基于部分函數(shù)線性回歸改進(jìn)方法的CPI混頻預(yù)測(cè)①

李氣芳, 蘇梽芳

(1.閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 漳州 363000;2.華僑大學(xué)經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院,福建 泉州 362021)

0 引 言

在宏觀經(jīng)濟(jì)和金融市場(chǎng)的混頻數(shù)據(jù)分析中,傳統(tǒng)的計(jì)量模型是利用加總或插值的方法轉(zhuǎn)化成同頻數(shù)據(jù)進(jìn)行建模,這樣會(huì)損失掉高頻數(shù)據(jù)的大量信息。Ghysels等[1]提出混合數(shù)據(jù)抽樣(MIDAS)模型,利用滯后權(quán)重函數(shù)把高頻數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成低頻數(shù)據(jù),充分利用樣本數(shù)據(jù)信息,大大提高模型的預(yù)測(cè)精度。Clements和Galv?o[2]最先將MIDAS模型應(yīng)用于宏觀GDP 的預(yù)測(cè)。劉漢和劉金全[3]基于MIDAS 模型對(duì)中國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)總量進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)和短期預(yù)測(cè)。尚玉皇和鄭挺國(guó)[4]提出一種包含宏觀因子的混頻短期利率模型對(duì)短期利率波動(dòng)進(jìn)行測(cè)度與預(yù)測(cè)。龔玉婷等[5]基于MIDAS-AR 模型、魯王波和楊冬[6]基于半?yún)?shù)混頻誤差修正模型研究CPI的預(yù)測(cè)。

但是,MIDAS 模型在估計(jì)的時(shí)候,會(huì)面臨權(quán)重函數(shù)類別和參數(shù)個(gè)數(shù)選擇的問(wèn)題。而金融領(lǐng)域的高頻數(shù)據(jù)表現(xiàn)出函數(shù)型數(shù)據(jù)特征,可以利用函數(shù)型數(shù)據(jù)分析(FDA)理論來(lái)研究。該理論是由加拿大統(tǒng)計(jì)學(xué)家Ramsay首次提出[7],已經(jīng)廣泛應(yīng)用到氣象[8]、生物[9]、金融[10]、生態(tài)[11]等領(lǐng)域。于是,本文借鑒函數(shù)型數(shù)據(jù)分析思想,把高頻數(shù)據(jù)看成是某個(gè)隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的函數(shù)曲線,利用部分函數(shù)線性回歸模型對(duì)CPI進(jìn)行混頻預(yù)測(cè),為混頻數(shù)據(jù)分析提供一種新的分析方法。該模型由Zhang等[12]首次提出,程麗娟[13]把部分函數(shù)線性回歸模型應(yīng)用到上證指數(shù)的預(yù)測(cè)中,方連娣[14]在模型中加入輔助向量給出了極大經(jīng)驗(yàn)似然估計(jì)。但現(xiàn)有部分函數(shù)線性回歸模型估計(jì)和應(yīng)用中,都假設(shè)函數(shù)型變量是服從獨(dú)立同分布(i.i.d.)的,這顯然與金融高頻數(shù)據(jù)的相依特征不相符。于是針對(duì)相依的金融高頻數(shù)據(jù),本文提出部分函數(shù)線性回歸模型估計(jì)的改進(jìn)方法,并通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)例與現(xiàn)有的部分函數(shù)線性回歸模型及MIDAS模型進(jìn)行對(duì)比分析。

1 部分函數(shù)線性回歸模型及改進(jìn)模型的估計(jì)

1.1 模型介紹

Zhang等[12]提出了部分函數(shù)線性回歸模型,包含1維標(biāo)量因變量、p 維標(biāo)量和1維函數(shù)型自變量,該模型把多元線性回歸模型和函數(shù)線性回歸模型結(jié)合在一起,具體的表達(dá)式為(1):

式(1)中Zi=(Zi1,Zi2,…,Zip)＇ 為p 維自變量向量,α = (α1,α2,…,αp)＇ 為p 維 回 歸 系 數(shù),Xi(t)為函數(shù)型變量且在[0,1]上平方可積,β(t)為回歸系數(shù)函數(shù),εi為隨機(jī)誤差項(xiàng)。

實(shí)際中,根據(jù)需要,很容易把模型(1)推廣到兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)型自變量的情形,本文只考慮模型

在模型估計(jì)之前,首要任務(wù)是把觀測(cè)到的高頻數(shù)據(jù)表示成函數(shù)曲線。

1.2 高頻數(shù)據(jù)的函數(shù)表示

假設(shè)高頻數(shù)據(jù)服從獨(dú)立同分布(i.i.d.)假設(shè),那么利用K-L展開式就可以表示為

由于金融系統(tǒng)的慣性,會(huì)導(dǎo)致金融高頻數(shù)據(jù)之間具有相依特征,利用式(3)計(jì)算得到的樣本協(xié)方差函數(shù)不再是總體協(xié)方差函數(shù)一致估計(jì),所以式(4)的函數(shù)表示不夠準(zhǔn)確,也可能會(huì)導(dǎo)致模型估計(jì)出現(xiàn)偏差。于是把Wang等[15]的思想推廣到函數(shù)型數(shù)據(jù)情形,提出一種基于殘差協(xié)方差函數(shù)的函數(shù)表示方法:假設(shè)定義在時(shí)間[0,1]上的函數(shù)之間是相依的,比如金融市場(chǎng)今天和明天的某只高頻股票價(jià)格曲線,那么在[0,1]的每個(gè)時(shí)間點(diǎn)t 上,N 條函數(shù)曲線的觀測(cè)數(shù)據(jù)可以看成是一列相依的時(shí)間序列數(shù)據(jù),利用AR(p)模型對(duì)每列相依時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,從而得到i.i.d.的殘差函數(shù)ηi(t),于是函數(shù)可以表示為

在得到i.i.d.的殘差函數(shù)ηi(t)后,就可以利用i.i.d.條件下的FDA 方法計(jì)算殘差協(xié)方差函數(shù),再通過(guò)殘差協(xié)方差函數(shù)計(jì)算得到殘差函數(shù)主成分,進(jìn)而利用K-L展開式把函數(shù)表示為

1.3 模型估計(jì)

對(duì)高頻進(jìn)行函數(shù)表示后,就可以代入模型進(jìn)行估計(jì),下面介紹兩種估計(jì)方法:一種是現(xiàn)有的基于i.i.d.的協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)方法,本文把它推廣到二元情形;另一種是本文針對(duì)相依的金融高頻數(shù)據(jù)提出的改進(jìn)方法。

1.3.1 獨(dú)立同分布(i.i.d.)條件下基于協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)

假設(shè)函數(shù)型數(shù)據(jù)已經(jīng)由式(4)表示成

同時(shí)假設(shè)回歸系數(shù)函數(shù)也可以用相同的函數(shù)主成分基線性表示,即有

所以部分函數(shù)線性回歸模型轉(zhuǎn)化為多元回歸模型,利用最小二乘法就可以估計(jì)得到回歸系數(shù)向量

2 數(shù)值模擬

2.1 數(shù)據(jù)生成

參考已有研究,數(shù)據(jù)是由MIDAS模型

產(chǎn)生的,具體的模擬步驟如下:

(1)低頻變量X1t和X2t由N(0,1)各生成(N+10)個(gè)數(shù)據(jù),高頻變量X3t由ARMA(2,2)生成12*(N+10)個(gè)數(shù)據(jù),高頻變量X4t由ARMA(2,2)生成20*(N+10)個(gè)數(shù)據(jù)。指數(shù)Almon 滯后權(quán)重多項(xiàng)式初始參數(shù)設(shè)定為γ1=（ 1 ,-0.5）＇,γ2=（ 2,0.5,-0.1）＇。 誤 差 項(xiàng)εt由N(0,0.01)生成(N+10)個(gè)數(shù)據(jù)。這樣生成的高頻數(shù)據(jù)X3t和X4t具有相依特征。

(2)把生成數(shù)據(jù)代入MIDAS模型得到因變量Yt的值。前N個(gè)樣本作為訓(xùn)練集,后10個(gè)樣本作為樣本外預(yù)測(cè)集。樣本容量N分別50/100/200/300。

(3)利用M(2)-MIDAS和M(2)-MIDAS-AR(1)模型進(jìn)行擬合,并得到樣本外預(yù)測(cè)值1i和

2i。

(4)利用基于協(xié)方差函數(shù)估計(jì)方法估計(jì)回歸系數(shù)函數(shù),并進(jìn)一步得到樣本外預(yù)測(cè)值

3i。

(5)利用基于殘差協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)方法估計(jì)回歸系數(shù)函數(shù),并進(jìn)一步得到樣本外預(yù)測(cè)值

4i。

(6)計(jì)算均方預(yù)測(cè)誤差平方根RMSPE。

(7)重復(fù)步驟1-6 共200 次,計(jì)算平均的RMSPE。

2.2 結(jié)果分析

數(shù)值模擬結(jié)果見(jiàn)表1,其中M(2)-MIDAS表示二元混頻預(yù)測(cè)模型,M(2)-MIDAS-AR(1)表示滯后1期的二元混頻預(yù)測(cè)模型,FPC 表示基于獨(dú)立同分布(i.i.d.)條件下基于協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)方法,RFPC表示相依條件下基于殘差協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)方法。

表1 不同估計(jì)方法的預(yù)測(cè)精度比較

從表1可以看出,隨著樣本量的增加,四種估計(jì)方法的樣本外預(yù)測(cè)誤差都呈現(xiàn)遞減的趨勢(shì)。在每個(gè)樣本容量下,考慮了滯后1期的MIDAS-AR(1)模型比MIDAS的樣本外預(yù)測(cè)誤差要小;函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法FPC和RFPC的樣本外預(yù)測(cè)誤差比混頻模型MIDAS和MIDAS-AR(1)的小;本文提出的基于殘差協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)方法RFPC的樣本外預(yù)測(cè)誤差最小。

3 CPI混頻預(yù)測(cè)

影響CPI的因素很多,本文從貨幣供應(yīng)量、生產(chǎn)水平、能源和農(nóng)產(chǎn)品四個(gè)因素選擇了月度同頻變量M2和PPI、日度高頻變量原油價(jià)格和豆類價(jià)格作為影響CPI的主要原因[5,16-17],同時(shí)考慮CPI滯后1期的影響。數(shù)據(jù)從2013年1月至2019年7月,其中2013年1月至2018年12月的月度數(shù)據(jù)和2013年1月1日至2018年12月31日的日度數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集,2019年1月至7月的月度數(shù)據(jù)和2019年1月1日至2019年7月31日的日度數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)集。具體的部分函數(shù)線性回歸模型為

由于每個(gè)月天數(shù)28至31天不等且非交易日及節(jié)假日無(wú)數(shù)據(jù)更新,實(shí)際每個(gè)月觀測(cè)18 至23天。參考已有研究,本文從每個(gè)月中選取20個(gè)交易日,對(duì)少量數(shù)據(jù)缺失部分進(jìn)行插值。數(shù)據(jù)來(lái)自Choice金融終端,所有數(shù)據(jù)都以當(dāng)月同比增長(zhǎng)率來(lái)表示?；赗 語(yǔ)言,沒(méi)有考慮CPI滯后期的預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 不同估計(jì)方法的CPI預(yù)測(cè)精度比較

從表2可以看出,函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法FPC和RFPC的樣本外預(yù)測(cè)誤差比混頻模型M(2)-MIDAS的小;本文提出的基于殘差協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)方法RFPC的樣本外預(yù)測(cè)誤差最小。下面加入CPI滯后1期,預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 加入滯后1期后不同估計(jì)方法的CPI預(yù)測(cè)精度比較

從表3可以看出,加入CPI滯后1期后,三種估計(jì)方法的樣本外預(yù)測(cè)誤差都變小了。函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法FPC和RFPC的樣本外預(yù)測(cè)誤差還是比混頻模型M(2)-MIDAS-AR(1)的小;本文提出的基于殘差協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)方法RFPC 的樣本外預(yù)測(cè)誤差最小。從表2和表3是可以看出,本文針對(duì)金融高頻數(shù)據(jù)相依特征提出的改進(jìn)方法在預(yù)測(cè)精度上具有一定的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié) 論

針對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)和金融市場(chǎng)的混頻數(shù)據(jù),提出一種新的混頻數(shù)據(jù)分析方法,把金融高頻數(shù)據(jù)看成是由某個(gè)隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的函數(shù)曲線,利用部元函數(shù)線性回歸模型對(duì)混頻數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。并根據(jù)金融高頻數(shù)據(jù)的相依特征,提出了模型估計(jì)的改進(jìn)方法。結(jié)果表明:(1)數(shù)值模擬中,隨著樣本量的增加,四種估計(jì)方法的樣本外預(yù)測(cè)誤差都呈現(xiàn)遞減的趨勢(shì),但在每個(gè)樣本容量下,函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法FPC和RFPC 的樣本外預(yù)測(cè)誤差比混頻模型MIDAS和MIDAS-AR(1)的小,且本文提出的估計(jì)方法RFPC的樣本外預(yù)測(cè)誤差最小;(2)CPI混頻數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)中,本文提出的改進(jìn)方法比現(xiàn)有部分函數(shù)線性回歸模型以及MIDAS模型的樣本外預(yù)測(cè)誤差要小、精度要高。