強(qiáng)凸函數(shù)的一個(gè)不等式性質(zhì)及其應(yīng)用

詹婉榮， 于 海

(洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南洛陽(yáng)471934)

1 引 言

凸函數(shù)是一類極其重要的函數(shù)，其重要性和應(yīng)用價(jià)值已為大家所熟知，尤其在不等式研究中，凸函數(shù)所發(fā)揮的作用是無(wú)可替代的.設(shè)f(x)為[a，b]上的凸函數(shù)，則不等式

(1)

稱為Hermite-Hadamard不等式. 許多學(xué)者對(duì)這個(gè)不等式進(jìn)行了研究、推廣，獲得了許多成果[1-5]. 而強(qiáng)凸函數(shù)多用在最優(yōu)化理論中，特別是保證很多基于梯度下降方法的算法的線性收斂速率的條件之一. 本文研究了強(qiáng)凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式，它是凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式的加強(qiáng)，并給出一些應(yīng)用.

2 預(yù)備知識(shí)

為了方便讀者，給出凸函數(shù)和強(qiáng)凸函數(shù)的定義及有關(guān)結(jié)論，可參見(jiàn)文獻(xiàn)[6-8].

定義1設(shè)f(x)為定義在[a，b]上的函數(shù)，且對(duì)于t∈[0，1]及對(duì)于x1，x2∈[a，b]滿足

f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，

則稱f(x)為[a，b]上的凸函數(shù).

定義2設(shè)f(x)為定義在[a，b]上的函數(shù)，u>0，且對(duì)于t∈[0，1]及對(duì)于x1，x2∈[a，b]滿足

(2)

則稱f(x)為[a，b]上的u-強(qiáng)凸函數(shù).

定理1[6]設(shè)f(x)為定義在[a，b]上的可微函數(shù)，若?x，y∈[a，b]，有

則f(x)為[a，b]上的u-強(qiáng)凸函數(shù).

3 強(qiáng)凸函數(shù)的一個(gè)不等式性質(zhì)

強(qiáng)凸函數(shù)是凸函數(shù)，自然滿足Hermite-Hadamard不等式. 但是強(qiáng)凸函數(shù)作為特殊的凸函數(shù)，能不能進(jìn)一步加強(qiáng)Hermite-Hadamard不等式呢？下面的定理就給出了強(qiáng)凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式.

定理2設(shè)f(x)是[a，b]上的u-強(qiáng)凸函數(shù). 則

(3)

證令x=ta+(1-t)b，則

即所證不等式右側(cè)成立. 又

令x=a+b-y，得

于是有

即所證不等式左側(cè)成立. 綜上可得原不等式成立.

3 應(yīng) 用

本節(jié)給出強(qiáng)凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式的應(yīng)用.

解令y=x+Δx，可得

再由不等式(3)容易得到

例2在不等式(1)中，令f(x)=ex，就得到了指數(shù)平均不等式：

作為強(qiáng)凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式的應(yīng)用，下面對(duì)指數(shù)平均不等式和對(duì)數(shù)平均不等式進(jìn)一步加強(qiáng).

?x，y∈[a，b]，由函數(shù)f(x)=ex的泰勒展開(kāi)式可得

其中ξ介于x與y之間. 又由于ξ∈[a，b]，所以eξ≥ea. 于是有

由定理1可知，函數(shù)f(x)=ex在[a，b]上是ea-強(qiáng)凸函數(shù). 再由定理2可得

(4)

這是指數(shù)平均不等式的一個(gè)加強(qiáng).

在式(4)中，令x=ea，y=eb，此時(shí)x

若令y=ea，x=eb，此時(shí)y

綜上可得

其中x，y>0，x≠y. 這是對(duì)數(shù)平均不等式的一個(gè)加強(qiáng).

4 結(jié) 論

對(duì)凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式進(jìn)行了加強(qiáng)，得到了強(qiáng)凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式. 作為應(yīng)用，也得到了加強(qiáng)的指數(shù)平均不等式和加強(qiáng)的對(duì)數(shù)平均不等式.

致謝感謝審稿人提出的寶貴意見(jiàn)和建議.