具Holling-IV型發(fā)生率的時滯SEIR模型穩(wěn)定性與Hopf分支分析

郭 宇,朱惠延，賀芳芳

(南華大學(xué)數(shù)理學(xué)院，中國 衡陽 421001)

眾所周知，數(shù)學(xué)建模在傳染病的研究中具有重要意義，它可為了解疾病的傳播機理及預(yù)測疾病未來的發(fā)展趨勢提供理論參考，從而有助于對疾病進行有效的控制[1-3]。

受以上文獻的啟發(fā)，本文將考慮一類具有Holling-IV型發(fā)生率且?guī)в袧摲跁r滯τ的SEIR傳染病模型，構(gòu)建模型如下：

(1)

由于模型(1)前3個方程不含R變量，因此只需考慮模型(1)的前3個方程：

(2)

設(shè)模型(2)初始條件Φ=(Φ1,Φ2,Φ3)定義在Banach空間C上，

其中Φi(θ)≥0,θ∈[-τ,0]，這里假設(shè)Φi(0)>0(i=1,2,3)。

將模型(2)中三個方程相加得到：

1 平衡點存在性

接下來考慮模型(2)地方病平衡點出現(xiàn)情況。令模型(2)方程右端等于0，得到

通過以上方程可以求得地方病平衡點P1(S*,E*,I*)，

I*為三次方程f(I)=a1I3+a2I2+a3I+a4=0的正根，其中

a1=μαb(ε+μeuτ)(μ+r+d),

a2=(ε+μeuτ)(μ+r+d)(αβ+μb)+μcb(ε+μeuτ),

a3=cβ(ε+μeuτ)+(ε+μeuτ)(μ+r+d)(β+μα)-Aβεα,

a4=μ(ε+μeuτ)(d+μ+r+c)(1-R0)。

作如下變換：

通過以上變換，f(I)轉(zhuǎn)化為

f(I)=I3+pI+q。

(3)

現(xiàn)考慮式(3)的系數(shù)與正根的關(guān)系：

1)當(dāng)p>0時，顯然f′(I)>0，f(I)為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)q<0時，方程(3)存在唯一正根；

2)當(dāng)p=0時，當(dāng)且僅當(dāng)q>0時，方程(3)存在唯一正根；

3)當(dāng)p<0時，根據(jù)三次函數(shù)特性知f(I)先增再減再增，考慮以下情況：

i)q>0時，

a.若min=0，方程(3)存在兩個相同的正實根；

b.若min<0，方程(3)存在兩個不同的正實根；

c.若min>0，方程(3)不存在正根；

ii)q=0時，方程(3)存在唯一正根；

iii)q<0時，方程(3)存在唯一正根。

定理11)當(dāng)p<0，q>0，min<0時，模型(2)存在兩個地方病平衡點；

2)當(dāng)p>0，q<0或p=0，q>0或p<0，q>0，min=0或p<0，q=0或p<0，q<0時，模型(2)存在唯一地方病平衡點。

2 無病平衡點穩(wěn)定性與Hopf分支分析

因此可以得到特征方程為：

(4)

顯然，λ=-μ是特征方程(4)的一個負(fù)實根，令：

(5)

g(λ)可以化為下式：

λ2+c1λ+c2+(c3λ+c4)e-λτ=0。

(6)

其中

c1=(2μ+r+d+c)，c2=μ(μ+r+d+c),

c3=εe-μτ，c4=e-μτ[ε-R0(ε+μeuτ)](μ+r+d+c)。

當(dāng)τ=0時，(6)式變?yōu)椋?/p>

λ2+(c1+c3)λ+(c2+c4)=0。

(7)

由(7)可知，c1+c3=2μ+r+d+c+ε>0，c2+c4=(μ+ε)(μ+r+d+c)(1-R0)，所以當(dāng)R0<1時，c2+c4>0，根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)知方程(7)的根均具有負(fù)實部，因此在τ=0處無病平衡點P0是局部漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)τ≠0時，由文獻[16]中的結(jié)論，方程(6)有正實部的根當(dāng)且僅當(dāng)該方程存在純虛根。假設(shè)λ=iω(ω>0)為方程(6)的一個純虛根，代入方程(6)中分離實部與虛部得：

(8)

將方程(8)中兩個式子分別平方相加得：

(9)

令ω2=y，則F(y)=y2+d1y+d2，其中

(10)

特征方程(6)對τ求導(dǎo)可得：

(11)

根據(jù)以上情況的討論可以得到如下定理：

定理21)當(dāng)R0<1，d1>0時，對于任意的τ∈[0,+∞)，模型(2)中無病平衡點P0存在且是局部漸近穩(wěn)定的；

2)當(dāng)R0<1，d2<0時，模型(2)中無病平衡點P0在τ∈[0,τ0)時是局部漸近穩(wěn)定的，在τ∈(τ0,+∞)時是不穩(wěn)定的；當(dāng)τ=τ0時，模型(2)在平衡點P0處會出現(xiàn)Hopf分支。

3 無病平衡點全局穩(wěn)定性分析

則V1沿模型(2)的導(dǎo)數(shù)：

定義Lyapunov函數(shù)為V=V1+V2，因此可得：

4 地方病平衡點局部穩(wěn)定性與Hopf分支分析

根據(jù)文獻[17]，可知f(I)=a1I3+a2I2+a3I+a4=0的函數(shù)系數(shù)與正根個數(shù)關(guān)系，即當(dāng)R0>1時，模型(2)會存在唯一的地方病平衡點P1(S*,E*,I*)，將模型(2)在P1處線性化得到地方病平衡點的雅克比矩陣為：

因此對應(yīng)的特征方程為：

|λI-J(P1)|=λ3+p1λ2+p2λ+p3+(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ=0。

(12)

其中

q1=εe-μτ,

當(dāng)τ=0時，方程(12)變?yōu)椋?/p>

λ3+(p1+q1)λ2+(p2+q2)λ+(p3+q3)=0。

(13)

顯然p1+q1>0，結(jié)合Routh-Hurwitz判據(jù)，若方程(13)還滿足條件：

H1：p2+q2>0,p3+q3>0,(p1+q1)(p2+q2)-(p3+q3)>0，

則方程(13)的所有特征根實部均為負(fù)值，地方病平衡點P1(S*,E*,I*)是局部漸近穩(wěn)定的。

接下來考慮當(dāng)τ≠0時的情況，假設(shè)λ=iω(ω>0)為方程(12)的一個純虛根，代入方程(12)中分離實部與虛部得

(14)

將方程(14)中兩個式子分別平方相加得：

(15)

令ω2=z，則L(z)=z3+l1z2+l2z+l3，其中

根據(jù)方程L(z)，若簡單條件

其中1≤k≤3,j=0,1,2，…。

將λ=iω0代入并結(jié)合方程(12)得到

因此，只要滿足條件：

5 數(shù)值模擬

為了驗證所得結(jié)論，對模型(2)選取不同參數(shù)值進行數(shù)值模擬。

(i)選取參數(shù)值A(chǔ)=0.8，β=0.2，ε=0.6，μ=0.2，b=1，c=0.2，α=1，r=0.08，d=0.2，可知模型(2)存在唯一無病平衡點P0=(4,0,0)，此時R0=0.882 4<1，d1=0.142 4>0，分別選取不同時滯τ=0與τ=10.5進行數(shù)值模擬，如圖1和圖2所示，可以看出隨著時間變化曲線最終達到穩(wěn)定，疾病將會被消滅，P0是局部漸近穩(wěn)定的，定理2得到驗證。

圖1 當(dāng)τ=0,R0<1時模型(2)的時序圖與相圖

圖2 當(dāng)τ=10.5,R0<1時模型(2)的時序圖與相圖

(ii)選取參數(shù)值A(chǔ)=1.5，β=0.25，ε=0.8，μ=0.15，b=1，c=0.1，α=1，r=0.15，d=0.05，此時R0=4.678 4>1，模型(2)還存在唯一地方病平衡點P1，當(dāng)τ=0時，易得P1=(5.603 1,0.694 2,1.419 3)，由圖3驗證可知P1為局部漸近穩(wěn)定的。

圖3 當(dāng)R0>1,τ=0時模型(2)的時序圖與相圖

圖4 當(dāng)時模型(2)的時序圖與相圖

圖5 當(dāng)時模型(2)的時序圖與相圖

6 結(jié)論