奇異級數(shù)的均值研究

孫同順， 吳小勝

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230601)

1 引 言

設(shè)Dk是k個元素的整數(shù)集.本文討論的是奇異級數(shù)

(1)

2004年，參考文獻(xiàn)[7]證明了一個更為詳細(xì)的漸近公式

(2)

其中γ是歐拉常數(shù).Cramr模型預(yù)測：對于0≤x≤N和Nε≤H≤N1-ε,Ψ(x+H)-Ψ(x)是均值為～H和方差為～HlogN的近似正態(tài)分布.Montgomery和Soundararajan利用漸近公式(2)發(fā)現(xiàn)Cramr模型是不夠精確的，即當(dāng)Nε≤H≤N1/k時，方差應(yīng)為～Hlog(N/H).

為了理解連續(xù)素數(shù)之間最可能的差異，即跳躍冠軍問題；參考文獻(xiàn)[8]建立了一個特殊的奇異級數(shù)均值的漸近公式

參考文獻(xiàn)[9]把這個漸近公式推廣到更一般的情況：當(dāng)yε≤x≤y，有

更進(jìn)一步的被Feng和Wu[10]加強(qiáng)，即對于x≤y，有

奇異級數(shù)的相關(guān)研究不僅包含以上方面，而且在其它文章中也有所涉及[11-12].

常用符號說明 用ε來表示一個任意小的正常數(shù)，它的值可以隨具體情況變化，用p表示素數(shù)，并且文中的O和?的隱含常數(shù)是依賴于k或ε的.

2 均值漸近公式及其證明

定理對于任意整數(shù)k≥2和任意整數(shù)集合Ak={d1,d2,…,dk}且滿足d1

(3)

成立，且常數(shù)

(4)

由Ak唯一確定，其中P0={p|VAk(p)=p,p≤k}.

(5)

其中記

(6)

則式(5)可寫為

(7)

(8)

把(8)應(yīng)用到a(p,VDk(p))中，得到

(9)

通過可乘性質(zhì)將a(p,VDk(p))的定義推廣到無平方因子數(shù)q，定義函數(shù)

(10)

將(10)應(yīng)用到(7)中，得到

(11)

設(shè)M≤x是一個稍后給定的整數(shù)，根據(jù)q≤M和q>M將(11)中的q求和分為兩部分.當(dāng)對奇異級數(shù)S(Dk)中的d求和時，第一部分q≤M將會貢獻(xiàn)出主項；對于第二部分q>M，可以推導(dǎo)出它的上界，即設(shè)C是一個充分大的僅依賴于k的正常數(shù)，令q=q1q2，且滿足q1|dΔk和(q2,dΔk)=1，那么就有

應(yīng)用(9)式，可得

(12)

其中Ω(q1)表示q1的所有素因子的個數(shù)，Ω(q2)類似.

由(11)和(12)，對d進(jìn)行求和，有

(13)

在(13)的內(nèi)和中，將對d求和改寫為對V進(jìn)行求和得到

(14)

(15)

其中f(p,VDk(p))表示d模p的剩余類可以選擇的種類數(shù)目，且

(16)

結(jié)合對q的求和，可以得到

(17)

為了處理(17)式的右邊，首先計算A(q).將A(q)中的乘積按照VAk(p)>1和VAk(p)=1分成兩部分，那么結(jié)合(6)和(16)可以得到

(18)

由此可給出

(19)

因此有

(20)

(21)

由(17)，(19)，(20)和(21)可得

將上式應(yīng)用在(13)式中，可得到

在上述誤差項中取M=x1/2即可完成定理的證明.

3 結(jié) 論

本文的出發(fā)點是Hardy-Littlewood素數(shù)k元組猜想中的奇異級數(shù)，基于經(jīng)典的Gallagher方法與素數(shù)的分布性質(zhì)，給出了奇異級數(shù)的一類均值漸近公式.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.