基于數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力發(fā)展的幾何變換圖形構(gòu)造問(wèn)題解決

林奕杰

摘要：利用幾何變換進(jìn)行圖形的構(gòu)造是一種數(shù)學(xué)解題模型，能有效促進(jìn)學(xué)生 空間觀念、幾何直觀、推理能力和模型思想等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：初中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力;幾何變化;問(wèn)題解決

羅增儒教授在“解題策略的基本考慮”中介紹了模式識(shí)別策略：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)加工，會(huì)得出有長(zhǎng)久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式，…當(dāng)遇到一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，我們辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，…以此為索引，在記憶貯存中提取相應(yīng)的方法加以解決，這就是模式識(shí)別的解題策略[2].因此我們可以認(rèn)為：解題就是數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造和應(yīng)用的過(guò)程.通過(guò)‘分析組合題中已有的條件原素形成有效的數(shù)學(xué)模型或添加輔助線元素把題中殘缺的數(shù)學(xué)模型補(bǔ)充完整’，獲得‘結(jié)構(gòu)完整的、關(guān)系明確的數(shù)學(xué)模型’達(dá)成‘條件用足，模型完整’[3]，從而解決問(wèn)題。

利用幾何變換進(jìn)行圖形的構(gòu)造是一種數(shù)學(xué)解題模型，能有效促進(jìn)學(xué)生 空間觀念、幾何直觀、推理能力和模型思想等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的發(fā)展。在幾何的解題中，當(dāng)題目給出的條件顯得不夠或者不明顯時(shí)，我們可以將圖形作一定的變換，這樣有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的隱含條件，把隱性條件顯性化，使問(wèn)題得以突破.幾何圖形的構(gòu)造一般有以下三種構(gòu)造方式：①有則組之，即組形;②缺則補(bǔ)之，即補(bǔ)形;③無(wú)則變之，即變形.構(gòu)造的手段往往就是幾何變換.初中涉及到的常見(jiàn)幾何變換有：旋轉(zhuǎn)、平移、軸對(duì)稱、位似.本文所選例題題干簡(jiǎn)約不簡(jiǎn)單、圖形簡(jiǎn)潔內(nèi)容豐富，蘊(yùn)藏著豐富的幾何建模思想，本文依托于此題僅從旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱的變換角度進(jìn)行初步探究。

試題在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，旋轉(zhuǎn)角為α.

（1）如圖1，∠BAC=90°，α=45°，試求點(diǎn)D到邊AB，AC的距離的比值;

（2）如圖2，∠BAC=100°，α=20°，連接AD，BD，求∠CBD的大小.

以上輔助線作法是根據(jù)“缺則補(bǔ)之”的構(gòu)造原則，把兩個(gè)隱藏的具有旋轉(zhuǎn)關(guān)系的三角形顯性化，再利用三角形的相關(guān)性質(zhì)，獲得未知角和已知角之間的數(shù)量關(guān)系，達(dá)成問(wèn)題解決。

本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題（FJJKZX21-339）“基于數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力發(fā)展的質(zhì)疑式初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究”階段性成果