子群的陪集與群的同構(gòu)定理的幾何解釋

高印芝， 袁蘭黨

(1.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,石家莊050024； 2.河北省數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)國際聯(lián)合中心，石家莊050024)

1 引 言

近世代數(shù)是以討論代數(shù)體系的性質(zhì)與構(gòu)造為中心的一門學(xué)科.它運(yùn)用具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辯證關(guān)系，用更抽象的嚴(yán)格的代數(shù)方法研究代數(shù)體系，對(duì)群的研究是該課程的重點(diǎn). 為研究群的結(jié)構(gòu)，利用子群給出了群的元素間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，這個(gè)等價(jià)關(guān)系將群中的元素進(jìn)行分類，進(jìn)而有了陪集的概念. 為研究不同群間的關(guān)系，揭示其本質(zhì)，給出了特殊子群——不變子群，進(jìn)而定義了商群. 近世代數(shù)研究的重要工具是集合、映射、同態(tài)、同構(gòu)、等價(jià)關(guān)系. 下面先介紹相關(guān)的概念(見文獻(xiàn)[1]).

定義1設(shè)G是一個(gè)非空集合，在集合G中定義運(yùn)算“·”：任取a,b∈G，均有a·b∈G.若該運(yùn)算滿足結(jié)合律，即對(duì)于G的任意元a,b,c，均有(a·b)·c=a·(b·c)，且對(duì)于G的任意元a,b，方程a·x=b和y·a=b在G中都有解，則稱集合G關(guān)于運(yùn)算“·”作成一個(gè)群. 如果群G中的運(yùn)算“·”滿足交換律，即對(duì)于G的任意元a,b，均有a·b=b·a，則稱其為加群.

定義2若群G的非空子集H對(duì)于群G的運(yùn)算“·”也作成群，則稱H為群G的子群.進(jìn)一步，如果H為群G的子群，且對(duì)G的任意元a，均有a·h·a-1∈H(a-1為a的逆元)，則稱H為G的不變子群，記作H?G.

易見，加群G的每一個(gè)子群均為不變子群.

定義3設(shè)H是群G的子群，a∈G，稱集合aH={a·h|h取遍H中的所有元素}為子群H的包含元素a的左陪集，集合Ha={h·a|h取遍H中的所有元素}為子群H的包含元素a的右陪集.

易證，(i) 對(duì)于G的元a,b,aH=bH的充分必要條件是b-1·a∈H；

(ii)對(duì)于G任意的元a，均有aH=Ha的充分必要條件是H為G的不變子群.

進(jìn)一步，令H為G的不變子群，把H的所有陪集作成一個(gè)集合S={aH，bH，cH，…}，定義S中的運(yùn)算:aH·bH=(a·b)H，可以證明集合S關(guān)于該運(yùn)算作成一個(gè)群，稱之為商群，記作G/H.

以上概念都是很抽象的，沒有具體實(shí)例是很難理解到其實(shí)質(zhì)的，也就無從談起將其應(yīng)用到實(shí)際中去解決具體問題.

本文討論的關(guān)于群的3個(gè)同構(gòu)定理，就是研究群G、群G的不變子群以及商群間的重要關(guān)系，也是群論的重要內(nèi)容之一，是教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).

本文將3個(gè)同構(gòu)定理的內(nèi)容對(duì)應(yīng)到所熟悉的2維和3維空間以及其子空間(平面或直線)間的關(guān)系中，以其直觀性來理解同構(gòu)定理的內(nèi)容，體會(huì)它們所揭示的問題本質(zhì).

2 相關(guān)結(jié)論的幾何解釋及意義

2.1 陪集的幾何意義

令G=(3,+),H=(π,+),K=(L,+)，則H,K均為G的子群，這里π，L依次為空間內(nèi)過原點(diǎn)的平面與直線. 若β∈3，則陪集β+H是空間內(nèi)包含β平行于π的平面π′(如圖1所示). 陪集β+K是包含β平行于L的直線L′(如圖2所示). 這是因?yàn)?，如果α∈?γ∈L，則由平行四邊形法則，β+α∈π′,β+γ∈L′.

圖1 圖2

令(G=2,+),K=(L,+)，則K為G的子群，這里L(fēng)為平面內(nèi)過原點(diǎn)的直線.若β∈2，則 陪集β+K是平面內(nèi)包含β平行于L的直線L′(如圖3所示).

圖3

2.2 同構(gòu)定理的幾何解釋

定理1[1]設(shè)G和H是兩個(gè)群，并且G與H同態(tài)，那么這個(gè)同態(tài)滿射的核N是G的一個(gè)不變子群，并且G/N?H.

在定理1中，設(shè)(G=2,+),H=(x軸，+). 令f∶ (a,b)→(a,0)，易知f為G到H的同態(tài)滿射，同態(tài)滿射的核N為y軸，且N為G的不變子群.

商群G/N為平面內(nèi)平行于y軸的直線族：{x=a|a∈}. 令σ∶直線L∶x=a→點(diǎn)M∶(a,0)，則σ為G/N與H間的同構(gòu)映射.

若設(shè)(G=3,+),H={πa|πa∶平面x+y+z=a，a∈}，且規(guī)定H的運(yùn)算：

πa+πb=πa+b，

顯然結(jié)合律成立，且對(duì)任意的πa：π0+πa=πa,πa+π-a=π0，這樣H構(gòu)成群.令φ∶點(diǎn)(x,y,z)→平面πx+y+z，顯然φ為(G=3,+)到H的一個(gè)映射.

任取平面πa：x+y+z=a上的一點(diǎn)(x0,y0,z0)，則(x0,y0,z0)→πx0+y0+z0=πa，所以φ為(G=3,+)到H的一個(gè)滿射. 另一方面

(x1,y1,z1)→πx1+y1+z1， (x2,y2,z2)→πx2+y2+z2，

由

(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)，

易知φ保運(yùn)算，所以(G=3,+)與H同態(tài)，同態(tài)核N為平面π0：x+y+z=0上的點(diǎn)集.這里G/N為空間內(nèi)平行于π0的平面族. 由定理1知，G/N?H，事實(shí)上G/N=H.

定理2[2]如果H,K是G的子群，滿足H?G，則HK是G的子群，(H∩K)?K，并且

K/(K∩H)?HK/H.

在定理2中，令(G=3,+),H=(L1,+)，K=(L2，+),L1≠L2，則HK=(π,+)，這里π為L(zhǎng)1與L2所確定的平面；H∩K={(0,0,0)},K/(K∩H)=K，HK/H為平面π內(nèi)與L1平行的直線族.這樣K?HK/H，其同構(gòu)映射為：L2上的一點(diǎn)M與平面π內(nèi)過點(diǎn)M與L1平行的直線L′對(duì)應(yīng).即M→L′(如圖4所示).

圖4 圖5

若令H=(π1,+)，K=(π2+),π1≠π2，則HK=G,H∩K=(L,+)，這里L(fēng)為π1與π2的交線.K/(H∩K)為平面π2內(nèi)與L平行的直線族.HK/H為空間內(nèi)與π1平行的平面族.f∶L′→π′為K/(K∩H)與HK/H間的同構(gòu)映射(如圖5所示).

定理3[3]如果H，K是群G的不變子群，且K是H的子群，則H/K是G/K的不變子群，且

在定理3中，令(G=3,+),H=(π,+)，K=(L，+),L?π. 則G/K為空間內(nèi)與L平行的直線族；H/K為平面π內(nèi)與L平行的直線族；G/H為空間內(nèi)與π平行的平面族，且

這里β+H/K為平面π′=β+π內(nèi)平行于直線L的直線族(如圖6).

圖6

對(duì)任意L″∈π′，由于L為過原點(diǎn)的直線，L″平行于L，所以L+L″=L″，于是

{L+(β+H/K)|β∈G}={β+H/K|β∈G}

3 結(jié) 論

正如引言所說，近世代數(shù)是以討論代數(shù)體系的性質(zhì)與構(gòu)造為中心的一門學(xué)科，主要研究群、環(huán)、域等，其主要特點(diǎn)就是抽象，這體現(xiàn)在概念、定理和結(jié)論上. 這就使得初學(xué)者倍感迷茫，所以教學(xué)中教師常采用適當(dāng)?shù)姆绞浇忉尦橄蟮母拍?，以幫助學(xué)生理解，如文獻(xiàn)[4-5]中就有相關(guān)學(xué)習(xí)方法介紹或用具體的代數(shù)結(jié)構(gòu)來詮釋抽象的概念，以達(dá)到理解其本質(zhì)的目的. 如整數(shù)集合、置換集合、矩陣集合及向量空間等. 本文的特點(diǎn)是利用幾何空間中的直線與平面作為特例，尤其是借助幾何圖示詮釋了抽象的陪集及同構(gòu)定理.在教學(xué)中筆者總是用具體的、直觀的例子解釋抽象的概念及其邏輯關(guān)系，目的是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)而對(duì)看似枯燥的數(shù)學(xué)研究對(duì)象有更深刻的認(rèn)識(shí). 我們的學(xué)生越來越喜歡數(shù)學(xué)和熱愛數(shù)學(xué)是我們數(shù)學(xué)工作者的目的所在.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.