淺談新教材下三角函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)策略

彭霞

摘要：三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)的重要組成部分，三角函數(shù)的性質(zhì)是高考的必考知識點(diǎn)，而單調(diào)性是其性質(zhì)中非常重要的一個(gè)性質(zhì)。三角函數(shù)的教學(xué)過程中涉及各種概念、公式等信息量巨大，用到整體代換、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，且應(yīng)用靈活多變，這都給我們的教學(xué)帶來不小的挑戰(zhàn)。2020年9月廣東高一的學(xué)生全面啟用了新教材《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊》（A版2019），老師在教學(xué)過程中需要認(rèn)真研究和對比新舊教材中有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)性求解過程中的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，因材施教，找出最適合我們學(xué)生的教學(xué)策略，幫助同學(xué)們真正理解這部分的內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：新教材;三角函數(shù);單調(diào)性;教學(xué)策略

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017）中明確指出高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一，且高中數(shù)學(xué)不能只限于形式化的表達(dá)。新教材（人教A版必修第一冊P205例5）在三角函數(shù)單調(diào)性的求解方法上就充分體現(xiàn)了 “提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”這一數(shù)學(xué)教育基本目標(biāo)。

例題的求解過程利用了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的特點(diǎn)，采用整體代換的數(shù)學(xué)思想把 看作新的變量z，借助正弦函數(shù)y=sin z在相應(yīng)區(qū)間上的圖像直觀判斷獲得當(dāng)時(shí)y=sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是此時(shí)有很多同學(xué)會誤認(rèn)為就是原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，事實(shí)上z只是中間變量我們最終要求的是x的取值范圍，所以還需把z換為解出x的取值范圍從而得到函數(shù)當(dāng)?shù)膯握{(diào)遞增區(qū)間.該例題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對學(xué)生的能力要求較高，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差的同學(xué)有一定的難度，但同時(shí)也是挑戰(zhàn)，不僅能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和成就感，而且還能鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，更符合高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的課程理念。請同學(xué)們在掌握了例5的解題方法的基礎(chǔ)上求解下面的例題：

此例題中我們求出了函數(shù)當(dāng)x∈R時(shí)的所有單調(diào)遞增區(qū)間（單調(diào)遞減區(qū)間的求法與遞增區(qū)間的求法是一樣的），并且體現(xiàn)出了正弦函數(shù)的周期性。通過這兩個(gè)例題的求解使同學(xué)們順利地完成了由特殊到一般的數(shù)學(xué)推理能力，同時(shí)也體現(xiàn)的同學(xué)們的總結(jié)歸納能力，對同類問題的應(yīng)變能力，體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的課程理念——強(qiáng)調(diào)本質(zhì)。新教材沒有一開始就給出函數(shù)當(dāng)x∈R時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間的求法而是通過例題讓同學(xué)們自己推理、歸納、總結(jié)，避免形式化。

橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。每個(gè)同學(xué)對同一個(gè)問題的認(rèn)知都可能存在差異，有的同學(xué)理解能力強(qiáng)，例5對他來說豪無壓力，但對有的同學(xué)來說壓力就很大了，所以我們能不能換一種方法在變式1的基礎(chǔ)上求解例5呢？人教A版《高中數(shù)學(xué)必修4》（2004）P39的例5給了我們答案。

此種解法和新教材恰好相反，這是從一般到特殊的求解過程，首先求出函數(shù)在R上的所有單調(diào)遞增區(qū)間，其次通過取k的一些特殊值（-1，0，1）求出某些單調(diào)遞增區(qū)間，最后通過求集合的交集得到所求的單調(diào)遞增區(qū)間。此種解法“套路”明顯，整個(gè)過程只有一次整體代換的數(shù)學(xué)思想，老師在平時(shí)教學(xué)中通過歸納總結(jié)解題步驟并且反復(fù)練習(xí)即使是基礎(chǔ)差的同學(xué)也能掌握此種方法的解題技巧從而求解出正確答案，但與新教材的解法相比較過程顯得復(fù)雜不夠簡練。

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出“形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在形式化的海洋里。數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展也表明，全盤形式化是不可能的。因此，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)。數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)”。新教材中例5的解題思路完全符合這一課程理念，不只限于形式化的表達(dá)而是通過典型例子讓學(xué)生自主探索并把結(jié)論推廣到一般。而舊教材的解法比較形式化和“套路”化。有句俗話叫“死去活來”，我想用在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也是合適的，當(dāng)同學(xué)們理解有困難時(shí)我們可以給定某些“規(guī)定動作”讓同學(xué)們反復(fù)練習(xí)從而達(dá)到熟能生巧順利解決問題的目的。比如舊教材中例5的求解過程可以歸納為：一、代換，二、求解，三、取值，四、交集，五、下結(jié)論等這五個(gè)“規(guī)定動作”。在實(shí)際教學(xué)中我所任教的一個(gè)班是理科普通班（中考成績大多在610分左右），這個(gè)班我兩種方法都介紹并讓同學(xué)們歸納總結(jié)出此類問題的一般解法，選取自己最容易掌握的方法并反復(fù)不斷練習(xí)，另一個(gè)班是藝術(shù)班，這個(gè)班的教學(xué)主要以舊教材中的方法為主，以學(xué)生為主體是我們教學(xué)的宗旨。

變式2：求出函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間。（新教材P207思考）

此“思考”題主要是為了使學(xué)生對于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題有一個(gè)完整的認(rèn)識，分析思路是一樣的，有兩種方法：

變式3：求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。

同學(xué)們在變式2的基礎(chǔ)上總結(jié)歸納出變式3的求解方法（課后作業(yè)）。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)過程中還應(yīng)倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方法，這也是高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的要求，我們在三角函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)過程中要不斷滲透這種思想為同學(xué)們高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，為高考做好準(zhǔn)備。

參考文獻(xiàn)：

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[5]陳禹姍. 基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的高中函數(shù)性質(zhì)課堂教學(xué). 哈爾濱師范大學(xué).