課程思政視角下用“先重后單”法計(jì)算三重積分教學(xué)設(shè)計(jì)

董芳芳，張玉新，劉 薇

隨著教育部關(guān)于印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》的通知以及多種形式培訓(xùn)的開展，課程思政已融入到高校每門課程的教學(xué)環(huán)節(jié)中.實(shí)踐證明，課程思政元素和哲學(xué)元素的恰當(dāng)引入，能大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力、奮斗動(dòng)力，塑造學(xué)生正確的三觀，幫助學(xué)生樹立堅(jiān)定的學(xué)術(shù)志向和家國情懷.課程思政的融入是一個(gè)潛移默化的過程，春風(fēng)化雨，潤物無聲，教師要做到讓專業(yè)質(zhì)量成為課堂的生命，讓課程思政成為課堂的靈魂，堅(jiān)守育人初心，回歸教育本原.

三重積分是“數(shù)學(xué)分析”和“高等數(shù)學(xué)”課程中積分學(xué)的主要模塊，其計(jì)算尤為重要［1-3］.本文從課程思政和哲學(xué)的角度，探索“先重后單”法的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)過程，“先重后單”法是三重積分的計(jì)算方法之一，該方法新穎，亮點(diǎn)突出，教材上有對(duì)應(yīng)的例題，但少了整體思路的闡述，本文也是對(duì)教材內(nèi)容的一個(gè)很好的補(bǔ)充［4-7］.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 教學(xué)目標(biāo)

能熟練運(yùn)用“先重后單”法計(jì)算三重積分，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟出該方法的關(guān)鍵所在：學(xué)會(huì)切法，切口面的方程和面積的求法以及如何將三重積分化成“先重后單”的累次積分.

1.2 教學(xué)策略

實(shí)物引入法.首先，通過展示一些常見的立體圖形，帶學(xué)生觀察其特點(diǎn)，當(dāng)用任意的平行于坐標(biāo)平面的平面切立體圖形時(shí)，切口面有沒有公共規(guī)律以及切口面是什么平面圖形；其次，引導(dǎo)學(xué)生判斷當(dāng)被積函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)，選擇用平行于哪個(gè)坐標(biāo)平面的平面切立體圖形時(shí)，才能簡化計(jì)算；最后將積分立體寫成先“二維”后“一維”的形式，這就決定了“先重后單”的累次積分次序，進(jìn)而有效地完成計(jì)算.

1.3 教學(xué)手段

板書為主，PPT 輔助.

1.4 思政元素

無論是定積分、二重積分、三重積分，還是曲線積分、曲面積分，它們的靈魂思想都是：分割，近似求和，取極限，其中無不體現(xiàn)著：“割之彌細(xì)，失之彌少”“不積跬步無以至千里，不積小流無以成江河”“不以善小而不為，不以惡小而為之”“養(yǎng)小德才能積大德”的人生哲理，通過學(xué)習(xí)和了解與之相關(guān)的數(shù)學(xué)家劉徽的《割圓術(shù)》、政治家荀子的《勸學(xué)》、微積分的發(fā)展史以及數(shù)學(xué)家的求學(xué)歷程，不僅可以加深學(xué)生對(duì)本知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶，而且可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情、家國情懷，鼓勵(lì)學(xué)生克服困難，刻苦鉆研，迎難而上，善于發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，用樂觀的精神面對(duì)困難.

1.5 哲學(xué)思想

唯物辯證法指出：具體問題具體分析是正確認(rèn)識(shí)事物的基礎(chǔ)，也是正確解決矛盾的關(guān)鍵，任何事物都是矛盾的普遍性和特殊性的統(tǒng)一，研究矛盾的普遍性才能發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展的一般規(guī)律；研究矛盾的特殊性，才能確定事物存在的特殊本質(zhì).比如在三重積分的計(jì)算中，當(dāng)被積函數(shù)f(x,y,z)為一元函數(shù)并且積分立體V滿足：用平行于另外兩個(gè)變元所確定的坐標(biāo)平面的平面切立體圖形時(shí)，切口面有一定規(guī)律，有了這種“特殊性”，用“先重后單”法求解更為簡潔方便.

同時(shí)，認(rèn)識(shí)事物不僅要把握現(xiàn)象，而且要分析其內(nèi)部矛盾，分析矛盾內(nèi)部的對(duì)立因素之間的關(guān)系，才能解決矛盾.比如在二重積分的計(jì)算中，經(jīng)常需要平衡被積函數(shù)和積分區(qū)域，當(dāng)二者發(fā)生矛盾時(shí)，積分區(qū)域讓步，將其看成另一種型的區(qū)域，才可以解決矛盾，計(jì)算出結(jié)果，而廣義積分尤其是發(fā)散的無窮限廣義積分更體現(xiàn)著“量變引起質(zhì)變”的哲學(xué)思想.

從而

2 教學(xué)過程

2.1 方法的引入

首先，讓學(xué)生們觀察一些常見的立體圖形，立體圖形如圖1～圖3 所示.

圖1 旋轉(zhuǎn)體被平行于xoy 面的平面所切，切口面為圓面

圖3 橢球體被平行于xoz 面的平面所切，切口面為橢圓

圖2 橢球體被平行于xoy 面的平面所切，切口面為橢圓

從圖1～圖3 可以看出，當(dāng)用任意的平行于坐標(biāo)面的平面切這些立體圖形時(shí)，其切口面有公共的規(guī)律：要么都是圓面，要么都是橢圓面，要么都是矩形、三角形，……，只是圓的半徑，橢圓的長軸和短軸，矩形的長和寬，三角形的邊長在有規(guī)律地變化著，并且這些切口面都是規(guī)則圖形，其面積很容易求出，那么當(dāng)三重積分的積分立體滿足這些特點(diǎn)時(shí)，就可以用“先重后單”法來計(jì)算三重積分.

2.2 整體思路

預(yù)備知識(shí)：二重積分的引入：曲頂柱體的體積，那么當(dāng)“曲頂”變成“平頂”且等于1 時(shí)，其二重積分為為D的面積）.

為了使“先重”對(duì)應(yīng)的二重積分的計(jì)算更簡單，這節(jié)課主要考慮被積函數(shù)為一元函數(shù)的情形，分三種情況展開討論：

情形1 當(dāng)被積函數(shù)為z的一元函數(shù)，即f=f(z)時(shí).

如果積分立體V滿足：用任意的平行于xoy面的平面切V時(shí)，切口面有公共的規(guī)律，那么將V中的z看成常數(shù)，得到切口面D(z)的方程和面積SD(z)，而z介于最底部的切面z=e和最頂部的切面z=f之間，從而

V= {(x,y,z)|e≤z≤f,?(x,y) ∈D(z)}，對(duì)應(yīng)累次積分

注：第二個(gè)等號(hào)是由于“先重”中的二重積分的被積函數(shù)與積分變元無關(guān)，從而可看成常數(shù)提出去，二重積分的被積函數(shù)就變?yōu)?，從而二重積分的值就等于切口面的面積，最后化成關(guān)于z的定積分，計(jì)算出該定積分即可.

情形2 當(dāng)被積函數(shù)為x的一元函數(shù)，即f=f(x)時(shí).

如果積分立體V滿足：用任意的平行于yoz面的平面切V時(shí)，切口面有公共的規(guī)律，那么將V中的x看成常數(shù)，得到切口面D(x)的方程和面積SD(x)，而x介于最后面的切面x=a和最前面的切面x=b之間，從而對(duì)應(yīng)累次積分

情形3 當(dāng)被積函數(shù)為y的一元函數(shù)，即f=f(y)時(shí).

如果積分立體V滿足：用任意的平行于xoz面的平面切V時(shí)，切口面有公共的規(guī)律，那么將V中的y看成常數(shù)，得到切口面D(y)的方程和面積SD(y)，而y介于最左邊的切面y=c和最右邊的切面y=d之間，從而

對(duì)應(yīng)累次積分

亮點(diǎn)：當(dāng)被積函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)，選擇用與被積函數(shù)無關(guān)的兩個(gè)變元所確定的坐標(biāo)平面切積分立體，簡化了整個(gè)計(jì)算，其關(guān)鍵是由被積函數(shù)確定切法.

這里同學(xué)們會(huì)問：切口面的方程和面積怎么求？下面以橢球體為例進(jìn)行講解，橢球體對(duì)應(yīng)的方程式如下：

若用任意的平行于xoy面的平面切該立體，并將立體中的z看作常數(shù)，得到切口面，方程式如下：

其他兩種情況類似，留作練習(xí)題.

解 由于被積函數(shù)為z的一元函數(shù)，并且當(dāng)用任意的介于z= 0 和z= 1 之間的平行于xoy面的平面切立體V時(shí)，切口面是以z軸為圓心，以z為半徑的“同心”圓面，隨著z在0到1 之間變動(dòng)，圓的半徑有規(guī)律地變動(dòng)，從而，切口面D(z) = {(x,y)|x2+y2≤z}，且SD(z)=因此，

于是

3 教學(xué)效果分析和教學(xué)反思

通過本節(jié)課的教學(xué)，同學(xué)們分析問題和解決問題的能力得到了鍛煉和提升，解題思路更清晰，能熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)畫出積分立體，也能篤定地由被積函數(shù)和積分立體判斷出用哪種方法計(jì)算，尤其是作業(yè)里被積函數(shù)是多元函數(shù)的情況，同學(xué)們的積極性和主動(dòng)性很高，并且嘗試用該方法解決其他更復(fù)雜的三重積分的計(jì)算，尤其是積分立體不滿足該方法的條件時(shí)，通過將積分立體分成幾個(gè)小的立體，再用該方法進(jìn)行計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了一題多解，也鍛煉了同學(xué)們的綜合能力.其次，思政元素和哲學(xué)元素的恰當(dāng)引入，大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，消除了課堂的沉悶和枯燥乏味，有效地提高了教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效率，老師也慢慢地將專業(yè)質(zhì)量和課程思政有機(jī)結(jié)合，讓課堂充滿情感和溫度，真正做到：專業(yè)不減量，育人提質(zhì)量，堅(jiān)守育人初心，回歸教育本原.

4 結(jié)語

本文主要抓住被積函數(shù)和積分立體之間的關(guān)系，得到了三重積分的計(jì)算方法：“先重后單”法，尤其是當(dāng)被積函數(shù)為一元函數(shù)時(shí)，分三種情況進(jìn)行了討論，包括切法，以及對(duì)應(yīng)的“先重后單”的累次積分的獲得，并以實(shí)例加以說明.與此同時(shí)，本文深入挖掘與積分相關(guān)的思政元素和哲學(xué)元素，讓學(xué)生深刻體會(huì)積分的內(nèi)涵和靈魂思想，增強(qiáng)對(duì)本內(nèi)容的深刻理解和掌握，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷.展望就是：當(dāng)被積函數(shù)是多元函數(shù)，且積分立體具有上面特點(diǎn)時(shí)，也可以用“先重后單”法，只是“先重”中的二重積分需要用直角坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算.