息的損失,具有良好的適用性。