在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想的幾點(diǎn)思考

程新益

(江蘇省江陰市要塞中學(xué) 214431)

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)不僅僅只是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和理論，其實(shí)踐性和難度都比初中數(shù)學(xué)高得多，因此，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，不應(yīng)只讓學(xué)生通過“刷題”來提升自己的解題能力，教師應(yīng)將數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想融入教學(xué)過程中，讓學(xué)生能夠捕捉到解題的方法、重點(diǎn)、思維，快速高效的進(jìn)行解題.轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題思想的重要思想，其可將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，陌生問題熟悉化，有助于學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的提升，良好的解題習(xí)慣也會(huì)隨之逐漸形成，進(jìn)而能撬動(dòng)學(xué)生的思維，在啟智明理中促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，從而提高教學(xué)質(zhì)效.

1 轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的意義

高中數(shù)學(xué)題目(尤其是理科數(shù)學(xué))的難度和抽象性皆明顯高于初中數(shù)學(xué)，學(xué)生在解題過程中，教師可以將轉(zhuǎn)化思想運(yùn)用于解題過程中，進(jìn)而達(dá)到快速解題的目的.轉(zhuǎn)化思想要求學(xué)生通過側(cè)面或反面整理解題思路，尋找突破口，把復(fù)雜、抽象、困難的問題轉(zhuǎn)變?yōu)槌梢粋€(gè)或若干個(gè)自己熟知的或能解決的問題.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，大部分學(xué)生會(huì)將一個(gè)較難的問題通過分解、變形、代換、平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮等多種方式，將之轉(zhuǎn)化為一個(gè)或幾個(gè)自己熟悉的基本的問題，從而求出答案.在解答一元二次方程時(shí)，學(xué)生可以將一元二次方程通過因式分解轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

2 在數(shù)學(xué)解題過程中利用轉(zhuǎn)化思想的策略

2.1 將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化

復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，可以是一個(gè)數(shù)學(xué)公式，一個(gè)數(shù)學(xué)概念，一個(gè)數(shù)學(xué)定義，也可以是有關(guān)數(shù)學(xué)公式的記憶，數(shù)學(xué)定義的證明等等.下面我就如何簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問題說我的幾點(diǎn)看法: 一、用自己熟悉的、精簡(jiǎn)的語(yǔ)言闡述數(shù)學(xué)概念和定義.這樣有利于加強(qiáng)概念、定義的理解和記憶.比如，在我講拋物線方程的時(shí)候，拋物線方程與焦點(diǎn)位置有密切關(guān)系，拋物線方程一次項(xiàng)即是焦點(diǎn)所在位置.而切拋物線的焦點(diǎn)與拋物線方程的系數(shù)的四分之一倍數(shù)有關(guān).這里我用自己的語(yǔ)言向同學(xué)們總結(jié).拋物線的方程要么是x2等于好多y,要么是y2等于好多x，這主要就看焦點(diǎn)位置了，如焦點(diǎn)在x軸，一次項(xiàng)就是x，所以方程就是y2等于好多x.以次類推.當(dāng)面臨一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜直接解答會(huì)難以上手的問題時(shí)，可將該問題劃分為一個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)單的問題，逐個(gè)解答.例如以下題目：

2.2 將常量轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞?/h3>

變量轉(zhuǎn)化多用于含有X未知數(shù)的不等式問題，在做該類題目時(shí)，需根據(jù)題目的條件求出參變量的取值范圍，雖然該類題目的做題方法多，即：對(duì)其分類討論、數(shù)形結(jié)合、分離參數(shù)、利用函數(shù)性質(zhì)，但次過程較為復(fù)雜，出錯(cuò)了較高，若能使用變量轉(zhuǎn)化則可事半功倍.例如以下例題：

例1設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),A={(x,y) ∣x=n,y=na+b,n∈z},B={(x,y)∣x=m,y=3m2+15,m∈z,}C={(x,y) ∣x2+y2≤144}是否存在a,b使得(1)A∩B≠____;(2)(a,b) ∈C同時(shí)成立.

方法一假設(shè)存在(x,y)∈A∩B,則相應(yīng)的直線y=ax+b與拋物線y=3x2+15有公共點(diǎn).

△=a2-12(5-b) ≥0，即-a2≤12b-180，

所以a,b不存在.

分析以該題為例，解法一采用X為變量，帶入過程較為復(fù)雜，計(jì)算量大，學(xué)生在解題的過程中，容易出現(xiàn)作物；而解法二是將a、b等轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞浚瑢作為常量，轉(zhuǎn)化思維，解題過程簡(jiǎn)單易懂，由此看出解決此題選a,b為變量,x為常量同樣是可以找到一種優(yōu)質(zhì)的解法.如何設(shè)定主元，對(duì)學(xué)生的思維能力的要求較高，主元選定之后，有助于用方程或函數(shù)思想來解決問題.

2.3 將抽象問題形象化

學(xué)生在解答抽象問題時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)找不到解題思路的情況，尤其是函數(shù)問題，此時(shí)便可采取抽象問題形象化的解題方法解決，將抽象問題形象化主要有換元法、湊合法、待定系數(shù)法、利用函數(shù)性質(zhì)法等.

2.3.1 換元法

即用中間變量表示原自變量x的代數(shù)式，從而求出f(x)，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力.

2.3.2 湊合法

該方法是在已知f(g(x))=h(x)的條件下，把h(x)并湊成以g(u)表示的代數(shù)式，再利用代換即可求f(x).此解法簡(jiǎn)潔，還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法.

∴f(x)=x(x2-3)=x3-3x，(|x|≥1)

2.3.3 待定系數(shù)法

先確定函數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù).

例4已知f(x)二次實(shí)函數(shù)，且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4,求f(x).

2.3.4 利用函數(shù)性質(zhì)法

主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.

例題已知y=f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=lg(x+1),求f(x).

解析∵f(x)為奇函數(shù)，

∴f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故先求x<0時(shí)的表達(dá)式.

∵-x>0,

∴f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x),

∵f(x)為奇函數(shù)，∴l(xiāng)g(1-x)=f(-x)=-f(x)

∴當(dāng)x<0時(shí)f(x)=-lg(1-x)

2.4 靜態(tài)問題動(dòng)態(tài)化

部分?jǐn)?shù)學(xué)問題在以靜態(tài)的思路進(jìn)行解題可得出結(jié)果，但過程復(fù)雜，學(xué)生在做題過程中容易出錯(cuò)，因此，在做該類題目時(shí)，可將靜態(tài)問題動(dòng)態(tài)化，即：通過研究變動(dòng)情況對(duì)題目可能出現(xiàn)的特殊情況進(jìn)行分析，進(jìn)而簡(jiǎn)化解題過程，防止錯(cuò)誤的發(fā)生.

解題過程解 ①若∠PF2F1=90°.

則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，

②若∠F1PF2=90°，則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，

∴|PF1|2+(6-|PF1|)2=20，

分析改題目的直角位置為得到確定，因此，在解題過程中，我們需要先確定直角可以確定的位置，在以分類的方式對(duì)直角的位置進(jìn)行確定，最后對(duì)所有可能出現(xiàn)的可能進(jìn)行匯總，進(jìn)而得出范圍.解答問題則可要讓，F(xiàn)1和F2動(dòng)起來，對(duì)其進(jìn)行分類討論，以提高解題的效率.

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題思想中的重要部分，其可將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，抽象問題轉(zhuǎn)化為具象問題等，可幫助學(xué)生提升解題效率，降低錯(cuò)誤率的發(fā)生，對(duì)于學(xué)生提高成績(jī)具有重要意義.其次，轉(zhuǎn)化思想可有效鍛煉學(xué)生的思維邏輯能力，提升其做題的嚴(yán)謹(jǐn)性，進(jìn)而使其做事的思維能力、嚴(yán)謹(jǐn)性得以有效提升，為其未來的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).因此，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，應(yīng)將該思想廣泛運(yùn)用，幫助學(xué)生領(lǐng)悟解題方法，掌握解題能力，為其高考提供堅(jiān)實(shí)保障.