基于概率思想下的數(shù)學(xué)解題與證明

王東林

(安徽省廬江第三中學(xué) 231500)

概率是一門(mén)古老而年輕的數(shù)學(xué)分支，其發(fā)展歷史悠久，理論高深而清晰，它在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科中有著極其廣泛的應(yīng)用.函數(shù)論、集合論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等學(xué)科的發(fā)展為概率學(xué)科的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)概率的發(fā)展也為數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的發(fā)展和解決相關(guān)問(wèn)題提供了行之有效的方法，它在數(shù)學(xué)解題中的作用我們就不可忽略的.本文將分四大版塊分別討論其在數(shù)學(xué)證明、數(shù)學(xué)求極限、求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和以及求解積分方面的應(yīng)用，從中我們可以看出概率思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的高效性、簡(jiǎn)捷性和實(shí)用性.

1 在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用

1.1 在證明數(shù)學(xué)恒等式方面的應(yīng)用

證明數(shù)學(xué)恒等式的方法是多種多樣的，其中不乏代數(shù)方法、三角方法、幾何方法等,但是對(duì)于某些特殊問(wèn)題，如果我們運(yùn)用概率的相關(guān)知識(shí)再建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型就可以使平時(shí)用其他方法很難解決的問(wèn)題變得比較容易處理了，從中我們可以看出概率的作用和威力所在，下面就舉例作簡(jiǎn)要說(shuō)明.

分析本題是一個(gè)排列組合等式的證明，我們仔細(xì)觀(guān)察等式的特點(diǎn)可以建立如下模型加以解決.

證明考慮如下隨機(jī)變量的期望：一副紙牌共n張，其中有3張A隨機(jī)的洗牌然后從頂上開(kāi)始一張接一張的翻牌，直到翻到第二張A出現(xiàn)為止，ξ為翻過(guò)的紙牌數(shù)，則

1.2 在證明數(shù)學(xué)不等式方面的應(yīng)用

通過(guò)上面的幾例我們可以看出概率的方法和理論在證明恒等式方面的巨大作用.證明不等式的方法也是多種多樣的，象我們平時(shí)常用的均值不等式法，等等，那么它在證明數(shù)學(xué)不等式中是否具有同樣的作用呢？答案是肯定的.我們根據(jù)概率的定義對(duì)于任意事件A，都有0 ≤P(A)≤1靈活運(yùn)用它以及概率的其他相關(guān)性質(zhì)、定理及公式我們?cè)谧C明一些比較特殊的不等式時(shí)往往能起到意想不到的顯著效果.我們來(lái)看幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子.

分析這道題主要是考察三角函數(shù)，單純地利用我們有限的三角函數(shù)知識(shí)，解決起來(lái)實(shí)在有點(diǎn)困難，但是我們?nèi)粲酶怕史椒?，從已知出發(fā)，得到0≤sinα≤1，0≤sinβ≤1，在根據(jù)事件概率的性質(zhì)，把分別取作兩相互獨(dú)立事件的概率，最后運(yùn)用概率加法公式即可推出結(jié)果，由此在解題中起到化繁為簡(jiǎn)的作用了.

可設(shè)sinα,sinβ分別為兩相互獨(dú)立事件A，B的概率，即P(A)=sinα，P(B)=sinβ.

根據(jù)概率加法公式和相互獨(dú)立性得：

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) =P(A)+P(B)-P(A)P(B)

由于0≤P(A∪B)≤1

從而推導(dǎo)出:0≤sinα+sinβ-sinαsinβ≤1

移項(xiàng)即得證原不等式成立.

證畢.

2 在數(shù)學(xué)求極限中的應(yīng)用

求極限，一般用微積分中的極限運(yùn)算、重要的極限公式、導(dǎo)數(shù)定義，羅必達(dá)法則、泰勒公式等.但是對(duì)于某些特殊的極限問(wèn)題我們用這些方法難以解決，這時(shí)我們可以根據(jù)所求式子的特點(diǎn)結(jié)合概率的相關(guān)知識(shí)，建立適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ陀酶怕收摰姆椒ê屠碚搧?lái)加以解決，那么問(wèn)題解決起來(lái)就輕而易舉了.

例3 對(duì)任意實(shí)數(shù)及常數(shù)0

證明設(shè)ξ1，ξ2，……獨(dú)立且同為兩點(diǎn)分布，即：

p(ξi=1)=P，p(ξi=0)=q，i=1、2……

對(duì)任意x成立.亦即：

故由上述兩式知(1)成立.

特別地，當(dāng)x=0時(shí)，由(1)即得(2)；當(dāng)p=q=1/2時(shí)，由(2)即可推得(3).令y=-x，由(1)得：

(*)式和(1)結(jié)合即得(4).

證畢.

3 在計(jì)算無(wú)窮級(jí)數(shù)的和中的應(yīng)用

解析本題是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)和的求解問(wèn)題，對(duì)于此題我們可以建立如下概率模型：

即：p1+p2q1+p3q1q2+…pnq1q2…qn-1=1-q1q2…qn

由題設(shè)有0≤pk≤1，0≤qk≤1，pk+qk=1，所以我們可以根據(jù)pk、qk的取值來(lái)求級(jí)數(shù)的和.

由上面兩式可得：

我們得到

證畢.

4 在求解積分方面的簡(jiǎn)單應(yīng)用

利用概率中一些特殊的隨機(jī)變量可以求解一些特殊積分.例如指數(shù)分布是一種重要的隨機(jī)變量.它在概率中有著廣泛的應(yīng)用，就可以利用其性質(zhì)求解某些特殊的積分．下面通過(guò)例題來(lái)加以說(shuō)明.

分析本題可以利用分部積分法直接計(jì)算，但是比較麻煩，因?yàn)榉e分中含有e-(2x+1).通過(guò)轉(zhuǎn)化成含有e-λx的形式，然后利用指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式以及密度函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

解析利用服從參數(shù)λ=2 的指數(shù)分布的隨機(jī)變量X的性質(zhì)求本題積分

解畢.

從以上所舉的概率的方法和理論在數(shù)學(xué)證明、求極限、求無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù)和以及求解積分中應(yīng)用的例子中看出：應(yīng)用概率的相關(guān)知識(shí)和理論，構(gòu)造相應(yīng)的概率模型，再利用概率的相關(guān)性質(zhì)、定理能夠極大的方便我們的數(shù)學(xué)解題，使較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變的簡(jiǎn)單明了.本文所介紹的方法避免了冗長(zhǎng)的的證明、繁雜的計(jì)算.文中所介紹的方法在實(shí)際教學(xué)和應(yīng)用中具有較大的實(shí)用價(jià)值，本文所倡導(dǎo)的思維方法對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的后來(lái)者有很大的借鑒作用.